Elip
1. ĐỊNH NGHĨA :
Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2 = 2c > 0
(E) = { M / MF1 + MF2 = 2a }
( a > c > 0 )
● F1 F2 = 2c : tiêu cự của ( E )
● F1 , F2 : tiêu điểm của ( E )
● MF1 , MF2 : bán kính qua tiêu của ( E )
y
x
M
F1
F2
O
.
.





Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho elip ( E ) có 2 tiêu điểm F1(-c,0) , F2(c,0) với M(x,y) ta có :
y
x
F1
F2
O
.
.
MF12 = (x+c)2 + y2
, MF22 = (x – c)2 + y2
MF12 + MF22 = 2( x2 + y2 + c2 )
MF12 - MF22 = 4cx
M(x , y)
Để ý rằng
2. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP :
♦ Định lý : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , elip có hai tiêu điểm F1(- c , o) , F2( c , 0) và MF1 + MF2 = 2a có phương trình là :
Phương trình trên gọi là phương trình chính tắc của elip .
►Chú ý :
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , elip có hai tiêu điểm F1(0 , -c) , F2(0 , c) và MF1 + MF2 = 2b có phương trình là :
x
M
F1
F2
O
y
y
x
M
F1
F2
O
.
.
y
x
M
F1
F2
O
● Tiêu điểm : F1(0 , -c) , F2(0 , c)
● Tiêu điểm : F1(-c , 0) , F2(c , 0)
● (E) cắt Ox tại hai điểm A1(-a , 0) , A2 (a , 0) và cắt Oy tại hai điểm B1(0 , -b) , B2(0 , b)
● (E) nhận Ox , Oy làm các trục đối xứng và nhận gốc O làm tâm đối xứng .
● (E) nhận Ox , Oy làm các trục đối xứng và nhận gốc O làm tâm đối xứng .
● (E) cắt Ox tại hai điểm A1(-a , 0) , A2 (a , 0) và cắt Oy tại hai điểm B1(0 , -b) , B2(0 , b)
A2(a , 0)
A1(-a, 0)
B1(0 , -b)
B2 (0 , b)
B2 (0 , b)
B1(0 , -b)
A2(a , 0)
A1(-a, 0)
. Các điểm A1 , A2 , B1 , B2 gọi là đỉnh của (E)
. Các điểm A1 , A2 , B1 , B2 gọi là đỉnh của (E)
3. HÌNH DẠNG CỦA ELIP :
y
x
M
F1
F2
O
.
.
x
M
F1
F2
O
● Đoạn A1A2 (= 2a) : trục lớn của (E) ; 2a : độ dài trục lớn .
A2(a , 0)
A1(-a, 0)
B1(0 , -b)
B2 (0 , b)
B2 (0 , b)
A2(a , 0)
A1(-a, 0)
Đoạn B1B2 (= 2b) : trục nhỏ của (E) ; 2b : độ dài trục nhỏ .
Đoạn A1A2 (= 2a) : trục nhỏ của (E) ; 2a : độ dài trục nhỏ .
● Đoạn B1B2 (= 2b) : trục lớn của (E) ; 2b : độ dài trục lớn .
● Bốn đường thẳng x = ± a , y = ± b cắt nhau tạo thành hình chữ nhật gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E)
● Bốn đường thẳng x = ± a , y = ± b cắt nhau tạo thành hình chữ nhật gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E)
● Bán kính qua tiêu : MF1 = a + c/a.xM
MF2 = a – c/a.xM
● Tâm sai : e = c/a < 1
● Bán kính qua tiêu : MF1 = b + c/b.yM
MF2 = b – c/b.yM
● Tâm sai : e = c/b < 1
B1(0 , -b)
MF12 - MF22 = 4cx
mà
Ví dụ 1 : Xác định tiêu điểm , đỉnh , độ dài các trục của elip
( a > b )
Vậy :
Tiêu điểm :
Đỉnh :
Độ dài trục lớn : 2a = 2
Độ dài trục nhỏ : 2b = 1
Tâm sai :
GIẢI :
Ví dụ 2 : Lập phương trình chính tắc của elip có một tiêu điểm F1( -2 , 0) và đi qua M( 2 , 5/3) .
GIẢI :
Phương trình chính tắc của elip (E) :
Tiêu điểm F1( -2 , 0)
=> c = 2
mà
(1) và (2) =>
( loại )
Vậy phương trình elip là
Ví dụ 2 : Lập phương trình chính tắc của elip có một tiêu điểm F1( -2 , 0) và đi qua M( 2 , 5/3) .
GIẢI :
Ta có MF1 =
Do F2(2,0) nên MF2 =
=> 2a = MF1 + MF2 =
= 6 => a = 3
Phương trình chính tắc của elip (E) :
Tiêu điểm F1( -2 , 0)
=> c = 2
b2 = a2 – c2
Vậy phương trình elip là
= 9 – 4 = 5
Ví dụ 3 : Tìm điểm M trên elip (E) : 5x2 + 9y2 – 45 = 0 biết bán kính qua tiêu
điểm bên trái bằng ba lần bán kính qua tiêu điểm bên phải .
GIẢI :
Phương trình (E) là :
a2 = 9 => a = 3
( a > b )
=> c = 2
MF1 = 3MF2
Vậy có 2 điểm M thoả yêu cầu bài toán là :