Lời giải đề nghị VMO 2010

(Chú ý đây chỉ là đáp án tham khảo, không phải là đáp án chính thức)

Bài 1. Giải hệ phương trình


Giải.
Cách 1. Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất, ta được
x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16 = y4 – 16y3 + 96y2 - 256y +256
(x-2)4 =(y-4)4
x – 2 = y – 4 ( x – 2 = 4 – y
x = y – 2 ( x = 6 – y
Thay vào phương trình đầu, ta được
- 8y3 + 24y2 – 32y + 16 = 240 ( y3 – 3y2 + 4y + 28 = 0
( (y+2)(y2-5y+14) = 0. Suy ra y = -2 và x =-4.
– 24y3 + 216y2 – 864y + 1296 = 240 ( y3 – 9y2 + 36y – 44 = 0
((y-2)(y2-7y+22) = 0. Suy ra y = 2 và x = 4.
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là (x,y) = (-4, -2) và (x, y) = (4, 2).

Cách 2. (Theo ý tưởng của Võ Quốc Bá Cẩn) Đặt y = 2t thay vào phương trình và viết lại hệ dưới dạng


Nhân chéo 2 phương trình này, ta được
(x4+16)(t3-3t2+4t) = (t4+16)(x3-3x2+4x) (3)
Dễ thấy nếu (x, t) là nghiệm của hệ thì xt ( 0 nên ta chia hai vế của phương trình trên cho x2t2 thì được


Từ đây nếu đặt u = x + 4/x và v = t + 4/t thì ta có phương trình
(u2-8)(v-3) = (v2-8)(u-3)
u2v – v2u – 3(u2-v2) + 8(u-v) = 0
(u – v)(uv – 3(u+v) + 8) = 0 (4)
Từ (1) ta suy ra rằng x và t cùng dấu. Do đó áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta dễ dàng suy ra u, v hoặc cùng ( 4 hoặc cùng ( -4. Suy ra (u-3) và (v-3) luôn lớn hơn hay bằng 1 hoặc luôn nhỏ hơn hay bằng -7. Suy ra uv – 3(u+3) + 8 = (u-3)(v-3) – 1 ( 0. Dấu bằng chỉ có thể xảy ra khi u = v = 4.

Từ lý luận trên và từ (2) ta suy ra u = v, từ đó suy ra x = t hoặc x = 4/t.
Trường hợp x = t. Thay vào phương trình (1) ta được t4 + 16 = 16(t4+16), vô nghiệm.
Trường hợp x =4/t. Thay vào phương trình (1), ta được 256/t4 + 16 = 16(t4+16)
( t8 + 15t4 – 16 = 0 ( (t4-1)(t4+16) = 0 Suy ra t = ( 1. Từ đó ta được các nghiệm (x, y) = (4, 2) và (-4, -2).

Nhận xét. Lời giải 1 khá ngắn gọn nhưng đó là 1 ý tưởng không dễ nghĩ ra. Nếu như đặt x = 2u, y = 2v và đưa về hệ phương trình


thì có lẽ sẽ dễ nhìn thấy các hệ số nhị thức hơn.

Dù sao thì đây là một ý tưởng không mới. Nó đã được sử dụng ở VMO 2004, bảng B. Thậm chí xét về 1 mặt nào đó thì bài VMO 2004 còn khó hơn bài năm nay.

Cụ thể bài VMO 2004 như sau:

Giải hệ phương trình sau :



Cách giải đáp án của bài này như sau: Đặt x + y = u, x – y = v thì x =(u+v)/2,y =(u-v)/2 và hệ có thể đưa về dạng


Sau đó nhận phương trình thứ hai với 3 rồi cộng với phương trình thứ nhất thì được (u-3)3 +(v+5)3 = 0.

Rõ ràng cách giải này tương ứng với cách giải thứ nhất của VMO 2010.

Tuy nhiên, bài VMO 2004 còn có 1 cách giải đơn giản hơn là nhân phương trình thứ hai (của hệ ban đầu) với 3 rồi cộng với phương trình thứ nhất và đưa về dạng
(x+1)((x-1)2+3(y-4)2) =0.