GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HOẠC MÔN TOÁN KHỐI A VÀ A1 NĂM 2013
Câu 1: y = - x3 + 3x2 + 3mx – 1 (Cm)
a) Khi m = 0, ta có y = y = - x3 + 3x2 – 1 (C)
TXĐ: D = R
y’ = - 3x2 + 6x ; y’ = 0 ( x = 0 hoặc x = 2

. Bảng biến thiên
x
-( 0 2 +(

 y’
 0 + 0 -



y


+( 3



-1 -(

 Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-(; 0) và (2; +()
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = y(0) = -1.
Hàm số đạt cực đại tại x = 2; yCĐ = y(2) = 3.
Đồ thị hàm số đi qua một số điểm sau: (0; -1); (2; 3); (-1; 3); (3; -1); điểm uốn I(1; 1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.










b) y = - x3 + 3x2 + 3mx – 1
y ’ = 3(-x2 + 2x + m).
Để hàm số nghịch biến trên (0; +() thì y’ ( 0 (x ( (0; +() ( -x2 + 2x + m ( 0 (x ( (0; +()

. Kết luận: m ( - 1.
Câu 2: Đ/k cosx ( 0.





Đối chiếu với điều kiện, ta được các nghiệm của phương trình là:
và
.
Câu 3: Đ/k x ( 1, y ( R.
Pt thứ nhất (
. Đặt
(t ( 0) ( x = t4 + 1. Do đó pt thứ nhất có dạng
. Xét hàm số
( f(u) luôn đồng biến nên f(t) = f(y) ( y = t ( x = y4 + 1. Thế vào phương trình thứ 2 được:
(y4 + 1)2 + 2(y4 + 1)(y - 1) + y2 – 6y + 1 = 0 ( y8 + 2y5 + y2 – 4y = 0 ( y(y7 + 2y4 + y – 4) = 0

Với y = 0 ( x = 1
Với y = 1 ( x = 2
Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0) và (2; 1)
Câu 4:







Câu 5: Gọi H là trung điểm của BC ( SH ( BC Ta có

(SBC đều cạnh a (

Trong (ABC vuông tại A, có BC = a, B = 300 ( AB = Bccos300 =


(

Ta có
. Trong (SAH vuông tại H, có

(SHB vuông tại H, có
( (SHB cân tại S. Gọi M là trung điểm của AB, suy ra
( SSAB =



Câu 6: Ta có (a + c)(b + c) = 4c2
. Đặt

( xy + x + y = 3. Do đó
. Áp dụng bất đẳng thức 4(x3 + y3) (x + y)3
Ta có
. Đặt xy = t ( x + y = 3 – t (0 ( t ( 1). Mặt khác, (x + y)2 ( 4xy
( (3 – t)2 ( 4t (
( P ( -(t – 2)3 -
= f(t) nghịch biến trên [0; 1]
( P (
Vậy minP =
( a = b = c
Câu 7a: Gọi C(t, -2t – 5)
Ta có: ACMD là hình bình hành ( AC (BN tại E
CE là đường trung bình trong (BNM nên E là trung
điểm của BN ( (ABN cân tại A ( ∠ANB ∠ABN
Mà ∠CNB ∠CBN ( (ANC vuông tại N.
(
( 9(t – 5) -12(-2t – 1) = 0 ( t = 1
( C(1; -7) ( Phương trình AC: 3x + y + 4 = 0.
Lập phương trình BN đi qua N(5; -4) và vuông góc với AC.
BN: x - 3y –