Nội dung chính :
Hai đường thẳng vuông góc
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Hai mặt phẳng vuông góc
Khoảng cách
Góc
§ 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1/ Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau
? Hai đường thẳng a và b cắt nhau tao ra bao nhiêu góc ? Các góc đó có đặc điểm gì ? Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc nào ?

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O . Chúng tạo thành 4 góc .
Định nghĩa : Số đo nhỏ nhất trong 4 góc đó được gọi là số đo góc hợp bởi hai đường thẳng a , b hay đơn giản là góc giữa hai đường thẳng a , b , kí hiệu là
Khi a trùng b thì
Khi a và b vuông góc thì
Như vậy
2. Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian
a
b
a’
b’
O
Em hãy xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ?
Khi thay đổi điểm O thì góc giữa hai đường thẳng a và b có thay đổi không ?
Định nghĩa : Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’ lần lượt song song với a và b
Ta vẫn kí hiệu góc giữa a và b là
Chú ý : Ta có thể lấy điểm O nằm trên 1 trong 2 đường thẳng đó
A
B
C
D
C’
D’
A’
B’
O
N
M
Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ .Em hãy tìm góc của các cặp đường thẳng sau : BC’ và AD , OM và CC’, AC’ và BB’
Với
3/ Hai đường thẳng vuông góc :
Định nghĩa : Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 600 .
a
a’
b’
b
O
Ta kí hiệu hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau là
Như vậy :
Chú ý rằng định nghĩa này cũng phù hợp với định nghĩa hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng
4/ Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của hai đường thẳng
a
c
b
Từ hình vẽ bên , em hãy nhận xét về vị trí của b và c
Định lí : Cho hai đường thẳng song song . Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì vuông góc với đường thẳng thứ 2
Chú ý :
1/ Hai đường thẳng vuông góc trong không gian thì hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau
2/ Trong mặt phẳng , hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với 1 đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau , nhưng trong không gian , hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với 1 đường thẳng thứ 3 thì không phải khi nào cũng song song với nhau
Trong mặt phẳng
Trong không gian
5/ Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD . Cho biết AB = CD = 2a và MN =
Tính góc
M
O
N
Giải :
Gọi O là trung điểm của AC ta có OM = ON = a . Gọi H là trung điểm của MN . Trong tam giác cân OMN ta có :
Từ đó suy ra góc giữa 2 đường thẳng OM và ON là :
Ta có : AB // OM, CD // ON . Vậy :
Ví dụ 2 : Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M,N, P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC .
a/ CMR :
b/ CMR :
Giải :
a/ Ta có : MC = MD =
M
N
P
R
Q
Nên tam giác MCD cân , từ đó :
Ta lại có RP // CD nên
Tương tự :
M
N
P
R
Q
b/ CMR
Giải :
Tương tự như câu trêb ta cũng có
Trong tam giác vuông QDP ta có
Ta có :
Nghĩa là
Vì AB // RQ và CD // RP , nên từ đó suy ra
Củng cố :
Các em cần nắm được cách xác định góc của hai đường thẳng bất kỳ trong không gian đó là :
Định nghĩa : Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’ lần lượt song song với a và b
Bài tập về nhà : BTập (SGK)