HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục tại một điểm:
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên
một đoạn:
3. Tính chất của hàm số liên tục:
� 8
Chứng minh rằng:
b/ Hàm số y = x4 – 2x2 + 2 liên tục trên đoạn [-1, 2].
Chứng minh rằng:
b/ Hàm số y = x4 – 2x2 + 2 liên tục trên [-1, 2].
Giải
Hàm số f(x) = x4 - 2x2 + 2 xác định trên R.Với mọi x0  (-1, 2) ta có:
 hàm f liên tục trên khoảng (-1, 2)
Lại có: f(-1) = 1 = lim f(x) khi x  -1+
f(2) = 10 = lim f(x) khi x  2-
Do đó hàm f liên tục trên đoạn [-1, 2]
a/ Hàm số
gián đoạn tại điểm x = 1
Giải
Với x = 1, f(1) = 2
Với mọi x  1 ta có:
Do đó:
Vậy hàm f gián đoạn tại điểm x = 1
y = x4 – 2x2 + 2
f(-1)
f(2)
Với mỗi M nằm giữa f(-1) và f(2), hãy tìm c  (-1, 2) sao cho f(c) = M trong các trường hợp sau:
Trường hợp 1: M = 2
Trường hợp 3: M = 5
Nhận xét:
Hàm f có liên tục trên đoạn [-1, 2] hay không?
Hàm f có liên tục trên đoạn [-1, 2]
Tính f(-1) =
f(2) =
?
Ta có: f(-1) = 1
f(2) = 10
 f(-1)  f(2)
2
M = 2
M = 5
Với mỗi M bất kì nằm giữa f(-1) và f(2) ta luôn tìm được ít nhất một giá trị c  (-1, 2) sao cho f(c) = M
a
b
f(a)
f(b)
c
y = f(x)
HÀM SỐ LIÊN TỤC
� 8
3. Tính chất của hàm số liên tục:
Định lí 2: (định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục)
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a, b]. Nếu f(a)  f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c  (a, b) sao cho f(c) = M.
Ý nghĩa hình học của định lí:
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và M là một số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng y = M cắt đồ thị của hàm số y = f(x) ít nhất tại một điểm có hoành độ c  (a, b)
f(c) = M
Cho hàm số:
y = x2 + 1
Giải
Hàm f liên tục trên đoạn [-2, 0]
Lại có f(-2) = 5  1 = f(0)
Theo định lí 2 tồn tại ít nhất một điểm c (-2, 0) sao cho f(c) = M
Tìm lỗi sai trong lời giải sau:
HÀM SỐ LIÊN TỤC
� 8
3. Tính chất của hàm số liên tục:
Hãy dự đoán phương trình x4 - x3 – 3 = 0 có ngiệm hay không?
?
a
b
f(a)
f(b)
y = f(x)
c
1. Hàm số y = f(x) có liên tục trên đoạn [a, b] hay không?
2. Tích f(a).f(b) như thế nào?
Khi đó c được gọi là gì của phương trình f(x) = 0?
Nhận xét:
1.Hàm số y = f(x) có liên tục trên đoạn [a, b].
2. Tích f(a).f(b) < 0
Theo định lí 2, tồn tại ít nhất một điểm c  (a, b) sao cho f(c)=M, với mỗi M nằm giữa f(a) và f(b).
Khi đó:
c được gọi là nghiệm của phương trình f(x) = 0
Hệ quả:
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a, b) sao cho f(c) = 0.
Ý nghĩa hình học của hệ quả:
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c  (a, b).
f(c) = 0
y = 0
Khi M = 0 ta có f(c) = 0, với c (a, b).
M
Áp dụng:
Chứng minh phương trình có nghiệm trong một khoảng:
Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a, b).
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình ta thực hiện như sau:
+ Tìm hàm f(x)
+ Chọn [a, b] sao cho: hàm f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0
+ Kết luận.
Ví dụ : Cho hàm số P(x) = x3 + x - 1.
Chứng minh rằng phương trình P(x) = 0 có ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1.
Giải
Ta có:
+ P(x) = x3 + x - 1 liên tục trên đoạn [0, 1].
+ P(0) = -1
+ P(1) = 1
 P(0).P(1) = (-1).1 = -1 < 0
Theo hệ quả tồn tại ít nhất một điểm c  (0, 1) sao cho P(c) = 0
Do đó: x = c chính là một nghiệm dương nhỏ hơn 1 của phương trình P(x) = 0
HÀM SỐ LIÊN TỤC
� 8
3. Tính chất của hàm số liên tục:
Định lí 2:
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a, b]. nếu f(a)  f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c  (a, b) sao cho f(c) = M.
Ý nghĩa hình học của định lí:
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và M là một số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng y = M cắt đồ thị của hàm số y = f(x) ít nhất tại một điểm có hoành độ c  (a, b)
Hệ quả:
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a, b) sao cho f(c) = 0.
Ý nghĩa hình học của hệ quả:
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c(a, b).
+ Tìm hàm f(x)?
+ Tìm đoạn [a, b] thỏa hàm f liên tục trên đoạn [a, b] và tích f(a).f(b) < 0?
+ Theo hệ quả ta có kết luận gì?
Hãy dự đoán phương trình x4-x3–3=0 có ngiệm hay không?
?
Ta có:
+ f(x) = x4-x3-3 liên tục trên đoạn [-2, 0].
+ f(-2).f(0) = 5.(-3) = -15 < 0
Theo hệ quả tồn tại ít nhất một điểm c  (-2, 0) sao cho f(c) = 0
Vậy x = c là một nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Ta có
+f(x) = x4-x3-3 liên tục trên đoạn [0, 2]
+f(0).f(2) = -15
Theo hệ quả tồn tại ít nhất một điểm c  (0, 2) sao cho f(c) = 0.
Vậy x = c cũng là một nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Giải
Ta có: hàm f liên tục trên [0, 2]
Lại có: f(0).f(2) = (-1).2 = -2 < 0
Vì - 0.8  (-1, 2) nên theo định lí 2 tồn tại ít nhất một điểm c (0, 2) sao cho f(c) = - 0.8
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm c  (0, 2) sao cho f(c) = - 0.8