HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 8
(tiết 2)
Bài toán 1:
Chứng minh rằng: Phương trình sau luôn có nghiệm m:
x2 -2mx - 5 = 0
Giải:
Ta có: a = 1 # 0
’ = m2 + 5 > 0 m
Vậy pt luôn có nghiệm m
Bài toán 2:
Chứng minh rằng: Phương trình sau luôn có nghiệm m:
m(x – 1)3(x – 2) +2x - 3 = 0
Trả lời:
Đồ thị của hàm số liên tục trên đoạn [a; b] là một
đường liền trên đoạn [a; b]
Nêu đặc điểm của đồ thị hàm số liên tục trên [a;b]
y
0
x
a
b
y=f(x)
A
B
y
0
x
a
b
y=f(x)
A
B
Hàm số liên tục trên [a; b]
Hàm số không liên tục trên [a; b]
y
0
x
a
b
f(a)
f(b)
y=f(x)
A
B
M
c
f(c) =
M
c
c
c
= f(c)
3. TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC
Định lí 2: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(a) # f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c(a; b) sao cho f(c) = M.
Hàm số liên tục trên [a; b]
y
0
x
a
b
f(a)
f(b)
y=f(x)
A
B
M
Hàm số không liên tục trên [a; b]
y
0
x
a
b
f(a)
f(b)
y=f(x)
A
B
M
y = M
Ý nghĩa hình học của định lí:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và M nằm giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng y = M cắt đồ thị của hàm số y=f(x) ít nhất tại một điểm có hoành độ c(a; b)
a
b
c
x
y
O
f(a)
f(b)
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a,b]
Thì tồn tại ít nhất một điểm c ?
(a,b) để cho f(c) = 0
Nói cách khác:
và f(a).f(b) < 0
Hệ quả:
Hàm số y=f(x) liên tục trên [a,b]
f(a).f(b) < 0
Thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (a; b)
Hệ quả:
Nếu:
Hàm số y=f(x) liên tục trên [a,b]
f(a).f(b) < 0
Thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (a; b)
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng phương trình x3 + 2x - 5 = 0
có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 2)
Giải: Đặt f(x) = x3 + 2x - 5, có tập xác định R
=> liên tục trên đoạn [0,2] (1)
+) Hàm số liên tục trên R
Từ (1) và (2) suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 2)
+)
(2)
Hệ quả:
Nếu:
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng phương trình: x3 – 5x + 3 = 0
có ít nhất 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (- 1; 2)
Giải:
Đặt f(x) = x3 – 5x + 3 , có tập xác định R
f(x) liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [-1;2]
Ta có f(-1) = 7, f(1) = -1, f(2) = 1
Suy ra: f(-1).f(1) = -7 < 0 f(x) có ít nhất một nghiệm thuộc (-1; 1)
f(1).f(2) = -1< 0 f(x) có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2)
Vậy pt đã cho có ít nhất 2 nghiệm phân biệt thuộc (-1; 2)
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng phương trình:
5x5 – x - 3 = 0 luôn có nghiệm
Giải:
Đặt f(x) = 5x5 – x – 3 có tập xác định R
f(x) liên tục trên R
Ta có f(0) = - 3, f(1) = 1
Suy ra: f(0).f(1) = - 3 < 0
f(x) có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)
đpcm
Bài toán 1:
Chứng minh rằng: Phương trình sau luôn có nghiệm m:
x2 -2mx - 5 = 0
Giải:
Ta có: a = 1 # 0
’ = m2 + 5 > 0 m
Vậy pt luôn có nghiệm m
Bài toán 2:
Chứng minh rằng: Phương trình sau luôn có nghiệm m:
m(x – 1)3(x – 2) +2x - 3 = 0
Giải:
Đặt f(x) = m(x – 1)3(x – 2) +2x – 3 TXĐ: R
f(x) liên tục trên R
Ta có: f(1) = - 1, f(2) = 1
Suy ra: f(1).f(2) = - 1 < 0
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm m.
Bài tập tương tự:
Chứng minh các phương trình sau;
x3 + x – 1 có ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1
x2cosx + xsinx + 1 có ít nhất nghiệm thuộc khoảng (0, )
CỦNG CỐ BÀI HỌC