CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI BUỔI HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Giả sử vận tốc v (tính bằng lít/giây) của luồng khí trong một chu kì hô
hấp (tức là thời gian từ lúc bắt đầu của một nhịp thở đến khi bắt đầu của
nhịp thở tiếp theo) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi được
cho bởi công thức: trong đó t là thời gian (tính bằng giây). Hãy tìm thời
gian của một chu kì hô hấp đầy đủ và số chu kì hô hấp trong một phút
của người đó.

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

NỘI DUNG BÀI HỌC
1. Định nghĩa hàm số lượng giác
2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn
3. Đồ thị và tính chất của hàm số
4. Đồ thị và tính chất của hàm số
5. Đồ thị và tính chất của hàm số
6. Đồ thị và tính chất của hàm số

1. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ
LƯỢNG GIÁC

HĐ 1: Hoàn thành bảng sau:
x

0

𝟏
?
𝟐

√?𝟑

√?𝟑
𝟑

√𝟑

0?

?
1

?0

KXĐ
?

-1?

?
0

?
KXĐ

0?

𝟐

?

Với mỗi số thực x, ta xác định được duy nhất một điểm M trên
đường tròn lượng giác sao cho số đo của góc lượng giác (OA, OM)
bằng x. Do đó, ta luôn xác định được các giá trị lượng giác và của
x lần lượt là tung độ và hoành độ của điểm M.
sin x
tan x =
Nếu , ta định nghĩa
cos x
và nếu thì ta định nghĩa

cos x
cot x=
.
sin x

Định nghĩa
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là .
Tập xác định của hàm số sin là .
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực
được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là .
Tập xác định của hàm số côsin là .

Định nghĩa
- Hàm số cho bởi công thức được gọi là hàm số tang,
kí hiệu là .
Tập xác định của hàm số tang là .
- Hàm số cho bởi công thức

được gọi là hàm số

côtang, kí hiệu là .
Tập xác định của hàm số tang là .

1
y
=
Tìm
tập
xác
định
của
hàm
số
Ví dụ 1: (SGK – tr23)
cos x
Giải

1
Biểucos
thức
x

có nghĩa khi , tức là

𝜋
+𝑘 𝜋 ( 𝑘𝜖 𝑍 )
2

𝜋
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là 𝑅 ¿ { 2 +𝑘 𝜋∨𝑘𝜖 𝑍 ¿}

LUYỆN TẬP 1

1
Tìm tập xác định của hàm số y =
sin x
Giải

Biểu thức

1
sin x

có nghĩa khi tức là:

1
y
=
Vậy tập xác định của hàm số
sin x là .

Câu hỏi mở rộng

4 π −x
√
𝑦= 𝑓 (𝑥)=
2

Tìm tập xác định của hàm số:

Giải
Điều kiện xác định của hàm số:
⇔

Vậy .

cos x

2

2. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ,
HÀM SỐ TUẦN HOÀN

a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ
HĐ 2:
Cho hai hàm số  và , với các đồ thị như hình dưới đây.
a) Tìm các tập xác định  của các hàm số  và .
b) Chứng tỏ rằng  Có nhận xét gì về tính đối
xứng của đồ thị hàm số  đối với hệ trục tọa
độ Oxy?
c) Chứng tỏ rằng  Có nhận xét gì về tính đối
xứng của đồ thị hàm số đối với hệ trục tọa
độ Oxy?

Giải
a) Biểu thức

và

luôn có nghĩa với

mọi .
Vậy tập xác định của hàm số là và tập
xác định của hàm số là .

b) , ta luôn có:
Vậy .
Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục tung Oy.

Giải
c) , ta luôn có:

Vậy .
Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số
nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Định nghĩa
Cho hàm số có tập xác định là D.
• Hàm số được gọi là hàm số chẵn nếu thì và .
Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.
• Hàm số được gọi là hàm số lẻ nếu thì và .
Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

NHẬN XÉT
Để vẽ đồ thị của một hàm số chẵn (tương ứng, lẻ), ta chỉ cần
vẽ phần đồ thị của hàm số với những x dương, sau đó lấy
đối xứng phần đồ thị đã vẽ qua trục tung (tương ứng, qua
gốc tọa độ), ta sẽ được đồ thị của hàm số đã cho.

Ví dụ 2: (SGK – tr24) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Giải
Tập xác định của hàm số là .
Do đó, nếu thuộc tập xác định thì -x cũng thuộc tập xác định .
Ta có:
Vậy là hàm số lẻ.

LUYỆN TẬP 2

1
Xét tính chẵn, lẻ của hàm số g ( x )= x

1
Biểu thức x có nghĩa khi .

Giải

1
(
)
g
x
=
Suy ra tập xác định của hàm số
x là .
Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì cũng thuộc tập xác định D.

1
1
( − x )=
(x),∀ x∈ D
g
=−
=−
g
Ta có:
−x
x
1
(
)
g
x
=
Vậy
x là hàm số lẻ.

Câu hỏi mở rộng
Xét tính chẵn lẻ của hàm số:
Giải
TXĐ:
Xét
Vậy là hàm số chẵn

b) Hàm số tuần hoàn
HĐ 3:
So sánh:

Giải
a) Ta có:

a)  và     
b)  và 

Vậy .

c)  và   

b) Ta có:

d)  và 
Vậy .

b) Hàm số tuần hoàn
HĐ 3:

Giải

So sánh:
a)  và     

c) Ta có:

b)  và 

Vậy .

c)  và   

d) Ta có:

d)  và 

Vậy .

Định nghĩa
Hàm số có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn
tại số sao cho với mọi ta có:
i) và
ii)
Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được
gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

CÂU HỎI
Hàm số hằng (c là hằng số) có phải là hàm số tuần hoàn không? Nếu hàm
số tuần hoàn thì nó có chu kì không?
Giải
Hàm số hằng (c là hằng số) có tập xác định
Với T là số dương bất kì và với , ta luôn có:
+) và
+) (vì f(x) là hàm số hằng nên với mọi x thì giá trị của hàm số đều có giá trị bằng
c).
Vậy hàm số hằng f(x) = c (c là hằng số) là hàm số tuần hoàn với chu kì là một số
dương bất kì.

NHẬN XÉT
a) Các hàm số và tuần hoàn với chu kì . Các hàm số và tuần hoàn
với chu kì .
b) Để vẽ đồ thị của một hàm số tuần hoàn với chu kì T, ta chỉ cần vẽ
đồ thị của hàm số này trên đoạn [a; a + T ], sau đó dịch chuyển song
song với trục hoành phần đồ thị đã vẽ sang phải và sang trái các
đoạn có độ dài lần lượt là T, 2T, 3T, ... ta được toàn bộ đồ thị của
hàm số.

Ví dụ 3: (SGK – tr25) Xét tính tuần hoàn của hàm số
Giải
Hàm số có tập xác định là R và với mọi số thực x, ta có:

Vậy là hàm số tuần hoàn

CHÚ Ý
Tổng quát, người ta chứng minh được các hàm số
và là những hàm số tuần hoàn với chu kì:

LUYỆN TẬP 3

Xét tính tuần hoàn của hàm số
Giải

Biểu thức có nghĩa khi:
Suy ra hàm số có tập xác định là .
Với mọi số thực x, ta có:
+)
+)
Vậy là hàm số tuần hoàn với chu kì .

3. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT
CỦA HÀM SỐ

HĐ 4:

Cho hàm số 

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số  trên đoạn bằng cách tính giá trị
của  với những  không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị
tương ứng của  với những  âm.
0
?

?

?

?

?

?

?

?

?

Bằng cách lấy nhiều điểm  với và nối lại ta được đồ thị hàm số   trên đoạn 

HĐ 4:

Cho hàm số 

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ 
, ta được đồ thị của hàm số  như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.14, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các
khoảng nghịch biến của hàm số 

Giải

a) Hàm số có tập xác định là .
Do đó, nếu thì
Ta có:
Vậy là hàm số lẻ.
b) Ta có:
Vì là hàm số lẻ nên:
;;
;.

Giải
Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

0

?0

𝟐
√
−?
𝟐

?
−𝟏

𝟐
√
−?
𝟐

?
0

√𝟐
?

𝟐

𝟏

?

√𝟐
?

𝟐

?
0

Giải
c)

Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số  có tập xác định là , tập giá trị là và đồng biến
trên mỗi khoảng  và nghịch biến trên mỗi khoảng 

KẾT LUẬN
Hàm số :
• Có tập xác định là và tập giá trị là .
• Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì .
• Đồng biến trên mỗi khoảng:
• Nghịch biến trên mỗi khoảng:
• Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

Ví dụ 4: (SGK – tr26) Sử dụng đồ thị ở Hình 1.14, hãy xác định các giá trị
của trên đoạn để hàm số :
a) Nhận giá trị bằng 0;

b) Nhận giá trị dương.
Giải

a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn , khi
b) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành.
Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn , thì khi

LUYỆN TẬP 4
Tìm tập giá trị của hàm số 
Giải
Ta có: với .
Suy ra .1; hay:
với .
Vậy hàm số có tập giá trị là .

VẬN DỤNG 1
Xét tình huống mở đầu.
a) Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Giải
Thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ chính là một chu kì tuần hoàn
của hàm v(t) và là: (giây).
Ta có: 1 phút = 60 giây.
Do đó, số chu kì hô hấp trong một phút của người đó là (chu kì).

VẬN DỤNG 1
b) Biết rằng quá trình hít vào xảy ra khi v > 0 và quá trình thở ra khi v < 0. Trong
khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm nào thì người đó hít vào?
Người đó thở ra?
Giải
Ta có:
• v > 0 khi
Mà với . Do đó, .

Giải
• v < 0 khi
Mà với . Do đó, .
• Với ta có .
• Với ta có .
Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm sau 0 giây
đến trước 3 giây thì người đó hít vào và khoảng thời điểm sau 3 giây đến 5
giây thì người đó thở ra.

4. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT
CỦA HÀM SỐ

HĐ 5:

Cho hàm số 

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số  trên đoạn bằng cách tính giá trị
của  với những  không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị
tương ứng của  với những  âm.
0
?

?

?

?

?

?

?

?

?

Bằng cách lấy nhiều điểm  với và nối lại ta được đồ thị hàm số  trên đoạn 

HĐ 5:

Cho hàm số 

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ 
, ta được đồ thị của hàm số  như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.15, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các
khoảng nghịch biến của hàm số 

Giải
a) Hàm số y = f(x) = cos x có tập xác định là .
Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.
Ta có:
Vậy hàm số là hàm số chẵn.
b) Ta có: ,
Vì là hàm số chẵn nên:
; ;
;.

Giải
Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

0
?
−𝟏

𝟐
√
−?
𝟐

𝟎

?

√?𝟐
𝟐

?
1

√𝟐
?

𝟐

𝟎

?

𝟐
√
−
?

𝟐

?
−𝟏

Giải
c)

Quan sát Hình 1.15, ta thấy đồ thị hàm số y = cos x có:
• Tập giá trị là [– 1; 1];
• Đồng biến trên mỗi khoảng: . Nghịch biến trên mỗi khoảng: .

KẾT LUẬN
Hàm số :
• Có tập xác định là và tập giá trị là [-1; 1];
• Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì .
• Đồng biến trên mỗi khoảng: và nghịch biến trên mỗi khoảng , .
• Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

Ví dụ 5: (SGK – tr27) Sử dụng đồ thị ở Hình 1.15, hãy xác định các giá trị
của trên đoạn để hàm số :
a) Nhận giá trị bằng 0;

b) Nhận giá trị âm.
Giải

a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn , khi
b) Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Từ
đồ thị ta suy ra trên đoạn , thì khi

LUYỆN TẬP 5

Tìm tập giá trị của hàm số
Giải

Ta có: với mọi
Suy ra:
Hay: với mọi .
Vậy hàm số có tập giá trị là [-3; 3].