Hàm số ngược
I.Đặt vấn đề: đâu là bản chất toán học
của một hàm số ?
Hãy thử nhìn lại sơ đồ sau:


Câu trả lời: đó là quy tắc tương ứng f của hàm
số âý:
f: D R
x y= f(x)

x
Y = f(x) = ax + b
Y= h(x) = sinx
f
h
Hôm nay chúng ta sẽ học cách tạo ra một hàm số mới từ một hàm số cho trước
II. Định nghĩa hàm số ngược:
Xét hàm số f: D R
x y = f(x)
hàm số này có TXĐ D và Tập Giá Trị f(D):
f(D) =
*Bây giờ thử lập 1 quy tắc ứng ngược g sau:
g: f(D) R
y x = g(y): số x này là số mà trong quy tắc f thì: f(x) = y





y = f(x)
f
g
X
f(D)
R
Ta thử xem: Với f nào? quy tắc cho ứng ngược g sẽ trở thành một hàm số.
VD: a/ xét hàm số y = f(x) = có D = R và f(D) = R
+ quy tắc ứng ngược y x ? để = y
rõ ràng x =
+ quy tắc tương ứng này có là hàm số không?
Là hàm số: vì mỗi y có và chỉ có một x tương ứng (do p.trình y = có và chỉ có 1 nghiệm đối với x)
b/ xét hàm số y = f(x) = có D = R và f(D) = tập số thực không âm.
+ quy tắc ứng ngược y x ? để = y : HS ?
+ quy tắc tương ứng này có là hàm số không: HS ?
+ muốn sửa thành hàm số, cần điều chỉnh tương ứng?
Qua hai ví dụ trên dẫn đến kháI niệm hàm số ngược sau:
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) có TXĐ D và TGT
f(D). f: D R
x y = f(x)
Nếu p. trình f(x) = y có một nghiệm duy nhất x thuộc D thì luôn xác định được hàm số mới:
g: f(D) R
y x = g(y)
(số x này nghiệm duy nhất của p.trình: f(x) = y)
H�m s? x = g(y) được gọi là h�m s? ngược của h�m s?
y = f(x) ( trong h�m s? n�y: x l� h�m s? c?a d?i s? y )

Ví Dụ: x = (1) là hàm số ngược của hàm số y = trên R
x = (2) là hàm số ngược của hàm số y = trên tập số thực không âm
Tuy nhiên theo thói quen ta thường ký hiệu x là dối số và y là hàm số vậy có thể viết lại phương trình hàm số ngược x = g(y) là: y = g(x)
VD: y = ( thay cho (1) ) là hàm số ngược của y =
Chú ý: Quan hệ giữa x, y trong quan hệ hàm ngược và quan hệ giữa x,y trong quan hệ hàm xuất phát ban đầu là một, chúng cùng biểu thị một quan hệ tổng quát F(x,y) = 0



gì? ( thử trên h.vẽ với Hàm ĐB, Hàm NB, Hàm vừa ĐB vừa NB)


Qua luập luận trên khi tạo ra hàm ngược, có 1 điều kiện cơ bản để cho quy tắc ứng ngược g trở thành 1 hàm số là:
Phương trình f(x) = có 1 nghiệm duy nhất với mọi thuộc f(D). Điều này tương đương: Đồ thị y = f(x) cắt đồ thị y = chỉ tại 1điểm
Để đạt được điều này hàm y = f(x) phải có tính chất
gì? ( thử trên H.vẽ với Hàm ĐB, Hàm NB, Hàm vừa ĐB vừa NB)
Định lý: Hàm số đơn điệu trên TXĐ của nó thì có hàm ngược
VD: hàm số nào có hàm số ngược: y = sinx hay y =
trên R ? Trên tập con của R ?

IV. Đồ thị của hàm số ngược:
1.Mệnh đề 1: Trên mặt phẳng toạ độ Đề các vuông góc, 2 đường biểu diễn y = f(x) và x = g(y) là trùng nhau ( g là quy tắc ứng ngược của f). Tại sao?
2.Định lý: Trong mặt phẳng toạ độ Đề các vuông góc, đồ thị của hai hàm số ngược nhau y = f(x) và
y = g(x) đối xứng nhau qua đường phân giác y = x.

y
x
O
N
M
b
a
b
a

ThËt vËy: Mçi ®iÓm M(a;b) n»m trªn ®å thÞ y = f(x) t­¬ng ®­¬ng
víi b = f(a). Song theo quy t¾c øng ng­îc: g(b) = a, ®iªï nµy còng t­¬ng ®­¬ng: cã ®iÓm
N( b;a) thuéc ®å thÞ y = g(x). Mµ cÆp ®iÓm (a; b) & (b;a) lu«n ®èi xøng nhau qua ®. th¼ng y = x.

Điều này có ích gì trong việc nghiên cứu các hàm số?
V.Điều cần ghi nhớ:
1.Các thao tác khi lập Hàm ngược của hàm số y = f(x):
+ Tìm TXĐ D và TGT f(D) của hàm số.
+ Xét xem hàm số có đơn điệu trên D không ( hay p.trình f(x) = y có nghiệm duy nhất trên D không?)
+ Rút ngược x theo y từ p.trình y = f(x) sẽ được quan hệ ứng ngược x = g(y) (#)
+ Trong công thức(#): đổi ký hiệu x thành y, y thành x để được hàm số ngược y = g(x) cần tìm.
2. Quan hệ đặc biệt giữa hàm ngược y = g(x) với hàm số y = f(x) đã sinh ra nó?

Chúc các em 11D3 vươn tới đỉnh cao của toà lâu đài
khoa học, ở đó có căn phòng toán học !