CHƯƠNG
I
CHUYÊN ĐỀ I.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA
ẨN

§1. Hệ phương trình bậc nhất ba
ẩn
§2. Ứng dụng của hệ phương trình
bậc nhất ba ẩn
§3. Bài tập cuối chuyên đề 1

CHƯƠNG
CHUYÊN ĐỀ I. HỆ
PHƯƠNGI TRÌNH BẬC NHẤT
BA ẨN

TOÁN ĐẠI
SỐ
1
➉

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

1

1
2

Thuật ngữ

Kiến thức kĩ năng

• Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn • Nhận biết hệ phương trình bậc
2• Nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.
• Giải hệ phương trình bậc nhất ba
nhất
3
ẩn
bằng
phương
pháp
Gauss.
• Phương pháp Gauss
4
• Tìm nghiệm của hệ phương trình
bậc nhất ba ẩn bằng máy tính
5
cầm tay.

Tình huống mở đầu:
• Ông An đầu tư 240 triệu đồng vào ba quỹ khác nhau: một phần trong
quỹ thị trường tiền tệ (là một quỹ đầu tư thị trường, tập trung vào các
sản phẩm tài chính ngắn hạn như tín phiếu kho bạc, trái phiếu ngắn hạn,

3%với tiền lãi nhận được là
chứng chỉ tiền gửi,…)

một năm, một phần

4%chính phủ với tiền lãi nhận được là
trong trái phiếu
7% một ngân hàng với tiền lãi nhận được là
còn lại trong

một năm và phần
một năm. Số

tiền ông An đầu tư vào ngân hàng nhiều hơn vào trái phiếu Chính phủ là

13,
4
80 triệu đồng và tổng số tiền lãi thu được sau năm đầu tiên ở cả ba quỹ
là

triệu đồng. Hỏi ông An đã đầu tư bao nhiêu tiền vào mỗi loại

1. KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

HĐ1: Khái niệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
• Xét hệ phương trình với ba ẩn

x, y , z

sau
:

 x  y  z 2

 x  2 y  3 z 1
2 x  y  3 z  1.


a) Mỗi phương trình của hệ trên có

x, ẩn
y, z ?
bậc mấy đối với các

1. KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

HĐ1: Khái niệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
• Xét hệ phương trình với ba ẩn

x, y , z

sau
:

 x  y  z 2

 x  2 y  3 z 1
2 x  y  3 z  1.


b) Thử lại rằng bộ ba số

 x; y; z  1;3;  2 

thỏa mãn cả ba phương trình của
hệ.

1. KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

HĐ1: Khái niệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
• Xét hệ phương trình với ba ẩn

x, y , z

sau
:

 x  y  z 2

 x  2 y  3 z 1
2 x  y  3 z  1.


c) Bằng cách thay trực tiếp vào hệ,
hãy kiểm tra bộ ba số

1; 2;3
có thỏa mãn hệ phương trình đã
cho không.

• Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là:

ax  by  cz d
trong
đó

a , b, c , d

x, y , z

là ba
ẩn;
là các hệ số
và



a , b, c



không đồng thời bằng
0.

x0 ; y0 ; z0 thỏa
ax0  by0  cz0 d
Mỗi bộ ba
mãn
số
gọi là một nghiệm của phương trình bậc nhất ba ẩn đã cho.

• Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ gồm một số phương trình bậc
nhất ba ẩn. Mỗi nghiệm chung của các phương trình đó được gọi là một
nghiệm của hệ phương trình đã cho.
• Nói riêng, hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

a1 x  b1 y  c1 z d1

a2 x  b2 y  c2 z d 2
a x  b y  c z d .
3
3
3
 3

x, y, z là ba ẩn,
trong
đó
Các chữ số còn lại là các hệ
số.
Trong mỗi phương trình, ít nhất một trong

,
b
,
c
các hệasố
i
i
i

i 1, 2, 3 phải khác
0.

Chú ý:

Chú ý:
• Trong sách này ta chỉ xét các hệ phương trình có số phương trình bằng
đúng số ẩn, nên từ nay về sau ta sẽ gọi tắt là hệ phương trình bậc nhất
ba ẩn (hay hệ bậc nhất ba ẩn) thay cho hệ ba phương trình bậc nhất ba
ẩn.

Chú ý:

Ví dụ 1.
• Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm
tra
bộ
số
1;
2;

3

 có phải là một nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó
không?

2 x  3 y  5 z 13

a ) 4 x  2 y  3 z 3
 x  2 y  4 z 2  1.


 2 x  y  z  3

b) 5 x  y  3 z 16
 x  2y

5.


Chú ý:

Ví dụ 1.
LỜI GIẢI

2 x  3 y  5 z 13

a ) 4 x  2 y  3z 3
 x  2  4 z 2  1.
y


Hệ phương trình ở câu a) không phải
là hệ phương trình bậc nhất vì
2
phương trình zthứ
ba chứa

Chú ý:

Ví dụ 1.
LỜI GIẢI

Hệ phương trình ở câu b) là hệ
phương trình bậc nhất ba ẩn.

 2 x  y  z

b) 5 x  y  3z
 x  2y


 3
16
5.

Thay x 1, y 2, z  3
vào các phương trình trong hệ ta
được
 3  3 Do
1; 2;  3


đó,
16

16

là một nghiệm của
 5 5. hệ.


Chú ý:

LUYỆN TẬP 1.
• Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm
tra
bộ
số

3;
2;

1

 có phải là một nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó
không?

 x  2 y  3 z 1

a ) 2 x  3 y  7 z 15
3 x 2  4 y  z  3.


 x  y  z

b)  2 x  y  3 z
3 x

2
z


4
 1
 7.

Chú ý:

LUYỆN TẬP 1.
LỜI GIẢI

 x  2 y  3 z 1

a ) 2 x  3 y  7 z 15
3 x 2  4 y  z  3.


Hệ phương trình ở câu a) không phải
là hệ phương trình bậc nhất vì
2
phương trình xthứ
ba chứa

Chú ý:

LUYỆN TẬP 1.
LỜI GIẢI

Hệ phương trình ở câu b) là hệ
phương trình bậc nhất ba ẩn.

 x  y  z

b)  2 x  y  3 z
3 x

2
z


4
 1
 7.

Thayx  3, y 2, z  1
vào các phương trình trong hệ ta
được
 4 4 Do
 3; 2;  1


đó,

1

1

là một nghiệm của
 7  7. hệ.


2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
GAUSS

HĐ2: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tam giác

• Cho hệ phương trình

x, y , z .
- Phương trình đầu có đủ ba ẩn
y, z
- Phương trình hai có hai ẩn

 x  y  2 z 3

 y  z 7

z

2
4.


khuyết ẩnx.

z
- Phương trình ba có một ẩn
khuyết hai ẩnx, y.
Hệ phương trình bên được gọi là hệ
phương trình ba ẩn dạng tam giác.

2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
GAUSS

HĐ2: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tam giác

• Cho hệ phương trình

 x  y  2 z 3

 y  z 7

2
z

4.


- Trước hết ta giải từ phương trình chứa một ẩn,
- Sau đó thay giá trị tìm được của ẩn này vào
phương trình chứa hai ẩn để tìm giá trị của ẩn
thứ hai,
- Cuối cùng thay các giá trị tìm được vào
phương trình còn lại để tìm giá trị của ẩn thứ
ba.

Chú ý:

Ví dụ 2.
Giải hệ phương trình:

 x  y  2 z 4

 3 y  z 2


z

1.


z

1
Từ phương trình thứ ba ta có
z

1
Thay
vào phương trình thứ hai ta có

3 y  1 2  y 1

y

1,
z

1
Với
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã

; y; z  1;1;  1
 xlà
cho

thay vào phương trình thứ nhất ta
được

x  1  2 4  x 1

Chú ý:

LUYỆN TẬP 2.
Giải hệ phương trình:

3
2 x

 x  y 2
2x  2 y  z  1.


3
x
Từ phương trình thứ nhất ta có
2
3
x

Thay
2
1
y
vào phương trình thứ hai ta có
2
3
1
Thay x  ; y 
2
2

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã vào phương trình thứ ba ta được

3 1

x; y; z   ; ;  3 
cholà
2 2


z  3

2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
GAUSS

HĐ3: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

• Cho hệ phương trình

Để giải một hệ phương trình bậc
nhất ba ẩn, ta đưa hệ đó về một hệ

 x  y  2 z 3

 x  y  6 z 13
 2x  y  9 z  5.


đơn giản hơn (thường có dạng tam
giác), bằng cách sử dụng các phép
biến đổi sau đây:
- Nhân hai vế của một phương trình
của hệ với một số khác 0.

2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
GAUSS

HĐ3: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

• Cho hệ phương trình

- Cộng mỗi vế của một phương trình
(sau khi đã nhân với một số khác 0)

 x  y  2 z 3

 x  y  6 z 13
 2x  y  9 z  5.


với vế tương ứng của một phương
trình khác để được phương trình
mới có số ẩn ít hơn.
Từ đó ta có thể giải hệ phương trình
đã cho. Phương pháp này gọi là
phương pháp Gauss.

Johann Carl Friedrich
Gauss
(1977-1855),
nhà toán học và vật lí
người Đức, là một
trong những nhà toán
học vĩ đại nhất trong
lịch sử.

Chú ý:

Ví dụ 3.
Giải hệ phương trình bằng phương
pháp Gauss:

 x  y  z 2 1

( I )  7 x  3 y  z 4 2 


5
x

7
y

2
z

5
3
.




 7
- Nhân hai vế của phương trình (1) với
rồi cộng với phương trình (2) theo từng
vế tương ứng ta được hệ:

 x  y  z 2 1

( II ) 
 4 y  6 z  10 2 


5
x

7
y

2
z

5
3
.




Chú ý:

Ví dụ 3.
- Nhân hai vế của phương trình (1)
của hệ (II)5với
rồi cộng với phương trình (3) theo
từng vế tương ứng ta được hệ:



( III ) 



x  y  z 2 1

 4 y  6 z  10 2 
12 y  3 z 15 3.

 7
- Nhân hai vế của phương trình (1) với
rồi cộng với phương trình (2) theo từng
vế tương ứng ta được hệ:

 x  y  z 2 1

( II ) 
 4 y  6 z  10 2 


5


2

5
3
.
x
7
y
z




Chú ý:

Ví dụ 3.
- Nhân hai vế của phương trình (1)
của hệ (II)5với

- Nhân hai vế của phương trình (2) của

3
hệ (III) với

Rồi cộng với phương trình (3) theo

rồi cộng với phương trình (3) theo từng

từng vế tương ứng ta được hệ:

vế tương ứng ta được hệ dạng tam



( III ) 



giác:

x  y  z 2 1

 4 y  6 z  10 2 
12 y  3 z 15 3.



( IV ) 



x  y  z 2 1

 4 y  6 z  10 2 

 15 z  15 3.

Chú ý:

Ví dụ 3.
- Từ phương trình (3) cóz 1

y 1
- Thay vào phương trình (2) được
- Cuối cùng thay vào phương trình

x 0
(1) được
Vậy nghiệm của hệ phương trình (I)
là

 x; y; z  0;1;1

- Nhân hai vế của phương trình (2) của

3
hệ (III) với
rồi cộng với phương trình (3) theo từng
vế tương ứng ta được hệ dạng tam



( IV ) 



giác:

x  y  z 2 1

 4 y  6 z  10 2 

 15 z  15 3.

Chú ý:

Ví dụ 3.
- Từ phương trình (3) cóz 1

y 1
- Thay vào phương trình (2) được
- Cuối cùng thay vào phương trình

x 0
(1) được
Vậy nghiệm của hệ phương trình (I)
là

 x; y; z  0;1;1

Chú ý:

Ví dụ 4.
Giải hệ phương trình bằng phương
pháp Gauss:

 2 x  y  z 5

 x  y  z 3
 5 x  4 y  2 z 10.


- Đổi chỗ phương trình thứ nhất với
phương trình thứ hai của hệ ta được
hệ phương trình:

 x  y  z 3

2 x  y  z 5
 5 x  4 y  2 z 10.


Chú ý:

Ví dụ 4.
- Nhân hai vế của phương trình thứ


2

nhất với

Rồi cộng với phương trình hai theo
từng vế tương ứng ta được hệ:

 x  y  z 3

  y  3 z  1
 5 x  4 y  2 z 10.


- Đổi chỗ phương trình thứ nhất với
phương trình thứ hai của hệ ta được
hệ phương trình:

 x  y  z 3

2 x  y  z 5
 5 x  4 y  2 z 10.


Chú ý:

Ví dụ 4.
- Nhân hai vế của phương trình thứ

- Nhân hai vế của phương trình thứ

Rồi cộng với phương trình hai theo

rồi cộng với phương trình thứ ba theo

từng vế tương ứng ta được hệ:

từng vế tương ứng ta được hệ:


2

nhất với

 x  y  z 3

  y  3 z  1
 5 x  4 y  2 z 10.



5


nhất với

 x  y  z 3

  y  3 z  1
  y  3z  5 .


Chú ý:

Ví dụ 4.
- Từ hai phương trình cuối ta suy ra: - Nhân hai vế của phương trình thứ

5


 1  5 (Vô lý)
nhất với
Vậy hệ phương trình ban đầu vô

rồi cộng với phương trình thứ ba theo

nghiệm.

từng vế tương ứng ta được hệ:

 x  y  z 3

  y  3 z  1
  y  3z  5 .


Chú ý:

Ví dụ 5.
Giải hệ phương trình bằng phương
pháp Gauss:

 5 x  y  4 z 2

 x  y  z  1
 3 x  3 y  2 z 4.


- Đổi chỗ phương trình thứ nhất với
phương trình thứ hai của hệ ta được
hệ phương trình:

 x y 

5 x  y 
 3x  3 y 


z  1
4 z 2
2 z 4.

Chú ý:

Ví dụ 5.
- Nhân hai vế của phương trình thứ


5

nhất với

Rồi cộng với phương trình hai theo
từng vế tương ứng ta được hệ:

 x  y  z  1

6 y  z 7

 3 x  3 y  2 z 4.


- Đổi chỗ phương trình thứ nhất với
phương trình thứ hai của hệ ta được
hệ phương trình:

 x  y  z  1

5 x  y  4 z 2
 3 x  3 y  2 z 4.


Chú ý:

Ví dụ 5.
- Nhân hai vế của phương trình thứ

- Nhân hai vế của phương trình thứ

Rồi cộng với phương trình hai theo

rồi cộng với phương trình thứ ba theo

từng vế tương ứng ta được hệ:

từng vế tương ứng ta được hệ:


5

nhất với

 x  y  z  1

6 y  z 7

 3 x  3 y  2 z 4.



3


nhất với

 x  y  z  1

6 y  z 7


6
y

z

7
.


Chú ý:

Ví dụ 5.
- Nhận thấy phương trình thứ hai và - Nhân hai vế của phương trình thứ
phương trình thứ ba giống nhau.
Vậy ta có hệ phương trình hình
thang

 x  y  z  1

6
y

z

7
.


Vậy hệ phương trình ban đầu vô số


3


nhất với

rồi cộng với phương trình thứ ba theo
từng vế tương ứng ta được hệ:

 x  y  z  1

6 y  z 7


6
y

z

7
.


Chú ý:

Ví dụ 5.
- Nhận thấy phương trình thứ hai và
phương trình thứ ba giống nhau.
Vậy ta có hệ phương trình hình
thang

 x  y  z  1

6
y

z

7
.


Vậy hệ phương trình ban đầu vô số

Chú ý:

Ví dụ 5.
- Nhận thấy phương trình thứ hai và - Từ phương trình thứ hai của hệ ta
z

7

6
y
phương trình thứ ba giống nhau.
được:
Vậy ta có hệ phương trình hình
thang

 x  y  z  1

6
y

z

7
.


x  5 y  6
- Thế vào phương trình thứ nhất ta
được:





 phương
y;;7
7 yđã
 6cho
- VậyShệ
 5 y  6;trình
 | y cóvô số
Vậy hệ phương trình ban đầu vô số

nghiệm và tập nghiệm của hệ là: