PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:
1. Định lý:
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính r có
phương trình là :
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu tâm I(1;-2;3) có bán kính r = 5.
Giải :
Nhận xét:
1. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:
với
Ta có :
2. Ta chứng minh được rằng phương trình dạng
với điều kiện
là phưong trình của mặt cầu tâm I(a;b;c) có bán kính
Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình
Giải:
Ta có :
Vậy:
Mặt cầu đã cho có tâm I(4;1;0), bán kính
Ví dụ 3: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình
Giải:
Ta có :
Mặt khác:
Vậy:
Mặt cầu đã cho có tâm , bán kính
Ví dụ 4: Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a) Có đường kính AB với A(4;-2;7), B(2;1;3)
Giải:
Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB. (S) có tâm I là trung điểm của AB và bán kính
Ta có :
Vậy:
b) Đi qua điểm A(5;3;1) và có tâm C(3;-3;1)
Giải:
Gọi (S) là mặt cầu tâm C và đi qua A.
Bán kính của (S):
Vậy:
c) Đi qua 4 điểm :
Giải:
Gọi (S) là mặt cầu đi qua A,B,C,D.
Phương trình của (S) có dạng:
Vậy:
d) Đi qua 4 điểm : gốc tọa độ O,
Giải:
Gọi (S) là mặt cầu đi qua O, A,B,C.
Phương trình của (S) có dạng:
Vậy:
hay:
V. Tích có hướng của hai vectơ:
1. Định nghĩa:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ
và
được gọi là tích có hướng của
Vectơ có tọa độ
của hai vectơ
và
. Ký hiệu :
hay
Như vậy:
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
. Tính
Giải:
Tính tích có hướng của hai vectơ theo định nghĩa:
Lập bảng các tọa độ của hai vectơ gồm 4 cột, 2 hàng: cột thứ nhất và cột thứ tư là cột hoành độ, cột thứ hai là cột tung độ, cột thứ ba là cột cao độ
Tính tọa độ của tích có hướng theo phương pháp: tính hoành độ thì che cột hoành độ, tính tung độ thì che cột tung độ, tính cao độ thì che cột cao độ rồi tính theo quy tắc huyền trừ sắc
Giải:
Tính tích có hướng của hai vectơ bằng máy tính cầm tay VINACAL
và CASIO 570 VN PLUS:
Ấn mode 8
Ấn 1 1
Nhập tọa độ vectơ thứ nhất
Ấn SHIFT 5 1 2 1
Nhập tọa độ vectơ thứ hai
Ấn SHIFT 5 1 3 1
Nhập tọa độ vectơ thứ ba
Ấn AC
Ấn SHIFT 5 3 x SHIFT 5 4
Ấn =, ta được tích có hướng của vectơ thứ nhất và vectơ thứ hai
Ấn AC
Ấn SHIFT 5 3 x SHIFT 5 5
Ấn =, ta được tích có hướng của vectơ thứ nhất và vectơ thứ ba
Giải:
Tính tích có hướng của hai vectơ bằng máy tính cầm tay CASIO 580 VN PLUS:
Ấn mode 5
Ấn 1 3
Nhập tọa độ vectơ thứ nhất
Ấn OPTN
Ấn 1 2 3
Nhập tọa độ vectơ thứ hai
Ấn OPTN
Ấn 1 3 3
Nhập tọa độ vectơ thứ ba
Ấn OPTN
Ấn 3, ấn x, ấn OPTN, ấn 4, ấn =, ta được tích có hướng của vectơ thứ nhất và vectơ thứ hai
Ấn OPTN
Ấn 3, ấn x, ấn OPTN, ấn 5, ấn =, ta được tích có hướng của vectơ thứ nhất và vectơ thứ ba
Tính tích vô hướng của hai vectơ bằng máy tính cầm tay VINACAL
và CASIO 570 VN PLUS:
Ấn mode 8
Ấn 1 1
Nhập tọa độ vectơ thứ nhất
Ấn SHIFT 5 1 2 1
Nhập tọa độ vectơ thứ hai
Ấn AC
Ấn SHIFT 5 3
Ấn SHIFT 5 7
Ấn SHIFT 5 4
Ấn =, ta được tích vô hướng của vectơ thứ nhất và vectơ thứ hai
Tính tích vô hướng của hai vectơ bằng máy tính cầm tay CASIO 580 VN PLUS:
Ấn mode 5
Ấn 1 3
Nhập tọa độ vectơ thứ nhất
Ấn OPTN
Ấn 1 2 3
Nhập tọa độ vectơ thứ hai
Ấn OPTN
Ấn 3
Ấn OPTN
Ấn 3
Ấn OPTN, ấn , ấn 2
Ấn OPTN, ấn 4
Ấn =, ta được tích vô hướng của vectơ thứ nhất và vectơ thứ hai
2. Tính chất:
cùng phương
và

và
3. Các ứng dụng của tích có hướng :
a. Tính diện tích của tam giác :
b. Tính diện tích của hình bình hành:
c. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ :
Ba vectơ
đồng phẳng
Ba vectơ
không đồng phẳng
Thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’:
Thể tích của tứ diện ABCD:
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
a) Chứng minh A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện
Giải:
a) Ta có:
không đồng phẳng
không đồng phẳng
là 4 đỉnh của tứ diện
Ba vectơ
không đồng phẳng
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
b) Tính đường cao của tam giác BCD hạ từ đỉnh D
Giải:
Ta có:
K
H
b) Gọi DK là đường cao hạ từ đỉnh D của tam giác BCD
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
c) Tính góc
Giải:
Ta có:
c)
và góc giữa hai đường thẳng AB và CD
Nếu  là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b thì
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
d) Tính thể tích của tứ diện ABCD và từ đó suy ra độ dài của đường cao qua đỉnh A
Giải:
d)
Gọi AH là đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện ABCD
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
e) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Giải:
e) Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Phương trình của (S) có dạng:
Vậy:
c) Đi qua 4 điểm :
Giải:
Gọi (S) là mặt cầu đi qua A,B,C,D.
Phương trình của (S) có dạng:
Vậy: