chuyên đề
hình học tam giác
1.1. Định lý Ceva. (1647 - 1734). Cho tam giác ABC và ba đường thẳng AA`, BB`, CC` xuất phát từ các đỉnh của tam giác và cắt đường thẳng chứa cạnh đối diện tại A`, B`, C` sao cho hoặc cả ba điểm A`, B`, C` đều nằm trên ba cạnh của tam giác hoặc một trong ba điểm đó nằm trên một cạnh của tam giác còn hai điểm kia nằm trên phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Điều kiện cần và đủ để AA`, BB`, CC` đồng quy hoặc song song với nhau là ta có hệ thức:
.
.
ứng dụng của định lí Cêva:
1.2. Các đường thẳng đồng quy đặc biệt.
Từ định lý Cêva ta có thể suy ra rằng trong một tam giác ABC ta có:
a) Ba đường trung tuyến đồng quy (tại trọng tâm của tam giác)
Vì A`, B`, C` là trung điểm của các cạnh nên ba tỉ số AB`/B`C, CA`/A`B và BC`/C`A đều bằng 1.
b) Ba đường phân giác đồng quy (tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác)
Gọi BC = a, CA = b, AB = c ta có
;
Do đó:
ứng dụng của định lí Cêva:
1.2. Các đường thẳng đồng quy đặc biệt.
c) Ba đường cao đồng quy (tại trực tâm của tam giác)
Ta có AB` = c. cosA, B`C = a. cosC,
CA` = b. cosC, A`B = c. cosB,
BC` = a. cosB, C`A = b. cosA
Do đó:
d) Ba đường trung trực đồng quy (tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác).
Vì ba đường trung trực là ba đường cao của tam giác có đỉnh là chân các đường trung trực, nên chúng đồng qui.
ứng dụng của định lí Cêva:
1.2. Các đường thẳng đồng quy đặc biệt.
e) Đường phân giác trong của một góc A và hai đường phân giác ngoài của hai góc ngoài đỉnh B và C đồng quy (tại tâm của đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC).
Gọi BC = a, CA = b, AB = c ta có:
Do đó:
f) Các đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp điểm của cạnh đối diện với đường tròn nội tiếp đồng quy (tại điểm gọi là điểm Gergone)
ứng dụng của định lí Cêva:
1.2. Các đường thẳng đồng quy đặc biệt.
Do AB` = AC` ; BC` = BA`; CA` = CB`
ứng dụng của định lí Cêva:
1.2. Các đường thẳng đồng quy đặc biệt.
g) Các đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp điểm của cạnh đối diện với đường tròn bàng tiếp đồng quy (tại điểm gọi là điểm Nagel)
Gọi D, E lần lượt là tiếp điểm của BA và BC (kéo dài) với đường tròn bàng tiếp trong góc B. Ta có:
AB` = AD; CB` = CE.
Do đó BD = BE = (a + b + c)/2 = p
Suy ra AB` = AD = p - c
B`C = p - a
CA` = p - b
BC` = p - a
A`B = p - c
C`A = p - b
ứng dụng của định lí Cêva:
Các ví dụ.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng, trong một tam giác ABC, khi giao điểm của một bộ ba đường thẳng đồng qui AA`, BB`, CC` (A` trên BC, B` trên AC, C` trên AB) trùng với trọng tâm G của tam giác thì tích AB`, CA`, BC` có trị số lớn nhất.
Giải:
Ta luôn có :
hay AB`. B`C ? AN2.
Tương tự CA`. A`B ? CM2
BC`. C`A ? BP2
Từ đó (AB`. CA`. BC`)(B`C. A`B. C`A) ? (AN. CM. BP)2
Theo định lý Ceva: AB`. CA`. BC` = B`C. A`B. C`A.
Vậy AB`. CA`. BC` ? AN. CM. BP
Từ đó tích AB`. CA`. BC` có trị số lớn nhất là AN. CM. BP = khi B`, A`, C` trùng với trung điểm các cạnh.
ứng dụng của định lí Cêva:
Các ví dụ.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC với AA`, BB`, CC` đồng qui (A`?BC, B`?AC, C`?AB). Gọi M, N, P, M`, N`, P` lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, CA, AB, CC`, BB`, AA`. Chứng minh rằng các đường thẳng MM`, NN` và PP` đồng qui.
Giải:
Theo giả thiết ta có:
?
Hay:
Hệ thức này chứng tỏ là trong tam giác MNP, ba đường thẳng MM`, NN`, PP` đồng qui.
ứng dụng của định lí Cêva:
Trường hợp đặc biệt
1) Trong một tam giác, các đường thẳng nối trung điểm của mỗi cạnh với trung điểm của các đường cao tương ứng đồng qui tại một điểm.
2) Trong một tam giác, các đường thẳng nối trung điểm của mỗi cạnh với trung điểm của đường phân giác trong tương ứng đồng qui tại một điểm.
ứng dụng của định lí Cêva:
Các trường hợp đặc biệt:
1) Khi AA`, BB`, CC` là những đường trung tuyến : m = n = t = 1
SA`B`C` = S/4
2) Khi AA`, BB`, CC` là những đường phân giác trong:
ứng dụng của định lí Cêva:
ứng dụng của định lí Cêva:
Các trường hợp đặc biệt:
2) Khi AA`, BB`, CC` là những đường phân giác trong:
1) Khi AA`, BB`, CC` là những đường trung tuyến : m = n = p = 1
SA`B`C` = S/4
ứng dụng của định lí Cêva:
(vì acosC + c.cosA = b, c.cosB + b. cosC = a, b. cosA + a. cosB = c)
3) Khi AA`, BB`, CC` là những đường cao:
2. Định lý Stuya - Một số định lý liên quan.
2.1. Định lý Stuya. (1717 - 1785) Nếu đường thẳng AD = d thuộc tam giác ABC chia cạnh BC thành những đoạn BD = m và CD = n thì d2a = b2m + c2n - amn.
Chứng minh.
Giả sử AE là đường cao của tam giác ABC. Từ các tam giác BDA và ADC ta có
c2 = d2 + m2 - 2mDE
b2 = d2 + n2 + 2nDE
Nhân các vế của đẳng thức thứ nhất với n và các vế của đẳng thức thứ hai với m rồi cộng lại ta thu được
c2n + b2m = d2(m + n) + mn(m + n)
hay d2a = b2m + c2n - amn. đpcm
2. Định lý Stuya - Một số định lý liên quan.
Chú ý. Nếu biết tỉ số các đoạn thẳng thì từ đẳng thức trên ta có thể rút ra liên hệ sau:
?
(dạng 2 của định lý Stuya)
Với dạng 2 của định lý Stuya cho phép tính khoảng cách từ 1 đỉnh của tam giác đến 1 điểm thuộc cạnh đối diện, biết rằng điểm đó chia cạnh đối diện theo tỉ số p cho trước.
2. Định lý Stuya - Một số định lý liên quan.
Các trường hợp đặc biệt
1) AD = ma là trung tuyến tương ứng với cạnh a.
Trường hợp này m = n = a/2 ta có
?
2) AD = ?a là phân giác của góc A
Trường hợp này ta có :
?
?