TIẾT 3, 4: HÌNH THANG CÂN- LUYỆN TẬP
1, Định nghĩa:
Hình thang ABCD (AB // CD)
trên hình 23 có gì đặc biệt?
A
C
B
D
?1
Hình 23
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
D = C
Tứ giác ABCD là AB // CD
hình thang cân
(đáy AB, CD) C=D (A=B)
* Chú ý: Nếu ABCD là hình thang cân
(đáy AB, CD) thì C = D hoặc A = B
Cho hình 24:
Tìm các hình thang cân.
Tính các góc còn lại của hình thang cân đó.
Có nhận xét gì về hai góc đối của hình tthang cân?
?2
a)
c)
b)
d)
a) Các hình thang cân là: ABDC, KINM và PQST
b) Tính các góc còn lại của hình thang cân:
Hình thang cân ABDC có D = 100O (góc kề đáy của hình thang cân).
Hình thang cân KINM có N = 70O và I = 110O (2 góc kề đáy của hình thang cân).
Hình thang cân PQST có S = 90O (góc kề đáy của hình thang cân).
?2
c) Nhận xét:
?2
Trong hình thang cân hai góc đối nhau thì bù nhau.
2, Tính chất:
Định lí 1:
Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
gt
ABCD là hình thang cân (AB//CD)
kl
AD = BC
Chứng minh định lí 1:
O
C
D
A
B
2
1
1
2
Chứng minh. Xét 2 trường hợp:
AD cắt BC ở O (giả sử AB < CD, h.vẽ):
ABCD là hình thang cân nên: D = C,
A1 = B1.

Ta có D = C nên ∆OCD cân tại O (2 góc ở đáy bằng nhau), do đó
OD = OC (1)
Ta có: A1 = B1 nên A2 = B2 , suy ra ∆OAB cân tại O (2 góc ở đáy bằng nhau), do đó:
OA = OB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OD – OA = OC – OB.
Vậy: AD = BC
Chứng minh định lí 1:
A
D
C
B
b) AD // BC (h.vẽ) . Khi đó AD = BC
(theo nhận xét ở §2: hình thang có 2
cạnh bên song song thì hai cạnh bên
bằng nhau).
2, Tính chất:
Định lí 2:
Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
gt
ABCD là hình thang cân (AB//CD)
kl
AC = BD
Chứng minh định lí 2:
Chứng minh:
∆ADC và ∆BDC có:
CD là cạnh chung
ADC = BCD (định nghĩa hình thang cân)
AD = BC (cạnh bên của hình thang cân)
Do đó: ∆ADC = ∆BCD (c.g.c) suy ra : AC = BD
3, Dấu hiệu nhận biết:
Cho đoạn thẳng CD và đường thẳng m song song với CD
(h.vẽ). Hãy vẽ các điểm A, B thuộc m sao cho ABCD là hình thang có hai đường chéo là CA, DB bằng nhau. Sau đó đo các góc C và góc D của hình thang ABCD đó để dự đoán về dạng của của các hình thang có hai đường chéo bằng nhau.
?3
A
B
ABCD là
hình thang cân
3, Dấu hiệu nhận biết:
Định lí 3: (chứng minh ở bài 18/sgk)
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Dấu hiệu nhận biết:
1, Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
2, Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Bài 12/sgk
gt
Hình thang cân ABCD (AB//CD, AB < CD)
AE, BF là đường cao của hình thang
kl
Chứng minh DE = CF.
C/M:
Xét ∆ADE và ∆BCF (E = F = 90o) có:
AD = BC (cạnh bên của hình thang cân)
D = E (góc kề đáy của hình thang cân)
=> ∆ADE = ∆BCF (c.h – g.n)
=> DE = CF (2 cạnh tương ứng)
Bài 13/sgk:
gt
Hình thang cân ABCD (AB//CD)
E là giao điểm của hai đường chéo
kl
Chứng minh EA = EB, EC = ED.
CM:
Xét ∆ABD và ∆ABC có:
AB là cạnh chung
AD = BC (cạnh bên của hình thang cân)
AC = BD (đường chéo của hình thang cân)
=> ∆ABD = ∆ABC (c.c.c)
=> góc EAB = góc EBA (2 góc tương ứng)
=> ∆EAB cân tại E
=> EA = EB.
Chứng minh tương tự, ta có:
∆ADC = ∆BDC (c.c.c)
=> EDC = ECD (2 góc tương ứng)
=> ∆EDC cân tại E
=> ED = EC
Bài 18/sgk:
gt
Hình thang ABCD (AB//CD) AC = BD.
Kẻ BE // AC cắt DC tại E.
kl
Chứng minh:
a) ∆BDE cân
b) ∆ACD = ∆BDC
c) ABCD là hình thang cân
C
E
C/m:
a) C/M: ∆BDE cân
Ta có hình thang ABEC (AB//CE)
Và AC//BE (gt) => AC = BE
Mà DB = AC (gt) => DB = BE
=> ∆BDE cân tại B.
b) C/M: ∆ACD = ∆BDC:
Vì ∆BDE cân tại B(câu a) => BDE = E.
Mà: ACD = E [đồng vị, AC//BE(gt)]
=> BDC = ACD
Xét ∆ACD và ∆BDC có:
AC = BD (gt)
BDC = ACD (cmt)
CD là cạnh chung
=> ∆ACD = ∆BDC


c) C/M: ABCD là hình thang cân
Vì ∆ACD = ∆BDC (câu b) nên:
ADC = ACD
=> Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
=> ABCD là hình thang cân.




=>
Định lý 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.