T3- HÌNH THANG CÂN

KIỂM TRA BÀI CŨ
Định nghĩa hình thang ? Hình thang vuông ?
-Hình thang : Tứ giác có hai cạnh đối song song
-Hình thang vuông : Hình thang có một góc vuông.

A

D

B

C

Hình thang ABCD là hình thang cân

KIỂM TRA BÀI CŨ
Hình thang ABCD có gì đặt biệt?

Hình thang ABCD có:
 B
 120
A
 D
 60
C

0

0

Hình thang ABCD là hình thang cân

1. Định nghĩa (SGK/72)
Tứ giác ABCD là
hình thang cân
(đáy AB, CD)



A

B

 AB / / CD
 

C D hoặc A B
D

C

Hình thang có hai góc kề với
một cạnh đáy bằng nhau là hình
thang cân

Tiết 3

§3. HÌNH THANG CÂN
Bài làm
1. Định nghĩa
- Xét tứ giác ABCD, có:
?2
 C
 180 (gt)
A
a) Tìm các hình thang cân
Mà hai góc A và C là hai góc trong
b) Tính các góc còn lại của cùng phía nên AB//DC. (1)
hình thang đó.
 B
 80 (gt) (2)
A
Ta
có:
c) Có nhận xét gì về hai góc
- Từ (1) và (2) suy ra ABCD là
đối của hình thang cân?
hình thang cân
 D
 100
 C
0

0

0

Vậy ABCD là hình thang cân,
 100
và D
0

Tiết 3

§3. HÌNH THANG CÂN
Bài làm
1. Định nghĩa
Xét tứ giác EFGH, có:
?2
 H
 160 (gt)
G
a) Tìm các hình thanh cân
 H
  180
 G
b) Tính các góc còn lại của
Nên GF không song song với
hình thang đó.
HE.
c) Có nhận xét gì về hai góc Ta có:
  F 190 (gt)
G
đối của hình thang cân?
  F  180
 G
0

0

0

0

Nên EF không song song
GH

với

Vậy EFGH không là hình thang

Tiết 3

§3. HÌNH THANG CÂN
Bài làm
1. Định nghĩa
- Xét tứ giác MNIK, có:
?2
 M
 180 (gt)
K
a) Tìm các hình thang cân
Mà hai góc K và M là hai góc trong
b) Tính các góc còn lại của cùng phía nên KI//MN. (1)
hình thang đó.
 70 (doKI // MN)
- Ta có: N
 N
 70 (2)
c) Có nhận xét gì về hai góc
 M
0

0

0

đối của hình thang cân?

- Từ (1) và (2) suy ra MNIK là
hình thang cân.
 KIN
 110
 K
0

Vậy MNIK là hình thang cân, và
 110 ,N
 70
KIN
0

0

Tiết 3

§3. HÌNH THANG CÂN
Bài làm
Xét tứ giác PQST, có:

1. Định nghĩa
?2
a) Tìm các hình thanh cân

b) Tính các góc còn lại của
hình thang đó.
c) Có nhận xét gì về hai góc
đối của hình thang cân?

Nên PQ // ST (1)
(Do PQ và ST cùng vuông góc
với PT)
 Q
 90 (gt)(2)
Ta lại có: P
0

Từ (1) và (2) suy ra PQST là
hình thang cân.
Vậy PQST là hình thang cân,
 90
và S
0

A

80

0

800

B

F
1100

I 700

E

Q

T

S

0
K 110

1000
D

N

P

C

800
G

800
H

a) Các hình thang cân: ABDC, IKMN và PQST.
b) Tính các góc :
 100
Hình thang cân ABCD : C

700

M

 70 , KIN
 180  70 110
Hình thang cân IKMN : N
 Q
 S T 90
Hình thang cân PQST : P

c) Nhận xét: Hai góc đối của một hình thang cân bù nhau.

O

1. Định nghĩa (SGK/72)
Tứ giác ABCD là
 AB / / CD
hình thang cân
 

C D hoặc A B
(đáy AB, CD)
2. Tính chất (SGK/72)
Định lý 1:
Hình thang cân
AD = BC
ABCD (AB//CD)





A 2
1

D

2 B
1

  A B

Do 
A1 B
1
2
2

C

 OAB cân tại O. Nên OA = OB
Mặt khác OCD cân tại O
Nên OC = OD
Suy ra AD = BC
Vậy: Trong một hình thang
cân, hai cạnh bên bằng nhau.

1. Định nghĩa (SGK/72)
Tứ giác ABCD là
hình thang cân
(đáy AB, CD)
2. Tính chất (SGK/72)



Hình thang cân
ABCD (AB//CD)
Chú ý : (SGK/73)



 AB / / CD
 

C D hoặc A B
AD = BC

Nếu AD//BC :
A

D

B

C

Hình
thang
Thì AD
= BCABCD:
AB // CD, AD = BC
Nhưng ABCD không là hình
 D

thang cân vì C

1. Định nghĩa (SGK/72)
Tứ giác ABCD là
 AB / / CD
hình thang cân
 

C D hoặc A B
(đáy AB, CD)
2. Tính chất (SGK/72)
Định lý 1:
Hình thang cân
AD = BC
ABCD (AB//CD)

A

B




Định lý 2:
Hình thang cân
ABCD (AB//CD)

D

So sánh ADC và BCD
ADC BCD (c.g.c)

C

Khi đó : AC = BD.



AC = BD

Vậy: Trong hình thang cân, hai
đường chéo bằng nhau.

1. Định nghĩa (SGK/72)
Tứ giác ABCD là
 AB / / CD
hình thang cân
 

C D hoặc A B
(đáy AB, CD)
2. Tính chất (SGK/72)
Định lý 1:
Hình thang cân
AD = BC
ABCD (AB//CD)

A

B




Định lý 2:
Hình thang cân
ABCD (AB//CD)



AC = BD

D

C

Trong hình thang cân, hai góc
kề với một đáy bằng nhau.
Trong hình thang cân, hai
đường chéo bằng nhau.
Trong một hình thang cân,
hai cạnh bên bằng nhau.
Ngược lại : Nếu một hình thang
có một trong những điều kiện đó
liệu có thể là hình thang cân
được không ?

1. Định nghĩa (SGK/72)

A

B

Tứ giác ABCD là
 AB / / CD
hình thang cân
 

C D hoặc A B
(đáy AB, CD)
2. Tính chất (SGK/72)
D
C
E
Định lý 1:
Hình thang cân
Tam giác BDE cân tại B vì BE = BD
AD = BC
ABCD (AB//CD)
(do cùng bằng AC)
Định lý 2:
 BED

(hai góc t/ứng)
Khi đó: BDE
Hình thang cân
 
BED
ACD
Mà
:
(vì AC//BE)
AC
=
BD
ABCD (AB//CD)
 
BDC
ACD
Nên
:
3. Dấu hiệu nhận biết
 BDC ACD cgc 
Định lý 3
 C
 Vậy ABCD là hình thang cân

D
Hình thang ABCD:
ABCD là hình
Hình thang có hai đường chéo
AB//CD ; AC = BD
thang cân
bằng nhau là hình thang cân









1. Định nghĩa (SGK/72)
Tứ giác ABCD là
 AB / / CD
hình thang cân
 

C D hoặc A B
(đáy AB, CD)
2. Tính chất (SGK/72)
Định lý 1:
Hình thang cân
AD = BC
ABCD (AB//CD)

A

B



D

C

E



Định lý 2:
Hình thang cân
AC = BD
ABCD (AB//CD)
3. Dấu hiệu nhận biết



1. Hình thang ABCD: AB//CD ; AC = BD



ABCD là hình thang cân

 D
 hoặc A B

2. Hình thang ABCD: AB//CD ; C



ABCD là hình thang cân

1. Định nghĩa (SGK/72)
Tứ giác ABCD là
 AB / / CD
hình thang cân
 

C D hoặc A B
(đáy AB, CD)
2. Tính chất (SGK/72)
Định lý 1:
Hình thang cân
AD = BC
ABCD (AB//CD)

A

B



D

C



Định lý 2:
Hình thang cân
AC = BD
ABCD (AB//CD)
3. Dấu hiệu nhận biết



1. Hình thang ABCD: AB//CD ; AC = BD



ABCD là hình thang cân

 D
 hoặc A B

2. Hình thang ABCD: AB//CD ; C



ABCD là hình thang cân

KiÕn thøc cÇn ghi nhí

Bài tập tại lớp: Bài 12 trang 74 SGK
Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB AE,BF của hình thang. Chứng minh rằng DE = CF.
ABCD; AB//DC
GT
KL

AB < CD;

B

E

F

 =D

C

AE  CD; BF  CD
DE = CF

A

D
Chứng minh

C

Xét Δ AED và Δ BFC có

 = F(=
 900 )
E

AD = BC (tính chất hình thang cân)
 =D
 ( theo gt)
C
 Δ AED = Δ BFC ( cạnh huyền – góc nhọn)
 DE = CF ( cặp cạnh tương ứng)

BÀI TẬP VẬN DỤNG
A

B

BÀI 13(SGK/74)

E

Vì ABCD là hình thang cân nên AC = BD,
AD = BC (T/c hình thang cân)


 ACD BDC cgc   
ACD BDC
 ECD cân tại E  EC ED

D

C

Chứng minh tương tự ta cũng được EA = EB
Nhận xét: Giao điểm hai đường chéo của một hình thang cân thuộc
đường trung trực của hai đáy.
A

BÀI 15(SGK/75)

ABC cân tại A nên AB = AC. Theo gt: AD = AE.
Do đó : AB – AD = AC - AE  DB EC
Trong tam giác ADE và tam giác ABC :

A
180
 A



ADE  AED 
90 
 2
A 2
180

A

ABC  
ACB 
90 
2
2

D

E

1
B

C

A
180  A



ADE  AED 
90 
 2
A 2  
 C
 D
180

A
ADE  
AED B



ABC  ACB 
90 
E
2
2


Suy ra DE//BC nên BDEC là hình thang

A
E
D

(2)

Từ (1) và (2) suy ra BDEC là hình thang cân


50





B

C

90

65
thì
A

50
Khi góc

B

2 
360  2.65


D E 
115
2


Chứng minh tương tự ta cũng được tứ giác BEDC là hình thang cân.


 (so le trong)
BCE
Do ED//BC nên DEC
 DCE



Mà BCE
DCE
(gt) Nên DEC

Suy ra tam giác DEC cân tại D . Do đó ED = DC (đáy nhỏ bằng cạnh bên)

C

BÀI TẬP BỔ SUNG
BÀI 1: Cho trước ba đỉnh A, B, C của một hình thang cân ABCD. Hãy vẽ
hình thang cân ABCD.
BÀI 2: CMR nếu các góc ở đáy của một hình thang không bằng nhau thì
đường chéo phát xuất từ đỉnh góc nhỏ sẽ lớn hơn đường chéo phát xuất từ
đỉnh góc lớn.
BÀI 3: Hình thang ABCD có đáy lớn CD bằng tổng hai cạnh bên. CMR các
tia phân giác của hai góc kề đáy nhỏ gặp nhau tại một điểm thuộc đáy lớn.
BÀI 4: Cho một điểm O nằm trong tam giác đều ABC. Kẻ OA', OB', OC' theo
thứ tự vuông góc với các cạnh BC, AC, AB. CMR tổng AC' + BA' + CB' không
đổi khi O thay đổi vị trí trong tam giác ABC.

BÀI 1: Cho trước ba đỉnh A, B, C của một hình thang cân ABCD. Hãy vẽ
hình thang cân ABCD.
y
1. Nếu AD và BC là hai đáy của hình thang cân ABCD A
D
 B

- Kẻ Ax//BC, Cy sao cho BCy
(Ax và Cy cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC)
- Giao điểm của Ax và Cy là D. Ta có hình thang
cân ABCD cần dựng.
B
2. Nếu AB và CD là hai đáy của hình thang cân ABCD

 B

- Kẻ Cx//AB, Ay sao cho BAy

C

y

x

C
D

x

(Cx và Ay cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB)
- Giao điểm của Cx và Ay là D. Ta có hình thang
cân ABCD cần dựng.
B

A

BÀI 2: CMR nếu các góc ở đáy của một hình thang không bằng nhau thì
đường chéo phát xuất từ đỉnh góc nhỏ sẽ lớn hơn đường chéo phát xuất từ
đỉnh góc lớn.
A
D
E

 B

Kẻ một tia gốc C cắt AD tại E sao cho BCE
Khi đó tứ giác ABCE là hình thang cân

 CEA

Suy ra AB = CE, AC = BE, BAE

  A (góc ngoài của tam giác)
Lại có BDE
  CEA
  BEA

Do đó BDE

B

Như vậy, trong tam giác BDE : BE > BD. Suy ra AC > BD.

C

BÀI 3: Hình thang ABCD có đáy lớn CD bằng tổng hai cạnh bên. CMR các
tia phân giác của hai góc kề đáy nhỏ gặp nhau tại một điểm thuộc đáy lớn.
A

G/sử tia phân giác góc A cắt CD tại M.

(so le trong)
AMD DAM
Do AB // CD nên 


 MAD

AMD


BAM


 ADM cân tại D. Do đó AD = MD.

B
P

D

Mặt khác CD = AD + BC = MD + MC. Vậy MC = BC.



MBC
BMC
Kẻ MN  AB, MP  BC , BQ  CD . Khi đó MN = BQ.

Suy ra tam giác BMC cân tại C nên

Đồng thời MBP MBQ (c.huyền – g.nhọn)
Suy ra BQ = MP  MN = MP  M cách đều AB và BC
Nên M thuộc tia phân giác góc B.

N

M

Q

C

BÀI 4: Cho một điểm O nằm trong tam giác đều ABC. Kẻ OA', OB', OC' theo
thứ tự vuông góc với các cạnh BC, AC, AB. CMR tổng AC' + BA' + CB' không
đổi khi O thay đổi vị trí trong tam giác ABC.
A

Từ O kẻ MN // BC, PQ // AB, RS // AC.
Khi đó ta có các hình thang cân
MNCB, PQAB, ARSC và các tam
giác đều ORM, OQN, OPS.
Do đó các đường cao OC', OA', OB' là các
đường trung tuyến của các tam giác đều
Suy ra : AR = SC ;
RC' = C'M
BP = AQ ;
PA' = A'S
B
CN = BM ;
NB' = B'Q
Cộng từng vế các đẳng thức ta có

Q

R

C'
M

B'
N

O

P

A

'

S

AR + BP + CN + RC' + PA' + NB' = SC + AQ + BM + C'M + A'S + B'Q
AC' + BA' + CB' = C'M + MB + A'S + SC + B'Q + QA
AC' + BA' + CB' = C'B + A'C + B'A

1
2

Do đó : AC' + BA' + CB' = (AB + BC + CA)/2  CABC

C