ÔN TẬP
HÌNH THOI

KHỞI ĐỘNG

Nêu định nghĩa, tính chất của hình thoi?
Tìm các hình thoi trên hình sau:

b

a
d

a)

E

c

h

I
k

b)

g

q
n

m
c)

f

p

r
s
d)

LÍ THUYẾT HÌNH THOI
1) Định nghĩa :
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
2) Tính chất :
- Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành
- Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau
- Hai đường chéo là hai đường phân giác các góc của hình thoi
3) Dấu hiệu nhận biết
- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi
- Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc là
hình thoi

Bài 1:

Cho tứ giác ABCD. E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB,
BC, CD, DA.
a) Tứ giác EFGH là hình gì?
Hướng dẫn:
- Nối AC hoặc BD
Cách 1)
EF // GH (cùng song song với AC)
EH // FG (cùng song song với BD) (DH1)
Cách 2)
EF // GH ( cùng song song với AC)
EF = GH ( cùng bằng AC/2 )
(DH3)
Cách 3)
EF = HG (cùng bằng AC/2)
HE = GF (cùng bằng BD/2)
(DH 2)

E
A

F

H
D

B

G

C

Giải

Xét ΔABC có:
EA = EB (gt)
FB = FC (gt)
Þ EF là đường trung bình của ΔABC
Þ EF//AC; EF = ½ AC (1)
Xét ΔADC có:
HA = HD (gt)
GC = GD (gt)
Þ GH là đường trung bình của ΔADC
Þ GH//AC; GH = ½ AC (2)

E
A

F

H
D

Từ (1) và (2) => GH//EF, GH = EF
=> EFGH là hình bình hành (DH3)

B

G

C

b) Tứ giác ABCD có thêm điều kiện gì để EFGH là:
Hình chữ nhật?
B

E

F

A

C
H

G
D

Hình bình hành EFGH là hình chữ nhật
 Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc

c) Tứ giác ABCD có thêm điều kiện gì để EFGH là:
Hình thoi?
A
E
B
H
F
D
G

C

Hình bình hành EFGH là hình thoi  Tứ giác ABCD
có hai đường chéo bằng nhau

Bài số 2
Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình
thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

GT

Hình thoi ABCD;
E, F, G, H lần lượt là trung
điểm của AB, BC, CD, DA

KL

EFGH là hình chữ nhật

GIẢI
Kẻ AC và BD cắt nhau tại I ta có:
AC BD (Tc HT)
Tương tự C/m BT1 ta có EFGH là hình bình hành

I

(1)

Ta có: FE //BD, BD AC = FE AC. Mà AC // FG => EF FG tại F (2)
Từ (1) và (2) => EFGH là hình chữ nhật (DH3)

Bài số 3:
Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình
chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi
Hình chữ nhật ABCD;
E, F, G, H lần lượt là trung
GT
điểm của AB, BC, CD, DA
KL EFGH là hình thoi

x

x
x

I

x

GIẢI
Kẻ AC và BD cắt nhau tại I ta có:
Tương tự C/m BT1 ta có EFGH là hình bình hành (1)
Ta có: EF = ½ BD (cmt); EH = ½ AC (cmt); mà AC = BD (Tc HCN) (2)
Từ (1) và (2) => EFGH là hình thoi (DH2)

Bài 3
Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm hai đường chéo AC
và BD. Gọi M là trung điểm của OA, N là điểm đối xứng với
điểm B qua điểm M.
a) Chứng minh tứ giác OMND là hình thang.
b) Chứng minh tứ giác AODN là hình thoi.
c) Từ N vẽ NE vuông góc với CD (E thuộc CD). Gọi F
là giao điểm của AD và ON. Tứ giác DENF là hình gì ?
Vì sao ?

Hình chữ nhật ABCD; ACBD = {O}
M là trung điểm OA
GT N đối xứng với B qua M
NECD (ECD); ADON ={F}
KLa) Tứ giác OMND là hình thang
b) Tứ giác AODN là hình thoi
c) Tứ giác DENF là hình gì?
A

MN = MB và OD = OB

OM là đường trung bình
Của ∆BND
B

M
N

OM // DN
O

D

C

Chứng minh OMND
là hình thang

Hình chữ nhật ABCD; ACBD = {O}
M là trung điểm OA
GT N đối xứng với B qua M
NECD (ECD); ADON ={F}
KLa) Tứ giác OMND là hình thang
b) Tứ giác AODN là hình thoi
c) Tứ giác DENF là hình gì?
A

GIẢI
Xét tam giác BND có:
MN = MB (gt)
và OD = OB (tcHCN)
B

M
N

=> OM // DN
=> OMND là hình thang (Đn)

O
D

=> OM là đường trung bình
Của ∆BND

C

Hình chữ nhật ABCD; ACBD = {O}
M là trung điểm OA
GT N đối xứng với B qua M
NECD (ECD); ADON ={F}
KLa) Tứ giác OMND là hình thang
b) Tứ giác AODN là hình thoi
c) Tứ giác DENF là hình gì?

A

OM //ND ; OA = ND =2OM

OA // ND ; OA = ND
OA =OD
B

M
N

Tứ giác OAND là hình
bình hành có hai cạnh kề
bằng nhau.

O
D

C
Chứng minh tứ giác OAND
là hình thoi

Hình chữ nhật ABCD; ACBD = {O}
M là trung điểm OA
GT N đối xứng với B qua M
NECD (ECD); ADON ={F}
KLa) Tứ giác OMND là hình thang
b) Tứ giác AODN là hình thoi
c) Tứ giác DENF là hình gì?

A
M

N

E

B

F
D

O
C

c) Tứ giác DENF là hình gì?

A
M

N
E

B

F
D

+) Ta có: ABCD là hình chữ nhật => = 90° (1)
+) Ta có: NE CD (gt) => = 90° (2)
+) Vì ANDO là hình thoi (Cmt)
Þ AD NO F (Tc 2 đường chéo của H thoi)
Þ = 90° (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: DFNE là hình chữ nhật

O
C

Bài tập 4:
Cho hình thoi ABCD có độ dài hai đường chéo lần lượt bằng
6cm và 8 cm.
a) Tính độ dài cạnh AB?
b) Tính khoảng cách từ giao điểm H của hai đường chéo đến AB?
c) Kẻ DE AB E, tính độ dài DE
GT
KL

ABCD là hình thoi.
AC = 8cm, BD = 6cm
AC BD H, HK AB K
a) AB =?
b) HK = ?
c) DE = ?

/
//
/

/

X

//

H
X

/

GT
KL

ABCD là hình thoi.
AC = 8cm, BD = 6cm
AC BD H, HK AB K
a) AB =?
b) HK = ?
c) DE = ?

/
//
/

/

X

//

H
X

/

GIẢI

a) Tính độ dài cạnh AB:
ABCD là hình thoi (gt) => HA = ½ AC = (6:2) = 4cm (tcHT)
Và HB = ½ BD = 3 cm (tcHT)
Ta có: BD AC H (Tc HT) => = 90°=>ΔHAB vuông tại H
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông HAB ta có:
AB 2 HA2  HB 2  AB  HA2  HB 2  32 4 2  25 5(cm )
Vậy độ dài cạnh AB = 5cm

GT
KL

K

ABCD là hình thoi.
AC = 8cm, BD = 6cm
AC BD H, HK AB K
a) AB =?
b) HK = ?
c) DE = ?

⊔

/
//
/

/

X

//

H
X

/

GIẢI

b) Tính độ dài HK:
Áp dụng công thức tính diện tích trong tam giác vuông HAB ta có:
1
1
HA.HB
S HAB  HA.HB  AB.HK  HK 
2
2
AB
4.3
 HK 
2,4cm
5
Vậy HK = 2,4cm

GT
KL

ABCD là hình thoi.
AC = 8cm, BD = 6cm
AC BD H, HK AB K
a) AB =?
b) HK = ?
c) DE = ?

E

/

K

⊔

⊔

//
/

GIẢI

b) Tính độ dài DE:
Xét trong tam giác vuông HAB ta có:
HB = HD (Tc H thoi); HK // DE (cùng vuông góc AB)
Þ HK là đường trung bình của tam giác HAB
Þ DE = 2HK = 2.2,4 = 4,8 cm
Vậy DE = 4,8 cm

/

X

//

H
X

/

Bài 5

B
 

1

 

2

 

C

A
H

K
1

2

D

B

 = 1 ABC

 = 60 0
A
=> A
2
 =D
 = 600
=> ∆ ABD đều => D
1
2



=> ABD
= HBK
= 600 =>

 =B

B
1
2

Xét ∆ ABH và ∆ DBK có
 =B
 ;
 =D

AB = BD ;
B
A
1
2
2
=> ∆ ABH = ∆ DBK (g.c.g)
=> AH = DK mà AD = DC=> HD = KC
=> DH + DK = AD không đổi

1

 

a) C/m: DH + DK = AD không đổi

 

2

 

C

A
H

K
1

2

D

b) Xác định vị trí của H, K để HK
ngắn nhất, tìm giá trị ngắn nhất đó

B
 

1

 

2

 

Từ chứng minh trên => BH = BK

HBK
= 600 => ∆ HBK đều

C

A
H

=> HK nhỏ nhất  BH nhỏ nhất
 BH  AD H là trung điểm của AD, khi đó K là trung điểm của DC
Theo định lí Pitago ta có:
BH2 = AB2 - AH2 = 22 - 12 = 3 => BH = 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của HK là: HK = 3 cm

K
1

2

D

HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ
1. Học lí thuyết (định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết)
các hình đã học.
2. Xem lại nội dung bài học hôm nay
3. Làm bài tập:
BT1.
Cho hình thoi ABCD. Kẻ hai đường cao AH, AK.
Chứng minh rằng: AH = AK
BT2.

Cho hình bình hành ABCD. Kẻ hai đường cao AH,
AK bằng nhau.
Chứng minh rằng: ABCD là hình thoi