CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

VIDEO 1

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

KHỞI ĐỘNG

VIDEO 2

KHỞI ĐỘNG
Vào khoảng thời gian giữa mùa
hè, ở phía bắc của vòng Bắc Cực
(như một số vùng phía bắc của Na
Uy, Phần Lan, Nga, ...), Mặt Trời có
thể được nhìn thấy trong suốt 24
giờ của ngày. Hình học giải thích
hiện tượng này như thế nào?

CHƯƠNG VII: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 24. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC. GÓC GIỮA
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

NỘI DUNG BÀI HỌC

01. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC
02. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ
MẶT PHẲNG

VIDEO 3

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

1. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC

VIDEO 4

HĐ 1
Trên sân phẳng có một cây cột thẳng vuông góc với mặt sân.
a) Dưới ánh sáng mặt trời, bóng của cây cột trên sân có thể được
nhìn như là hình chiếu của cây cột qua phép chiếu song song hay
không?
b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân, liệu ta có thể quan
sát được bóng của cây cột trên sân hay không?

HĐ 1
Giải:

a) Phép chiếu song song theo phương tia sáng mặt trời lên
mặt sân.
b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân thì hình chiếu
của cột thu về chân cột nên ta không thể quan sát.

VIDEO 5

KẾT LUẬN
Phép chiếu song song lên mặt phẳng theo phương ∆ vuông
góc với được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng .

Chú ý:
• Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng có đầy đủ các tính
chất của phép chiếu song song.
• Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng còn được gọi là phép
chiếu lên mặt phẳng Hình chiếu vuông góc của hình trên còn
được gọi là hình chiếu của trên

CÂU HỎI
a) Nếu là một điểm không thuộc mặt phẳng và là hình chiếu của trên
thì đường thẳng có quan hệ gì với mặt phẳng ?
b) Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì hình chiếu của trên
là gì?
Giải:
a) vuông góc với mặt phẳng
b) Trong trường hợp này, hình chiếu vuông góc của
đường thẳng trên mặt phẳng là một điểm, là giao điểm
của và

HĐ 2
Cho đường thẳng và mặt phẳng không vuông góc với nhau. Xét là một
đường thẳng nằm trong . Trên , lấy hai điểm tuỳ ý. Gọi tương ứng là hình
chiếu của trên mặt phẳng (H.7.34).
a) Hình chiếu của trên mặt phẳng là
đường thẳng nào?
b) Nếu vuông góc với thì có vuông
góc với hay không?
c) Nếu vuông góc với thì có vuông
góc với hay không?

HĐ 2
Giải:
a) Hình chiếu vuông góc của trên là
đường thẳng
b)

c)

Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng và mặt phẳng không vuông góc với
nhau. Khi đó, một đường thẳng nằm trong mặt phẳng
và vuông góc với đường thẳng khi và chỉ khi vuông góc
với hình chiếu vuông góc của trên

VÍ DỤ 1
Trên một sân phẳng nằm ngang, tại các điểm A, B, C, D, người ta dựng các cột
thẳng đứng AM, BN, CP, DQ và nối các sợi dây thẳng giữa M và P, N và Q như Hình
7.35.
a) Hãy chỉ ra hình chiếu của các dây MP và NQ trên
sân.
b) Chứng minh rằng nếu BD AC thì BD MP.
c) Chứng minh rằng nếu ABCD là một hình

bình

hành thì các trung điểm E, F tương ứng của các đoạn
thẳng MP và NQ có cùng hình chiếu trên sân.

VÍ DỤ 1
Giải:

a) Do các cột có phương thẳng đứng và sân thuộc mặt phẳng nằm ngang nên các
cột vuông góc với sân. Vậy A, B, C, D tương ứng là hình chiếu của M, N, P, Q trên
sân. Do đó AC, BD tương ứng là hình chiếu của MP, NQ trên sân.
b) Nếu BD AC, mà AC là hình chiếu của MP trên sân và BD thuộc sân nên theo định
lí ba đường vuông góc ta có BD MP.
c) Nếu ABCD là một hình bình hành thì các đoạn thẳng AC, BD có chung trung
điểm O.
Do EO là đường trung bình của hình thang ACPM nên EO // MA.
Mặt khác, MA vuông góc với sân nên EO cũng vuông góc với sân.
Vậy O là hình chiếu của E trên sân. Tương tự, O cũng là hình chiếu của F trên sân.
Vậy E và F có cùng hình chiếu trên sân.

Luyện tập 1
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC. Gọi O
là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)
(H.7.36).
a) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.
b) Xác định hình chiếu của đường thẳng SA
trên mặt phẳng (ABC).
c) Chứng minh rằng nếu AO ⊥ BC  thì SA ⊥
BC.
d) Xác định hình chiếu của các tam giác
SBC, SCA, SAB trên mặt phẳng (ABC).

Luyện tập 1
Giải:
a) Do
nên
Vậy O là tâm đường trọn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) Hình chiếu của trên mặt phẳng là
c) Do nên ,
mà suy ra BC
Do dó .
d) Hình chiếu của mỗi tam giác trên mặt phẳng
(ABC) lần lượt là tam giác

2. GÓC GIỮA ĐƯỜNG
THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

HĐ 3
Một máy bay giữ vận tốc không đổi, với độ lớn 240km/h trong suốt 2
phút đầu kể từ khi cất cánh. Hỏi thông tin trên có đủ để ta xác định
độ cao của máy bay so với mặt đất phẳng, tại thời điểm 1 phút kể từ
khi máy bay cất cánh không?

Trả lời:
Thông tin chưa đủ
để xác định độ cao.

KẾT LUẬN
 Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta nói rằng
góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) bằng
 Nếu đường thẳng không
vuông góc với mặt phẳng
thì góc giữa và hình chiếu
của nó trên được gọi là
góc giữa đường thẳng và
mặt phẳng

Chú ý:
Nếu là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thì .

Nhận xét:
Cho điểm có hình chiếu trên
mặt phẳng Lấy điểm thuộc
mặt phẳng không trùng Khi
đó góc giữa đường thẳng và
mặt phẳng bằng góc

a

c

b
a²+b²=c²

VÍ DỤ 2
Cho hình chóp có
a) Gọi là góc giữa và Tính .
b) Tính góc giữa và
Giải:
a) Do nên
Tam giác vuông tại nên

VÍ DỤ 2
Giải:

b) Gọi là trung điểm của .
Tam giác cân tại nên .
Mặt khác, từ ta có Do đó .
Vậy góc giữa và bằng
Tam giác vuông tại nên
Ta có
Do đó, tam giác vuông cân tại và
Tam giác vuông tại và
Vậy và do đó góc giữa và bằng

Vận dụng
Tâm Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ
đạo là một đường elip nhận tâm Mặt Trời làm tiêu
điểm. Trong quá trình chuyển động, Trái Đất lại quay
quanh trục Bắc Nam. Trục này có phương không đổi
và luôn tạo với mặt phẳng chứa quỹ đạo một góc
khoảng 66,5°.
(Theo nationalgeographic.org).
a) Giải thích vì sao hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng quỹ đạo (P) cũng
có phương không đổi.
b) Giải thích vì sao có hai thời điểm trong năm mà tại đó hình chiếu của trục
Trái Đất trên mặt phẳng (P) thuộc đường thẳng nối tâm Mặt Trời và tâm Trái
Đất.

Vận dụng
Giải:
a) Gọi là một vị trí của trục Trái Đất; tương ứng là hình chiếu của trên
Nếu có phương không đổi thì hình chiếu của lên có phương không đổi;
nên có phương không đổi.
Gọi là một vị trí trục của Trái Đất khác trục ; tương ứng là hình chiếu
của trên
Ta có: có phương khác phương chiếu;
// hoặc và trùng nhau (tính chất phép chiếu song song).
Vậy hình chiếu của trục Trái Đất có phương không đổi.

Vận dụng
Giải:
b) Gọi là đường thẳng đi qua tâm Mặt Trời và có phương là phương
chiếu của trục Trái Đất trên .
Suy ra có phương không đổi.
Khi đó hình chiếu của trục Trái Đất xuống thuộc đường thẳng khi và chỉ
khi tâm Trái Đất là giao của với đường elip quỹ đạo của Trái Đất.
Vậy có hai vị trí thuộc quỹ đạo, ứng với hai thời điểm trong năm mà hình
chiếu của trục Trái Đất trên thuộc đường thẳng nối tâm Mặt Trời và tâm
Trái Đất.

p=q

THẢO LUẬN NHÓM

TOÁN 12-

Khám phá
Cho đường thẳng  vuông góc với mặt
phẳng . Khi đó, với một đường thẳng bất
kì, góc giữa và có mối quan hệ gì với góc
giữa và  ?

Giải:
Trường hợp 1. Đường thẳng không vuông góc với và cắt tại một
điểm . Lấy điểm khác thuộc và gọi là hình chiếu vuông góc của
trên .
Khi đó, và
Vậy góc giữa và phụ với góc giữa và .

Khám phá
Cho đường thẳng  vuông góc với mặt
phẳng . Khi đó, với một đường thẳng bất
kì, góc giữa và có mối quan hệ gì với góc
giữa và  ?

Giải:
Trường hợp 2: vuông góc với nên
Trường hợp 3: song song hoặc thuộc .
Khi đó, và .
Như vậy kết luận đã nêu trong trường hợp 1 cũng đúng đối với cả hai
trường hợp sau.

Trải nghiệm
Đo góc giữa một sợi dây kéo căng và mặt
bàn hoặc sàn lớp học. (Có thể cho một đầu
sợi dây huộc mặt bàn, mặt sàn để thuận
tiện hơn cho việc đo.)

TỔNG KẾT VÀ TRAO THƯỞNG

LUYỆN TẬP

Bài 7.10 (SGK – tr.42)
Cho hình chóp có tam giác vuông tại .
a) Xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng
b) Xác định hình chiếu của tam giác trên mặt phẳng
c) Xác định hình chiếu của tam giác trên mặt phẳng

Giải:

S

c)   là hình chiếu của trên
là hình chiếu của chính nó trên
A

C
B

⇒ Hình chiếu của tam giác trên là đoạn

Bài 7.11 (SGK-tr.42)
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và 
a) Tính góc giữa và mặt phẳng
b) Tính góc giữa và mặt phẳng
c) Tìm hình chiếu của trên mặt phẳng
Giải:
a) là hình chiếu của trên
Xét tam giác vuông tại có
Xét tam giác SAC vuông tại A có
Vậy

Bài 7.11 (SGK-tr.42)
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và 
a) Tính góc giữa và mặt phẳng
b) Tính góc giữa và mặt phẳng
c) Tìm hình chiếu của trên mặt phẳng
Giải:
b)

c) Gọi mà
là hình chiếu của trên (SAC)
Vậy hình chiếu của SB trên (SAC) là SO.

Bài 7.12 (SGK-tr.42)
Giải:
b) là hình chiếu của trên
Xét tam giác vuông tại có
Xét tam giác SAC vuông tại A có
Vậy

Bài 7.13 (SGK – tr.43)
Cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P), có hình chiếu H trên (P). Với mỗi
điểm M bất kì (không trùng H) trên mặt phẳng (P), ta gọi đoạn thẳng SM là
đường xiên, đoạn thẳng HM là hình chiếu trên (P) của đường xiên đó.
Chứng minh rằng:
a) Hai đường xiên SM và SM' bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu HM và
HM' tương ứng của chúng bằng nhau;
b) Đường xiên SM lớn hơn đường xiên SM' nếu hình chiếu HM lớn hơn
hình chiếu HM'.

Bài 7.13 (SGK – tr.43)
Giải:

a)
+) Giả sử
Ta có (ch – cgv)
+) Giả sử
Ta có (hai cạnh góc vuông)
Vậy hai đường xiên khi và chỉ khi hai
hình chiếu

Bài 7.13 (SGK – tr.43)
Giải:
b)

VẬN DỤNG

Bài 7.14 (SGK – tr.43)
Trong một khoảng thời gian đầu kể từ khi cất cánh,
máy bay bay theo một đường thẳng. Góc cất cánh của
nó là góc giữa đường thẳng đó và mặt phẳng nằm
ngang nơi cất cánh. Hai máy bay cất cánh và bay thẳng
với cùng độ lớn vận tốc trong 5 phút đầu, với các góc
cất cánh lần lượt là 100,150.100,150. Hỏi sau 1 phút
kể từ khi cất cánh, máy bay nào ở độ cao so với mặt
đất (phẳng, nằm ngang) lớn hơn?
Chú ý. Độ cao của máy bay so với mặt đất là khoảng cách từ
máy bay (coi là một điểm) đến hình chiếu của nó trên mặt đất.