BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK
---------------------------------------------------------------------------------------------------
TOÁN 1
GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN

BÀI 7: KỸ NĂNG KHAI TRIỂN TAYLOR

TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2007)
KHAI TRIỂN CƠ BẢN: MŨ, LGIÁC, HYPERBOLIC
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Từ khai triển hàm y = ex ? Khai triển sinx, cosx, sinhx, coshx
Chú ý phần dư cosx, sinx, chx, shx: o nhỏ của số hạng bị triệt tiêu!
KHAI TRIỂN CƠ BẢN: LUỸ THỪA, 1/(1 ? x), LN(1 + x)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm nghịch đảo - inverse function (Tổng cấp số nhân):
Tổng quát: Hàm luỹ thừa (1 + x)? ? Nhị thức Newton (1 + x)n
VD: Khai triển MacLaurint hàm
Giải:
ln(1 + x): ?1/(1+x) ? xn/n, đan dấu
BẢNG KHAI TRIỂN CÁC HÀM CƠ BẢN: 7 HÀM
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PPHÁP KHTRIỂN MACLAURINT: TỔNG, HIỆU, TÍCH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD: Khai triển ML đến cấp 3:
Giải:
VD: Khai triển MacLaurint đến cấp 3:
Đưa hàm cần khai triển về dạng tổng, hiệu, tích (đhàm, tphân) các hàm cơ bản. A�p dụng kh/tr MacLaurint cơ bản
Giải:
Chú ý: Có thể sử dụng cả đạo hàm, tích phân (coi chừng C!)
VD: Khai triển ML đến cấp 2:
KHTRIỂN MACLAURINT HÀM THƯƠNG: DÙNG 1/(1 ? x)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD: Khai triển MacLaurint
Với thương (tỷ số, phân số) 2 hàm số: Dùng
Chú ý: Ở mẫu số bắt buộc phải xuất hiện số 1!
Giải:
VD: Khai triển MacLaurint đến cấp 2
Giải:
KHAI TRIỂN MACLAURINT VỚI HÀM HỢP
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD: Khai triển MacLaurint
Hàm hợp f(u(x)): Khai triển lần lượt từng bước. Đầu tiên khai triển MacLaurint u(x), sau đó khai triển f(u) & cắt đến luỹ thừa được yêu cầu (Có thể đổi thứ tự).
Chú ý quan trọng: Luôn kiểm tra điều kiện u(0) = 0!
Giải:
VD (cảnh giác!): Khtriển MacLaurint y = ln(2 + x) đến cấp 2
KHAI TRIỂN TAYLOR QUANH x - x0: ĐƯA VỀ KTR ML
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD: Khai triển Taylor hàm
Khai triển Taylor f(x) quanh x = x0: Đổi biến t = x - x0 và sử dụng khai triển Mac Laurint cho hàm f(t)
Cách 2: Biến đổi để (x - x0) xuất hiện trực tiếp trong hàm số!
Giải: Cách 1: t = x - 2 ?
Cách 2: Tạo (x - 2) trong hàm
VD: Khai triển Taylor hàm
Giải:
ỨNG DỤNG KT TAYLOR. TÌM GIỚI HẠN
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm lim: Khai triển ML với phần dư Peano + Ngắt bỏ VCB
VD: Tìm
(SGK/80)
VD: Tính
VD: Tìm
ỨNG DỤNG KT TAYLOR. TÍNH GẦN ĐÚNG
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính gần đúng & ước lượng sai số: phần dư Lagrange
VD: Góc x nào cho phép xấp xỉ sinx ? x với độ chính xác 10-4
Tương tự: Cần chọn bao nhiêu số hạng trong khai triển hàm y = ex để có thể xấp xỉ e với độ chính xác 10-4
VD: Tính gần đúng giá trị số e với độ chính xác 10-4 (SGK/79)
Giải:
VI PHÂN
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm khả vi tại x0 ? ?y = A?x + o(?x), ?x ? 0 : Số gia hàm số biểu diễn tuyến tính theo ?x và vô cùng bé bậc cao của ?x
Vi phân: dy = A?x = f`(x)dx
Nhận xét: Hàm có đạo hàm ? Có vi phân: Hàm khả vi
1/ C: hằng số ? dC = 0 & d(Cy) = Cdy
2/ Vi phân tổng, hiệu, tích, thương:
VI PHÂN HÀM HỢP
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD: Tính dy của a/ y = sinx b/ y = sinx, x = cost
Giải:
VD: Tính d2y: a/ y = arctgx b/ y = arctgx, x = sint
ĐS:
Vi phân cấp 1:
? Vi phân cấp 1: bất biến!
Vi phân cấp cao: