? Các hình dưới đây biểu thị nội dung của định lí
nào? Em hãy phát biểu các định lí đó.
A
M
A

O

A

N

I
O

B

C

C

B

D

B

AB > CD

IM = IN
A

C
D

D

AB CD

B
O

I

Môn Hình học 9
Tuần 11 Tiết 22

§3. Liên hệ giữa dây
và khoảng cách từ tâm đến dây

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

1. Bài toán
Cho AB và CD là hai dây (khác đường kính) của đường tròn
(O; R). Gọi OH, OK theo thứ tự là khoảng cách từ O đến AB,
CD. Chứng minh rằng OH2 + HB2 = OK2 + KD2 .
C
K
O
H
A

D

R

B

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

1. Bài toán
GT Đường tròn (O) , dây AB , AC khác đường kính

OH  AB , OK  CD

KL

OH2 + HB2 = OK2 + KD2 (*)
Phân tích

C
K

HO, HB
là cạnh
trongvế
Ta thấy
hệ thức
ở mỗi
tam giác nào?
trong
Chứng
đẳng
minh
thức
bài(*)
toán?
có
OK, KD là cạnh trong
liên quan
đến định lí nào ?
tam giác nào ?

O
H
A

D

R

B

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

1. Bài toán
GT Đường tròn (O) , dây AB , AC khác đường kính
OH  AB , OK  CD
KL OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Giải
C
Áp dụng định lý Pitago vào các
tam giác vuông OHB và OKD có :
OH 2  HB 2 OB 2 R 2 (1)
OK 2  KD 2 OD 2 R 2 (2)

K
O

Từ (1) và (2)
=> OH2 + HB2 = OK2 + KD2

H
A

D

R

B

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

1. Bài toán
GT Đường tròn (O) , dây AB , AC khác đường kính
OH  AB , OK  CD
KL OH2 + HB2 = OK2 + KD2
C

A

K
D

C
A

O H

O H K

D

B

B

Kết luận của bài toán trên
Chúcòn
ý. Kết
luận
bàinếu
toánmột
trên vẫn đúng
đúng
không
nếu một
dây hoặc
hailàdây
là đường
dây hoặc
hai dây
đường
kính? kính.

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

?1 H·y sö dông kÕt qu¶ OH 2  HB 2 OK 2  K D 2 (*) chøng minh:

a)N Õu AB = CD th× OH = OK
b) NÕu OH = OK th× AB = CD
Phân tích

C

K
D

AB = CD

=>

=>

AB
CD
; KD  )
HB = KD (Do HB =
2
2
HB2 = KD2

=>

OH2= OK2

=>

OH = OK

O
A

H

R

B

Trong
HB
= Nếu
KD
hệ dâyAB
thức
ta suy(*),
luận
ta tiếp
suy
luận
tiếp
=
dây
CDđược
thì tamối
so
quan
được
hệ
mối
giữa
quan
haiđộ
hệ
hạng
nàođộ
tử
giữa
nào
hai
trong
hạng
hệ
được
dài
hai
đoạn
thẳng
Ta
kếtsánh
luận
được
gì
về
dài
OH
và
thức
tử
còn(*)lại?
?
nào ?
OK?

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

?1 H·y sö dông kÕt qu¶ OH 2  HB 2 OK 2  K D 2 (*) chøng minh:

a)N Õu AB = CD th× OH = OK
b) NÕu OH = OK th× AB = CD
Phân tích

C

K
D

<=> < => <=>

AB = CD

AB
CD
; KD  )
HB = KD (Do HB =
2
2
HB2 = KD2

<=>

OH2= OK2
OH = OK

O
A

H

R

B

HSTương
1. Chứng
minh
phần a?
tự ta có
suy luận
theoChứng
chiều ngược
HS 2.
minhlại.
phần b?

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
?1 H·y sö dông kÕt qu¶ OH 2  HB 2 OK 2  K D 2 (*) chøng minh:
C

a)N Õu AB = CD th× OH = OK
b) NÕu OH = OK th× AB = CD

K
D

Giải

a) OH  AB, OK  CD theo định
lí đường kính vuông góc với dây
=> HB =

AB
CD
vµ KD =
2
2

N Õu AB = CD th× HB K D
 HB 2 K D 2

Mà OH2 + HB2 = OK2 + KD2(*)
(c/m trên)
 OH2 = OK2 => OH = OK

O
A

H

R

B

b) Nếu OH = OK  OH2 = OK2
Mà OH2 + HB2 = OK2 + KD2 (*)
 HB2 = KD2  HB = KD
AB
CD
M µ HB 
;K D 
2
2
 AB CD

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

* Định lí 1
a)N Õu AB = CD th× OH = OK
b) NÕu OH = OK th× AB = CD

C

K
D
O

A

Qua bài toán
này ta có thể
rút ra điều gì ?

H

Trong một đường tròn :
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

R

B

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

O

A

O'

3 cm

B

3 cm

C

O
A

D

O'
B

C

D

Định lí 1 có đúng trong
hai đường tròn không?

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Chú ý. Trong hai đường

O

A

O'

3 cm

B

3 cm

C

O
A

tròn, hai dây bằng nhau chưa
chắc đã cách đều tâm.
D

O'
B

C

D

Trong hai đường tròn, hai
dây cách đều tâm chưa
chắc đã bằng nhau.

Định lí 1 có thể đúng được trong hai đường tròn không?
Nếu có thể cần thêm điều kiện gì ?

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Chú ý. Trong hai đường

O

A

O'

3 cm

B

3 cm

C

O
A

tròn, hai dây bằng nhau chưa
chắc đã cách đều tâm.
D

O'
B

C

D

Trong hai đường tròn, hai
dây cách đều tâm chưa
chắc đã bằng nhau.

Định lí 1 chỉ đúng khi hai dây trong một
đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau.

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Trong một đường tròn hoặc hai
đường tròn bằng nhau, không
cần so sánh trực tiếp:
- Muốn biết hai dây có bằng
nhau hay không ta làm như thế
nào?
- Ngược lại muốn biết khoảng
cách từ tâm tới hai dây có bằng
nhau hay không ta làm như thế
nào?

C

K
D
O

A

H

R

B

AB = CD  OH = OK

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

?2

Sử dụng kết quả OH 2  HB 2 OK 2  K D 2 (*) để so sánh
a) OH và OK, nếu biết AB > CD.
Phân tích
) AB và CD, nếu biết OH < OK.
C

AB > CD

K
O
H
A

D

R

B

Nếu AB > CD ta so sánh được
độ dài hai đoạn thẳng nào?

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

?2

Sử dụng kết quả OH 2  HB 2 OK 2  K D 2 (*) để so sánh
a) OH và OK, nếu biết AB > CD
Phân tích
) AB và CD, nếu biết OH < OK
C

< =>

AB > CD

K
O

A

B

Khi
Tương
đó em
tự tacóchứng
kết luận
minh
gì chiều
về độ
Ta
Takết
sẽ so
luận
sánh
được
được
gìlại.
về
haihai
hạng
dài
ngược
OH
và
OK?
hạng
tử nào
tử còn
trong
lạihệ
trong
thứchệ
(*)thức
? (*)?

< => < => < =>

H

D

R

HB > KD
HB2> KD2
OH2< OK2
OH < OK

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

< =>

2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
? 2 Sử dụng kết quả OH 2  HB 2 OK 2  K D 2 (*) để so sánh :
a) OH và OK, nếu biết AB > CD
Giải ? 2
b) AB và CD, nếu biết OH < OK a)Theo kÕt qu¶ bµi to¸n phÇn 1 cã
C
CD
AB
HB = ... vµ KD = ...
AB > CD
2
2
K
Nếu AB > CD thìHB
…  KD
O
HB 2  KD 2 ( do HB, KD > 0 )
=>
…
HB > KD
D
R
Mµ OH 2  HB 2 OK 2  K D 2 (*)
H
2
2
OH

OK
=>
…
=> OH < OK
B
A
HB2> KD2 ( do OH, OK > 0)

< => < => < =>

Điền vào
… để được
kết luận
đúng

OH2< OK2
OH < OK

b) Nếu OH < OK thìOH…2  OK 2
(do OH, OK > 0)
Mà OH2 + HB2 = OK2 + KD2 (*)
HB 2  KD 2  HB > KD
 …
(do HB, KD > 0) =>AB
… CD

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
? 2 Sử dụng kết quả OH 2  HB 2 OK 2  K D 2 (*) để so sánh:
a) OH và OK, nếu biết AB > CD
Giải ? 2
b)AB và CD, nếu biết OH < OK a)Theo kÕt qu¶ bµi to¸n phÇn 1 cã
CD
AB
C
HB = ... vµ KD = ...
2
2
Nếu AB > CD thì HB
…  KD
K
HB 2  KD 2 ( do HB, KD > 0 )
=> …
O
Mµ OH 2  HB 2 OK 2  K D 2 (*)
D
2
2
R
OH

OK
=>
…
=> OH < OK
H
( do OH, OK > 0)
B
A

AB > CD  OH < OK

2
b) Nếu OH < OK thì OH…
 OK 2
(do OH, OK > 0)
Mà OH2 + HB2 = OK2 + KD2 (*)
HB 2  KD 2  HB > KD
 …
(do HB, KD > 0) =>AB
… CD

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
* Định lí 2

a) OH và OK, nếu biết AB > CD
) AB và CD, nếu biết OH < OK
C

K
O
H
A

D

R

B

AB > CD  OH < OK

Trong hai dây của một đường tròn:
a) Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn.
b) Dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn.

Kết quả bài toán ?2 chính
là nội dung định lí 2.

Câu khẳng định
1) Trong một đường tròn, hai dây bằng
nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm.
2) Trong hai dây của một đường tròn
dây nào nhỏ hơn thì dây đó gần tâm
hơn.

Đ hay Hình minh họa
S
câu sai
Đ

Câu 2. C

I
D
O

S

A

Câu 3.

3) Trong hai dây của hai đường tròn ,
dây nào lớn hơn thì nó gần tâm hơn dây
kia.

S

4) Trong hai đường tròn bằng nhau,
dây nào nhỏ hơn thì xa tâm hơn dây kia.

Đ

B

H

H

A

B
O

C

K
O'

D

Củng cố – Luyện tập
?3

Cho tam giác ABC , O là giao điểm của các đường trung trực của
tam giác; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC,
AC. Cho biết OD > OE, OE = OF ( Hình 69). Hãy so sánh các độ
A
dài:
a) BC và AC;
=
x
F
b) AB và AC.
D

_
_

O

GT

KL

x
∆ABC, O là giao điểm ba
=
đường trung trực.
///
///
C
E
AD = BD , BE = EC, AF = FC. B
OD > OE , OE = OF.
So sánh :
Giao điểm ba đường trung trực của
a) BC và AC
tam giác có tính chất gì? Nó còn có
b) AB và AC
tên gọi khác như thế nào ?

Củng cố – Luyện tập
?3
GT

KL

A
∆ABC,O là giao điểm ba
đường trung trực.
=
AD = BD , BE = EC, AF = FC.
D
OD > OE , OE = OF.
=
So sánh :
a. BC và AC
B
b. AB và AC

x

_
_

F

O
///

E

x
///

Giải

a) O là giao điểm của các đường trung
trực các cạnh ∆ABC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC.

Với điều kiện của đề bài, để so sánh hai dây BC
Khi đó BC và AC là gì của đường tròn?
và AC của đường tròn (O) ta làm thế nào ?

C

Củng cố – Luyện tập
?3
GT

KL

A
∆ABC,O là giao điểm ba
đường trung trực.
=
AD = BD , BE = EC, AF = FC.
D
OD > OE , OE = OF.
=
So sánh :
a. BC và AC
B
b. AB và AC

x

_
_

F

O
///

E

x
///

Giải

a) O là giao điểm của các đường trung
trực các cạnh ∆ABC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC.
Có OE = OF (gt) => BC = AC (đ/l 1b về liên hệ giữa dây và
khoảng cách đến tâm).
b) Ta có Tương
OD > OEtựvàsoOE
= OF
=> AB
ODvà
> OF
AB < AC
sánh
dây
dây=>AC?
( đ/l 2b về liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm).

C

Hướng dẫn học ở nhà
- Học thuộc và chứng minh lại hai định lí về liên hệ giữa
dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
- Làm bài tập 12, 13, 14 trang 106 SGK.
- Tiết sau Luyện tập §2 và §3.

Xin chân thành cảm ơn
quý thầy cô và các em học sinh