Chào mừng quí thầy cô và
các em học sinh !
TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN
CỦA ĐỒ THỊ

CH1: Nhận xét gì về đồ thị các hàm số sau?
Hàm số bậc hai
y =
y =

Hàm số

Hàm số y = sinx
I. Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn
CH3: Hãy tìm thêm liên hệ giữa y” và tính lồi, lõm và điểm uốn của các hàm số bậc hai
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
y” = 2a ≠ 0
y” là hằng số khác 0.
Nhận xét
a > 0, khi đó y” > 0, đồ thị hàm số lõm.
a < 0, khi đó y” < 0, đồ thị hàm số lồi.
Hàm số không có điểm uốn.
I. Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn
CH4: Hãy tìm thêm liên hệ giữa y” và tính lồi, lõm và điểm uốn của các hàm số



Ta có:



I. Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn
Bảng xét dấu y’’
x  0 +
y’’  +




* Hàm số không xác định tại x = 0, nhưng lại đổi dấu khi qua điểm x = 0.
* Hàm số có khoảng lồi là (; 0) và khoảng lõm là (0; +;) và
Đồ thị
của hàm số
lõm
lồi
I. Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn
CH5: Hãy tìm thêm liên hệ giữa y” và tính lồi, lõm và điểm uốn của các hàm số y = sinx.
Ta có
y” = - sinx
Nhận xét
Khi sinx > 0 thì y” < 0, đồ thị hàm số lồi.
Khi sinx < 0 thì y” > 0, đồ thị hàm số lõm.
Điểm uốn có tung độ là 0 xảy ra khi và chỉ khi sinx = 0  x = k, kZ
I. Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn
* Kết luận tổng quát cho hàm số bậc hai
a > 0: hàm số lõm
a < 0: hàm số lồi.
Không có điểm uốn
Yêu cầu: về nhà tự tìm thêm các phát biểu tổng quát khác cho một lớp các hàm số


I. Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn
1.   Định lý 1
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a; b).
 f”(x ) < 0 với mọi x thuộc (a, b)  đồ thị của hàm số lồi trên (a; b).
f” (x ) > 0 với mọi x thuộc (a, b)  đồ thị của hàm số lõm trên (a; b).

II. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn
Bài toán: Hãy tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn

của hàm số
II. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn
Ta có
Bảng xét dấu y’’
x  0 +
y’’ + 




y” không xác định tại x = 0, nhưng lại đổi dấu khi qua điểm x = 0.
Thấy x = 0 là điểm ngăn cách giữa 2 khoảng lồi, lõm của một hàm số liên tục.
Theo định nghĩa x = 0 chính là điểm uốn.
(0; 0)
Đồ thị
của hàm số
lõm
Điểm uốn
lồi
II. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn
2. Định lý 2

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x0 và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó (có thể trừ tại điểm x0).
Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi đi qua x0 thì điểm M0(x0; f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.
II. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn
Tìm các khoảng lồi lõm và điểm uốn của các hàm số sau:
a/ y =  2x4 + 4x2 + 2
b/ y = x4 + x2  2

c/
III. Các ví dụ
Ví dụ 1: Khảo sát khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số y =  2x4 + 4x2 + 2
 TXĐ: D = R
y’ =  8x3 + 8x = 8x ( x2  1 )
 y’’ = 24x2 + 8
Bảng xét dấu y’’:
x  +
y’’  0 + 0 
đồ thị lồi U lõm U lồi
Điểm uốn :
2.Ví dụ 2: Ks và vẽ đồ thị hàm số
y = x4 + x2  2
 TXĐ: D = R
y’ = 4x3 + 2x = 2x ( 2x2 + 1 )
y’= 0  x = 0
 y’’= 12x2 + 2 > 0 , x
 Đồ thị hàm số không có điểm uốn
và luôn luôn lõm
Rất mong sự đóng góp của quí thầy cô và
các em học sinh.

Chân thành cảm ơn !
Cần thơ, tháng 11 / 2007