BÀI 1
MA TRẬN
Matrices
Mục tiêu bài học
Hiểu được kí hiệu và thuật ngữ của đại số ma trận

Thực hiện được các phép toán cộng trừ nhân trên ma trận.

Biến đổi sơ cấp trên ma trận
Ví dụ ứng dụng
Công ty chế biến thực phẩm cần chế biến một loại thức ăn nhanh chứa đủ 3 loại dưỡng chất là Protein, Carbohydrate và Fat, mà chúng được lấy từ 3 loại thực phẩm nguyên liệu: (A), (B), (C). Bảng sau đây liệt kê số lượng (tính bằng gam) của 3 dưỡng chất có trong 100g của mỗi loại thực phẩm nguyên liệu.
Ví dụ ứng dụng
§1: Ma Trận
Định nghĩa: Ma trận là một bảng gồm m.n số thực được viết thành m hàng và n cột như sau:
Ký hiệu: A = [aij]mn
Hàng thứ nhất
Hàng thứ i
Cột thứ 2
Cột thứ j
aij: Phần tử nằm ở hàng i cột j
aij
mn: gọi là cấp của ma trận
a11 a22 a33 … gọi là đường chéo chính
§1: Ma Trận
§1: Ma Trận
Ví dụ:
23
33
đường chéo chính
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
1. Ma trận không:
Ví dụ:
(tất cả các phần tử đều = 0)
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
2. Ma trận vuông: m = n.
Ví dụ:
Ma trận vuông cấp 2
Ma trận vuông cấp 3
(số hàng = số cột)
Các ma trận đặc biệt:
3. Ma trận chéo: là ma trận vuông có:
§1: Ma Trận
(các phần tử ngoài đường chéo chính = 0)
Ví dụ:
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
4. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo có:
Ký hiệu: I, In.
Ví dụ:
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
5. Ma trận tam giác: là ma trận vuông có
Ví dụ:
(tam giác trên)
(tam giác dưới)
MT tam giác trên
MT tam giác dưới
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
6. Ma trận hình thang: là ma trân cấp mn có:
có dạng như sau:
§1: Ma Trận
Ví dụ:
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
7. Ma trận cột:là ma trận có n=1.
Ma trận cột có dạng:
Các ma trận đặc biệt:
8. Ma trận hàng: là ma trận có m=1.
Ma trận hàng có dạng:
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
9. Ma trận bằng nhau:
10. Ma trận chuyển vị: cho ma trận A=[aij]mn, ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu: AT và xác định AT=[bij]nm với bij=aji với mọi i,j.
(chuyển hàng thành cột)
§1: Ma Trận
Ví dụ:
Dạng của ma trận chuyển vị:
§1: Ma Trận
§1: Ma Trận
Các phép toán trên ma trận:
1. Phép cộng hai ma trận:
Ví dụ:
1
0
1+ 0=1
1
2
3
2+3=5
5
-1
1
5
3
(cộng theo từng vị trí tương ứng)
Bài tập: Tính
5
7
-1
0
2
11 8
-2 1
§1: Ma Trận
Các tính chất: Giả sử A,B,C,O là các ma trận cùng cấp, khi đó:
§1: Ma Trận
Ví dụ:
§1: Ma Trận
Các phép toán trên ma trận:
2. Phép nhân một số với một ma trận:
Ví dụ:
2
3
2.3=6
6
2.(-2)=-4
-2
2
-4
0
14
2.0=0
8 10
0 -4 2
(các phần tử của ma trận đều được nhân cho )
Bài tập: Tính
?
6
0
15
§1: Ma Trận
-9
12
-3
Các tính chất: là hai ma trận cùng cấp, khi đó
§1: Ma Trận
Sinh viên tự kiểm tra.
Ví dụ:
§1: Ma Trận
§1: Ma Trận
Chú ý:
Nhận xét: trừ 2 ma trận là trừ theo vị trí tương ứng
§1: Ma Trận
Bài tập: Tính
2+(-2).1=0
0
-2
7
-1
§1: Ma Trận
Các phép toán trên ma trận:
3. Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận
Khi đó ma trận gọi là tích của hai ma trận A, B. Trong đó:

Hàng thứ i của ma trận A.
Cột thứ j của ma trận B.
§1: Ma Trận
với
Ví dụ: Nhân hai ma trận sau:
3.
1
.3
+2
+1
.4
=13
13
=
=3.2+2.0+1.(-1)=5
5
3
2
2
0
1
-1
§1: Ma Trận
Ví dụ: Nhân hai ma trận sau:
§1: Ma Trận
=0.1+(-1).3+4.4=13
Hàng 2
Cột 1
13
Hàng 2
Cột 2
=0.2+1.0+4.(-1)=-4
-4
7
-4
§1: Ma Trận
Bài tập: Tính
16
2
3
10
16
3
§1: Ma Trận
Bài tập: Tính
Chú ý: Phép nhân 2 ma trận không giao hoán
§1: Ma Trận
Ví dụ:
Các tính chất: Ta giả sử các ma trận có cấp phù hợp để tồn tại ma trận tích
§1: Ma Trận
( I là MT đơn vị)
Ví dụ:
§1: Ma Trận
A(B+C)
(B+C)
AB
AC
Ví dụ:
§1: Ma Trận
§1: Ma Trận
Ví dụ: Cho Tính
Ta có:
AA
§1: Ma Trận
Bài tập: Cho ma trận

Tính
§1: Ma Trận
§1: Ma Trận
Bài tập: Cho
Tính
Tìm hạng ma trận Q
Casio fx-570ES
Nhập dữ liệu:
Nhập 1 Ma Trận:
ấn MODE 6; chọn MatA; chọn cấp; nhập phần tử =
Nhập 2 Ma Trận:
ấn tiếp Shift 4; chọn dim; chọn MatB hoạc MatC; chọn cấp; nhập phần tử =
Xuất dữ liệu: AC Shift 4
1. Dim: cấp 2. Data: chỉnh sửa dữ liệu
3. Mat A 4. Mat B: gọi các ma trận đã nhập
5. Mat C 6. MatAns: kết quả phép tính gần nhất
7. Det : định thức 8. Trn: chuyển vị
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận:
Nhân một số khác không với một hàng (cột) của ma trận. Ký hiệu:
Đổi chỗ hai hàng (cột) của ma trận. Ký hiệu:
Cộng vào một hàng (cột) với một hàng (cột) khác đã nhân thêm một số khác không. Ký hiệu:
§1: Ma Trận
Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang.
?=1+(-2)1=-1
-5
3
?
-1
Ta làm cho phần dưới đường chéo chính = 0.
0
9
10
-1
0
8
5
2
Ta lặp lại như trên cho phần ma trận này
-5=-1+(-2)2
§1: Ma Trận
§1: Ma Trận
-35
26
0
-35
26
§1: Ma Trận
Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang:
-3
1
-1
§4: Hạng ma trận
§1: Ma Trận
Bài tập: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang:
-1
2
5
-7
6
0
6
2
7
§1: Ma Trận
§1: Ma Trận
Bài tập: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang:
1
§4: Hạng ma trận
Bài tập: Tìm hạng của ma trận sau:
-1
2
5
§4: Hạng ma trận
Ví dụ: Biện luận theo m hạng của ma trận sau:
0
 r(A) = 2
 r(A) = 3
§4: Hạng ma trận
Ví dụ: Biện luận theo m hạng của ma trận sau:
0
0
Câu hỏi ôn tập
Làm BT tuần 1
Đọc giáo trình chính
Trang 49; Trang 50
Mục 4.2 trang 51 đến 58
Mục 4.4 trang 67
Mục 4.5 trang 71
Mục 4.5 trang 70
Mục 4.6 trng 73, 74
Trang 97 (Rank of a Matrix)
Key Terms
Column vector A matrix with one column.
Elements The individual numbers inside a matrix. (Also called entries.)
Matrix A rectangular array of numbers, set out in rows and columns, surrounded by a pair of brackets. (Plural matrices.)
Order The dimensions of a matrix. A matrix with m rows and n columns has order m × n.
Row vector A matrix with one row.
Transpose of a matrix The matrix obtained from a given matrix by interchanging rows and columns. The transpose of a matrix A is written AT.
Zero (null) matrix A matrix in which every element is zero.
Identity matrix An n × n matrix, I, in which every element on the main diagonal is 1 and the other elements are all 0. If A is any n × n matrix then AI = I = IA.
Square matrix A matrix with the same number of rows as columns.