Chương 2
MA TRẬN - ĐỊNH THỨC

Bài 1. Các khái niệm cơ bản về ma trận

I.

II.

III.

Các khái niệm cơ bản về ma trận
1.

Khái niệm ma trận

2.

Đẳng thức ma trận

3.

Ma trận không và ma trận đối

Các dạng ma trận
1.

Ma trận vuông

2.

Ma trận tam giác

3.

Ma trận đường chéo và ma trận đơn vị

Các phép biến đổi ma trận
1.

Các phép biến đổi sơ cấp

2.

Phép chuyển vị ma trận

I.

Các khái niệm cơ bản về ma trận
1.

Khái niệm ma trận

ĐN:

Ma trận là một bảng số được xếp theo hình chữ nhật, ma trận có m
dòng, n cột được gọi là có cấp m n .

Ký hiệu:

 a11 a12
a
a 22
21

A
L
L

 a m1 a m2

L
L
L
L

a1n 
a 2n 
L 

a mn  mn

trong đó a ij là phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A.
Ký hiệu dạng thu gọn:
Ví dụ:

A a ij 

mn

Xét ma trận:

Cấp của A là bao nhiêu?
 2 4 3 5 
A   6 1 7  9 
 8 2 1 7

 3 4
Trong đó:

a12   4

a 32  2

a 24  9

I.

Các khái niệm cơ bản về ma trận
1.

Khái niệm ma trận

Một câu hỏi đặt ra là:

Ma trận được thường được dùng như thế nào?

TRONG THỐNG KÊ KINH TẾ
Ví dụ:

Thông tin về lợi nhuận trong 4 quý của hệ thống 3 cửa hàng (A, B, C)
được cho thành một bảng như sau:
Quý
C-Hàng

1

2

3

4

A

30

- 25

43

12

B

21

37

- 24

52

C

-4

14

17

- 26

Thông tin trên có thể được tóm tắt một cách ngắn gọn trong ma trận số sau:

 30  25 43 12 
A  21 37  24 52 
  4 14 17  26 



I.

Các khái niệm cơ bản về ma trận
2.

Đẳng thức ma trận

ĐN:

Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng cấp
và các phần tử ở vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau.

A a ij 

mn

A B 

; B bij 

mn

a ij bij , i 1, m, j 1, n

I.

Các khái niệm cơ bản về ma trận
3.

Ma trận không và ma trận đối

ĐN:

Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử bằng không

Ký hiệu 0mn

0mn

ĐN:

0
0

L

0

0
0
L
0

L
L
L
L

0
0 
L 

0  mn

Ma trận đối của một ma trận A là ma trận cùng cấp mà mỗi phần tử
của nó là số đối của các phần tử tương ứng của ma trận A.

Ký hiệu: Ma trận đối của A được ký hiệu là - A
Ví dụ:

Ma trận đối của ma trận

4 9 
A  5  2 
 7 4



 4  9
 A   5 2 
  7  4



II.

Các dạng ma trận
1.

Ma trận vuông

ĐN:

Ma trận vuông là ma trận có số dòng bằng số cột. Một ma trận có số
dòng và số cột đều bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. Ma trận
vuông cấp n có dạng tổng quát:

 a11 a12
a
a 22
A  21
L
L

 a n1 a n 2
 3  1 6
A   7 3 8 
 9 0 5



L
L
L
L

a1n 
a 2n 
L 

a nn  n n

Đường chéo chính

II.

Các dạng ma trận
2.

Ma trận tam giác

ĐN:

Ma trận tam giác là ma trận vuông có các phần tử nằm về một phía
của đường chéo chính bằng 0.

 a11 a12
a
a 22
 21
L
L

 a n1 a n 2

L
L
L
L

a1n 
a 2n 

L 

a nn 

 3  1 6
A  0 3 8 


 0 0 0



 a11 a12
 0 a
22

L
L

0
 0

L
L
L
L

 a11 0
a
 21 a 22
L
L

 a n1 a n 2

L
L
L
L

a1n 
a 2n  Ma trận tam giác trên
L 

a nn 
0
0
L



 Ma trận tam giác dưới


a nn 

là ma trận tam giác trên

II.

Các dạng ma trận
3.

Ma trận đường chéo và ma trận đơn vị

ĐN:

Ma trận đường chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm
ngoài đường chéo chính bằng 0. Ma trận đường chéo cấp n có dạng:

 a11 0
 0 a
22

 

0
 0
ĐN:

 0 
 0 
 

 a nn 

  7 0 0
A  0 4 0 
 0 0 9



Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo có tất cả các phần tử trên
đường chéo chính bằng 1. Ma trận đường chéo cấp n ký hiệu là E n

1
0
E n 
L

0

0
1
L
0

L
L
L
L

0
0 
L 

1

 1 0 0
E 3  0 1 0 
 0 0 1



III.

Các phép biến đổi trên ma trận
1.

Các phép biến đổi sơ cấp

ĐN:

Các phép biến đổi sau đây trên các dòng của ma trận được gọi là
các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.
Phép 1: Đổi chỗ hai dòng của ma trận;
Phép 2: Nhân một dòng với số  0;
Phép 3: Biến đổi một dòng bằng cách cộng vào nó bội của dòng
khác;

Ví dụ:

Với ma trận:

 2 1 3 1 
d1  d 3

A  1  2 2  3   
2 1 3 2 



 2 1 3 2 
 1  2 2  3


 2 1 3 1 



 2  1 3 1  1
3 d1
 d

A  1  2 2  3 


2 1 3 2 



 2 1 3 1 
 1  2 2  3


 0 0 6 3 



Cộng vào dòng 3 tích của dòng 1 với 1

III.

Các phép biến đổi trên ma trận
1.

Các phép biến đổi sơ cấp
Tương tự các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng (1-đổi chỗ hai dòng,

2-nhân dòng với một số khác không, 3-cộng vào một dòng bội dòng khác), ta
cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên các cột của ma trận:
ĐN:

Các phép biến đổi sau đây trên các cột của ma trận được gọi là
các phép biến đổi sơ cấp trên cột.
Phép 1: Đổi chỗ hai cột của ma trận;
Phép 2: Nhân một cột với số  0 ;
Phép 3: Biến đổi một cột bằng cách cộng vào nó bội của cột khác;

III.

Các phép biến đổi trên ma trận
2.

Phép chuyển vị ma trận
Cho ma trận A cấp m n

 a11 a12
a
a 22
21

A
 

 a m1 a m 2

 a1n 
 a 2n 

 

 a mn 
m n

a11 a 21

 a m1 

 a m2 
  

 a mn 
n m



A 



ĐN:

a12 a 22
 
a1n a 2n

Ma trận A' được gọi ma trận chuyển vị của ma trận A, phép biến đổi
biến ma trận A thành ma trận A' được gọi phép chuyển vị ma trận.

III.

Các phép biến đổi trên ma trận
2.

Phép chuyển vị ma trận

Ví dụ:

Với ma trận

3
 3
A 
 1

 7

1 5
5  2

5  5

9 1  43

 3 3 1 7 
A  1 5 5 9 
 5 2 5 1 

3 4
Ví dụ:

Tìm ma trận chuyển vị của

2 1 4 1 
A  5 a 3  2 
 3 1 2  5



2 5 3 
 1 a

1

A 
 4 3 2


1

2

5

