Bài 4.

I.

II.

Phương pháp tính định thức

Phương pháp khai triển
1.

Khái niệm phần bù đại số

2.

Quy tắc khai triển định thức

Phương pháp biến đổi về dạng tam giác

I.

Phương pháp khai triển
1.

Khái niệm phần bù đại số

Xét định thức cấp n:

a11  a1j  a1n
    
d  a i1  a ij  a in
    
a n1  a nj  a nn
Xóa đi dòng thứ i và cột thứ j (dòng và cột chứa phần tử aij) của định thức d,
ta được định thức cấp n – 1, ký hiệu là Mij.
ĐN:
Định thức Mij được gọi là phần bù và Aij = (-1)i+j Mij được gọi là
phần bù đại số của phần tử aij của định thức d.
Chú ý:

A ij  1

i j

M ij , nếu i + j là số chẵn
.M ij 
  M ij , nếu i + j là số lẻ

I.

Phương pháp khai triển
1.

Khái niệm phần bù đại số
Ví dụ 1: Xét định thức

4
d 2
2

1

3

5 3
4 1

Các phần bù đại số lần lượt là:

5 3
A11 
 7
4 1

A12 

2 3
8
2 1

2 5
A13 
18
2 4

I.

Phương pháp khai triển
2.

Quy tắc khai triển định thức

Ví dụ 2: Xét định thức

3 2
d 7
4

1
3

1
1
2

Hãy tính các giá trị sau đây:

d 68
A11  5

A12  18 A13 17

S1 a11A11  a12 A12  a13A13 3A11  2A12  1A13  68
A 21  7

A 22  2

A 23   17

S2 a 21A11  a 22 A 22  a 23A 23 7A 21 1A 22  1A 23  68
A 31 1

A 32 10

A 33 17

S3 a 31A 31  a 32 A 32  a 33A 33 4A 31  3A 32  2A 33 68

I.

Phương pháp khai triển
2.

Quy tắc khai triển định thức

Quy tắc khai triển định thức cấp n:

a11  a1j  a1n
     a i1A i1  a i2 A i2    a ijA ij    a in A in
(Công thức khai triển định thức theo dòng i)
a i1  a ij  a in
     a A  a A    a A    a A
1j 1j
2j 2j
ij ij
nj nj
a n1  a nj  a nn
(Công thức khai triển định thức theo cột j)
NX:

Định thức cấp n bằng tổng các tích số của mỗi phần tử của một dòng
(hoặc cột) bất kỳ với phần bù đại số của phần tử đó.
Quy tắc trên cho phép ta thay vì tính một định thức cấp n bởi tính
các định thức cấp n – 1.

I.

Phương pháp khai triển
2.

Quy tắc khai triển định thức

Ví dụ 3: Tính định thức cấp 4

d

Chú ý:

2 1 0 3
3 2 1 2
6

4

0

5

1

2

0 1

Theo QUY TẮC KHAI TRIỂN, ta có thể chọn dòng hay cột bất kỳ để
khai triển, nhưng nên chọn dòng hay cột nào mà số lượng tính toán
là ít nhất (Một gợi ý là dòng có nhiều số 0)

Khai triển định thức theo cột 3:
Trong đó

d 0.A13  1.A 23  0.A33  0.A 43
2 1 3
A 23  6 4

5 41

1 2 1
Suy ra

d 41

I.

Phương pháp khai triển
2.

Quy tắc khai triển định thức

Ví dụ 4: Tính định thức cấp 4

d

NX:

2

1

2 3

3

2

1

5

2

3

1

4

4

2

3

2

Trong trường hợp này, chọn dòng hay cột nào khai triển thì cũng
phải tính 4 định thức cấp 3 (các phần bù đại số).

Xem xét các tác động của phép biến đổi sơ cấp lên giá trị của định thức:
Phép 1: Đổi chỗ hai dòng (cột) của định thức;

Định thức đổi dấu

Phép 2: Nhân một dòng (cột) của d với số k;

Định thức bằng k.d

Phép 3: Cộng vào một dòng (cột) bội của

Định thức không đổi

dòng (cột) khác trong định thức.

I.

Phương pháp khai triển
2.

Quy tắc khai triển định thức

Ví dụ 4: Tính định thức cấp 4

2 
( 3) 2
1 2 3
 2 1 5 1
d
 2 3 1 4 1
4  2 3 2 1
2
3



2

1

2

7
8
8

0
0
0

 3 11
7 5
1 8

Khai triển định thức theo cột thứ 2 ta được:

7

 3 11

d 1.A12   8 7  5 243
8 1 8

3

Giá trị của định thức

2 1 3 4
3 2 1 5
2
1

5
2

4 3
3 4

50:50
A: - 5

B: 5

C: 15

D: - 15

Giá trị của định thức

2 1 3
4 m 3
2
2

6
1

2
1

4 3
3 1

50:50
A: - 42m + 414

B: 24m - 441

C: 42m - 414

D: - 24m +441

II.

Phương pháp biến đổi về dạng tam giác
Xét định thức của ma trận dạng tam giác trên:

d

a11

a12  a1n

0

a 22  a 2n



  

0

0

a11a 22  a nn

 a nn

Định thức của ma trận dạng tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo
chính.
Phương pháp thực hành:
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng, đưa định thức về định
thức dạng tam giác trên (lưu ý các biến đổi kèm theo sẽ biến đổi về dấu
và giá trị của định thức).
Ví dụ:

( 3) 1 2
1 2 
d
1( 2)  2

3 4 1
0 2

Tính theo PP biến đổi, giá trị của định thức


( 3) 1 2 3

5
20 5
3 7 2
2 3

50:50
A: - 5

B: 10

C: 5

D: - 10

II.

Phương pháp biến đổi về dạng tam giác
Ví dụ:

Tính định thức cấp 4 sau bằng phương pháp biến đổi

2 1 4
3 2 1
d
4 3 1
5 4 3

( 3) 2 
( 5)
3 
4 2
1 1 1
  
2 1
2 1  2
2 2
1
4

2 1 4
3
( 1) 
( 13) 1 1 1
1 0 7  10  1 
  

7 7 4
7
8 7
40 1
0 13  14  11 7
2 1
1 0

196 0
0

4

7

 10

0

59

0

32

3

7
0
0

3
1
8

0 13  14  11
2 1
0
0
0

2 1

1
1 0
 

( 32) 59 196 0
57
0
 64 59
1

2 1 4
0 7  10
0 1
7

7
0
0
4

4

3

 10  1
59 57
32  64
3

 10
1
 400
59
57
0  5600

II.

Phương pháp biến đổi về dạng tam giác
Nhận xét:
Từ ví dụ trên cho thấy, với các định thức cấp thấp (n = 1, 2, 3, 4) thì ta
không nên tính bằng phương pháp biến đổi (việc tính như thế là phức tạp
hơn phương pháp khai triển), với các định thức cấp n tổng quát thì ta
thường tính bằng cách biến đổi sơ cấp trên các dòng, các cột để đưa định
thức về dạng tam giác.