TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ
CHƯƠNG V. ĐẠI SỐ TỔ HỢP

§1. Quy tắc cộng. Quy tắc
nhân. Sơ đồ hình cây
§2. Hoán vị. Chỉnh hợp
§3. Tổ hợp
§4. Nhị thức Newton

TOÁN THPT

TOÁN HỌC

➉

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

§1

QUY TẮC CỘNG. QUY TẮC NHÂN. SƠ ĐỒ HÌNH CÂY

QUY TẮC
CỘNG
II QUY TẮC NHÂN
I

III

SƠ ĐỒ HÌNH CÂY

IV VẬN DỤNG TRONG BÀI TOÁN ĐẾM

TOÁN THPT

§1

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

QUY TẮC CỘNG. QUY TẮC NHÂN. SƠ ĐỒ HÌNH CÂY

Khởi động

Suy nghĩ 2 vấn đề sau:

Câu 1. Sơ đồ sau đây cho biết lich thi đấu của
giải bóng đá UEFA Champions League 20202021
bắt đầu từ vòng tứ kết. Có bao nhiêu trận
.
đấu của giải bóng đá UEFA Champions League
2020-2021 bắt đầu từ vòng tứ kết?

Câu 2. Gia đình bạn Quân đặt mật mã của
chiếc khóa cổng là một dãy gồm 4 chữ số. Hỏi
có bao nhiêu cách đặt mật mã với yêu cầu các
chữ số phải đôi một khác nhau.

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

§1 QUY TẮC CỘNG. QUY TẮC NHÂN. SƠ ĐỒ HÌNH CÂY
Khởi động Gia đình bạn Liên dự định đi du lịch ở Quy Nhơn (Bình Định). Hướng dẫn viên
du lịch đưa ra hai chương trình tham quan như sau:

Chương trình 1
Có 4 địa điểm tham quan: khu Safari FLC, khu
du
lịch
Eo
gió,
khu
du
lịch
Kỳ
Co.
Tịnh
xá
Ngọc
.
Hòa (Hình 2)

Chương trình 2
Có 7 địa điểm tham quan: Biển Quy Nhơn, khu
du lịch Ghềnh Ráng Tiên Sa, Tháp đôi, đầm Thị
Nại, khu du lịch Cửa Biển, Suft Bar, nhà thờ
Làng Sống (Hình 3)

Có bao nhiêu cách chọn một địa điểm tham quan trong số các địa điểm
được giới thiệu trong hai địa điểm ở trên?

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ
cách hàn thành.

QUY TẮC CỘNG
Ghi nhớ
I

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành
động. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hành
động thứ hai có n (các cách thực hiện của cả hai hành động
là khác nhau đôi một) thì công việc đó có
mn

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

Ví dụ 1 Bạn Phương có 7 quyển sách Tiếng Anh và 8 quyển sách Văn học, các quyển sách
là khác nhau. Hỏi bạn Phương có bao nhiêu cách chọn một quyển sách để đọc?

Việc chọn một quyển sách để đọc là thực hiện một trong hai hành động sau:
+ Chọn một quyển sách Tiếng Anh: có 7 cách chọn.
+ Chọn một quyển sách Văn học: có 8 cách chọn.
Vậy có 7 + 8 = 15 cách chọn một quyển sách để đọc.

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ
cách hàn thành.

QUY TẮC CỘNG
Ghi nhớ
I

Một công việc được hoàn thành bởi một trong ba hành động. Nếu hành động thứ nhất có m cách
thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực hiện, hành động thứ ba có p cách thực hiện (các cách
thực hiện của ba hành động là khác nhau đôi một) thì công việcj đó có n+m+p cách hoàn thành
m



n

TOÁN THPT

Ví dụ

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

Ví dụ 2: Một quán bán ba loại đồ uống: trà sữa, nước hoa quả và sinh tố. Có 5 loại
trà sữa, 6 loại nước hoa quả và 4 loại sinh tố. Hỏi khách hàng có bao nhiêu cách chọn
một loại đồ uống?

Việc chọn một loại đồ uống là thực hiện một trong ba hành động sau:
+ Chọn một loại trà sữa: có 5 cách chọn.
+ Chọn một loại nước hoa quả: có 6 cách chọn
+ Chọn một loại sinh tố: có 4 cách chọn.

Vậy có 5+6+4=15 cách chọn một loại đồ uống

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

§1 QUY TẮC CỘNG. QUY TẮC NHÂN. SƠ ĐỒ HÌNH CÂY
Khởi động
Chương trình 1
Có 4 địa điểm tham quan: khu Safari FLC, khu
du
lịch
Eo
gió,
khu
du
lịch
Kỳ
Co.
Tịnh
xá
Ngọc
.
Hòa (Hình 2)

Chương trình 2
Có 7 địa điểm tham quan: Biển Quy Nhơn, khu
du lịch Ghềnh Ráng Tiên Sa, Tháp đôi, đầm Thị
Nại, khu du lịch Cửa Biển, Suft Bar, nhà thờ
Làng Sống (Hình 3)

Có bao nhiêu cách chọn một địa điểm tham quan trong số các địa điểm
được giới thiệu trong hai địa điểm ở trên?

TOÁN THPT

§1

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

QUY TẮC CỘNG. QUY TẮC NHÂN. SƠ ĐỒ HÌNH CÂY

Khởi động

Gia đình bạn Thảo dự định đi du lịch từ Lào Cai đến Hà Nội bằng một
trong hai phương tiện: xa khách hoặc tàu hỏa. Sau đó, từ Hà Nội đi đến
Thành phố Hồ Chí Minh bằng một trong ba phương tiện: máy bay, tàu
hỏa, xe khách (Hình 4c)

.

Hỏi gia đình bạn Thảo có bao nhiêu cách lực chọn phương tiện để đi từ Lào
Cai đến Thành phố Hồ Chí Minh, qua Hà Nội?

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ
cách hàn thành.

II QUY TẮC NHÂN

Ghi nhớ
Một công việc được hòa thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu
hành động thứ nhất có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách thực
hiện hành động thứ nhất có n cách thực hiện hành động thứ hai
thì công việc đó có m.n cách hoàn thành.
mn

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

Trả lời

Vậy có 6 cách chọn lựa chọn phương tiện để đi từ Lào Cai đến Thành phố Hồ Chí Minh,
qua Hà nội.

TOÁN THPT

Câu hỏi

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

Phân biệt quy tắc cộng, quy tắc nhân

Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động.
Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp.

Vậy có tất cả
cách chọn hai địa điểm tham quan ở hai chương trình khác nhau.

TOÁN THPT

Ví dụ

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

Ví dụ 3: Trong hoạt động 1, nếu gia đình bạn Liên muốn chọn một địa điểm tham
quan trong chương trình 1, sau đó đi tham quan tiếp một địa điểm trong chương
trình hai thì có bao nhiêu cách chọn hai địa điểm trong ở hai chương trình khác nhau
để tham quan?

Việc chọn hai địa điểm ở hai chương trình khác nhau để tham quan là thực hiện hai hành
động liên tiếp: chọn một địa điểm trong chương trình 1, sau đó chọn một địa điểm trong
chương trình 2
+ Có 4 cách chọn địa điểm tham quan trong chương trình 1.
+ Với mỗi cách chọn một địa điểm tham quan trong chương trình 1 sẽ có 7cách chọn địa
điểm tham quan trong chương trình trình 2

Vậy có tất cả 4.7=28 cách chọn hai địa điểm tham quan ở hai chương trình khác nhau

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ
cách hàn thành.

II QUY TẮC NHÂN

Ghi nhớ
Một công việc được hoàn thành bởi ba hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực
hiện, ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất có n cách thực hiện hành động thứ hai , ứng
với mỗi cách thực hiện hành động thứ hai có p cách thực hiện hành động thứ ba thì công việc đó có
n.m.p cách hoàn thành
m



n

TOÁN THPT

Ví dụ

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

Ví dụ 4: Trong kinh doanh nhà hàng, combo là một hình thức gọi món theo thực đơn
được kết hợp từ nhiều món ăn và đồ uống. Nếu nhà hàng có 5 món rau, 4 món cá và
3 món thịt thì có bao nhiêu cách tạo ra một combo? Biết mỗi combo có đầy đủ 1
món rau, 1 món cá và 1 món thịt.

Để tạo một combo ta thực hiện ba hành động liên tiếp: Chọn một món rau, chọn 1 món cá,
chọn một món thịt.
+ Chọn một món rau: có 5 cách chọn.
+ Chọn một món cá: có 4 cách chọn
+ Chọn một món thịt: có 3 cách chọn.

Vậy có 5.4.3=60 cách tạo ra một combo.

TOÁN THPT

III

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

Sơ đồ hình cây

Hoạt động Quan sát sơ đồ̀ hình cây:

Có bao nhiêu cách chọn phương tiện
đi từ Lao Cai đến Thành Phố Hồ Chí
Minh, qua Hà Nội.

Trả lời

Có 6 cách chọn phương tiện đi từ Lao Cai đến Thành Phố Hồ Chí Minh,
qua Hà Nội.

TOÁN THPT

III

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

Sơ đồ hình cây

Ghi nhớ
Sơ đồ hình cây là sơ đồ bắt đầu tại một nút duy nhất với các nhánh tỏa ra các nút bổ sung.
Ta có thể sử dụng sơ đồ hình cây để đếm số cách hoàn thành một công việc khi công việc đó đòi
hỏi những hành động liên tiếp.

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

Ví dụ 5 Bạn Hương có 3 chiếc quần khác màu: xám, đen, nâu nhạt và 4 chiếc áo sơ mi

khác màu: hồng, vàng, xanh, tím. Hãy vẽ sơ đồ hình cây biểu thị số cách chọn:
a) 1 chiếc quần.
b) 1 chiếc áo sơ mi. c) 1 bộ quần áo.

Trả lời
Biểu thị số cách chọn bằng sơ đồ̀ hình cây:

TOÁN THPT

Ví dụ 6

Trả lời

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

Một khách sạn nhỏ chuẩn bị bữa ăn sáng gồm 2 món đồ uống là: trà và cà phê; 3
món ăn là: phở, bún và cháo; 2 món tráng miệng là: bánh ngọt và sữa chua.
a. Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị các cách chọn khẩu phần ăn gồm đủ ba loại: đồ uống,
món ăn và món tráng miệng.
b. Tính số cách khẩu phần ăn gồm: 1 đồ uống, 1 món ăn và 1 món tráng miêng.

TOÁN THPT

Ví dụ 7

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

Bạn Nam dự định đặt mật khẩu cho khóa vali là một số có ba chữ số được chọn ra từ
các chữ số 1, 2, 3, 4. Hỏi bạn Nam có bao nhiêu cách đặt mật khẩu?

Trả lời
Để đặt được một mật khẩu bạn Nam cần thực hiện ba hành động liên tiếp:
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 chọn một số cho vị trí đầu tiên, một số cho vị trí thứ hai , một số cho vị trí
thứ ba.
+ Chọn một số cho vị trí đầu tiên: Có 4 cách chọn.
+ Chọn một số cho vị trí thứ hai: Có 4 cách chọn.
+ Chọn một số cho vị trí thứ ba: Có 4 cách chọn
Vậy có 4.4.4=64 cách tạo ra một mật khẩu.

TOÁN THPT

IV

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

VẬN DỤNG TRONG BÀI TOÁN ĐẾM

Ví dụ 8 Cho 10 điểm phân biệt. Hỏi lập được bao nhiêu vectơ khác ? Biết rằng hai đầu
mút của mỗi vectơ là 2 trong 10 điểm đã cho

Trả lời
Việc lập vectơ là thực hiện 2 hành động liên tiếp: chọn điểm đầu và chọn điểm cuối.
+) Chọn điểm đầu có: 10 cách. Chọn điểm cuối: có 9 cách.
+) Nếu bỏ đi 1 hành động thì công việc không hoàn thành. Do đó sử dụng quy tắc nhân ta tìm
được: 10.9=90 vectơ thỏa mãn đề bài

TOÁN THPT

Ví dụ 9

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

Phân tích số 10125 ra thừa số nguyên tố rồi tìm số ước
nguyên dương của nó

Trả lời
4

3

10125 3 .5

Một ước nguyên dương của 10125 có dạng trong đó
Để tạo ra một ước nguyên dương của 10125 ta phải thực hiện liên tiếp 2 hành động là
chọn m và chọn n

Chọn số tự nhiên m thỏa mãn: => có 5 cách chọn
Chọn số tự nhiên n thỏa mãn: 3 => có 4 cách chọn
Vậy số ước nguyên dương của 10125 là 5.4=20 (số)

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

Ví dụ 10 Từ ba mảng dữ liệu A, B, C, máy tính tạo nên một thông tin đưa ra màn hình
cho người dùng bằng cách lần lượt lấy một dữ liệu từ A, một dữ liệu từ B và một
dữ liệu từ C. Giả sử A, B, C lần lượt chứa m, n, p dữ liệu. Hỏi máy tính có thể
tạo ra được bao nhiêu thông tin?
Trả lời
+) Việc máy tính tạo nên 1 thông tin cần thực hiện liên tiếp 3 hành động: chọn dữ liệu
từ A, chọn dữ liệu từ B và chọn dữ liệu từ C.
Chọn dữ liệu từ A: có m cách
Chọn dữ liệu từ B: có n cách
Chọn dữ liệu từ C: có p cách
Vậy số thông tin được tạo ra là: m.n.p

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

Ví dụ 11 Gia đình bạn Quân đặt mật mã của chiếc khóa coongt là một dãy số gồm bốn chữ số.
Hỏi có bao nhiêu cách đặt mật mã nếu:
a) Các chữ số có thể giống nhau?
b) Các chữ số phải đôi một khác nhau?
Trả lời

+) Việc đặt mật mã thực hiện 4 hành động liên tiếp: chọn số a,b,c,d.

a) Các chữ số có thể giống nhau
Chọn số a: có 10 cách (lấy từ bộ số từ 0 đến 9)
Chọn số b: có 10 cách
Chọn số c: có 10 cách
Chọn số d: có 10 cách
Vậy có 10.10.10.10=10000 cách đặt mật mã
mà các chữ số có thể giống nhau

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

Ví dụ 11 Gia đình bạn Quân đặt mật mã của chiếc khóa cổng là một dãy số gồm bốn chữ số.
Hỏi có bao nhiêu cách đặt mật mã nếu:
a) Các chữ số có thể giống nhau?
b) Các chữ số phải đôi một khác nhau?
Trả lời

+) Việc đặt mật mã thực hiện 4 hành động liên tiếp: chọn số a,b,c,d.

b) Các chữ số đôi một khác nhau
Chọn số a: có 10 cách (lấy từ bộ số từ 0 đến 9)
Chọn số b: có 9 cách (khác chữ số a đã chọn lúc đầu)
Chọn số c: có 8 cách (khác chữ số a và b đã chọn)
Chọn số d: có 7 cách (khác chữ số a,b,c đã chọn lúc đầu)
+) Nếu bỏ đi 1 hành động thì công việc không hoàn
thành. Do đó sử dụng quy tắc nhân ta tính được:
10.9.8.7=5040 cách đặt mật mã mà các chữ số đôi một
khác nhau.

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

Ví dụ 12 Cho kiểu gen AaBbDdEE.
a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử
b) Từ đó tính số loại giao tử của kiểu gen AaBbDdEE. Biết quá trình giảm phân tạo
giao tử bình thường, không xảy ra đột biến.
Trả lời

Việc hình thành giao tử cần thực hiện 4 hành động liên tiếp là
những hành động chọn cặp giao tử Aa; Bb, Dd, EE.
Chọn cặp giao tử Aa có 2 cách (giao tử chứa alen A hoặc alen a).
Chọn cặp giao tử Bb có 2 cách (giao tử chứa alen B hoặc alen b).
Chọn cặp giao tử Dd có 2 cách (giao tử chứa alen D hoặc alen d).
Chọn cặp giao tử EE có 1 cách (giao tử chứa alen E)
Vậy số loại giao tử là: 2.2.2.1=8 (loại giao tử)