THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ� THỊ
MỘT SỐ BÀI TOÁN
1. Giao điểm của hai đồ thị:
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C1).
M0(x0;y0) là giao điểm của (C) và (C1) khi và chỉ khi (x0;y0) là nghiệm của hệ:
Nếu x0, x1, . là nghiệm của (1) thỡ các điểm M0(x0; f(x0)) ; M1(x1; f(x1)) . là các giao điểm của (C) và (C1)
để xác định hoành độ giao điểm của (C) và (?) ta làm như thế nào?
Do đó để xác định hoành độ các giao điểm của (C) và (C1) ta giải PT:
f(x) = g(x) (1)
Ví dụ 1:
Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số:
và
PT hoành độ giao điểm của (C) và (?):
m ? 8: (2) có nghiệm duy nhất

Giải:
Nghiệm này khác - 2.
(do
vô lý)
Nếu m = 8: PT có dạng 0x - 19 = 0 (Vô nghiệm)
Vậy trong trường hợp này, (C) và (?) có một giao điểm là:
? (C) không cắt (?).
Ví dụ 2
a) Vẽ đồ thị hàm số : y = x3 + 3x2 - 4
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh:
x3 + 3x2 - 4 = m

Giải:
a) Ta có đồ thị (C) như hỡnh vẽ
b) Số nghiệm của phương trỡnh (*) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): y=m.
Số giao điểm của (C) và (d) tuỳ theo m?
Kết luận:

? (*) có 1 nghiệm

+
+
m = 0
m = - 4
? (*) có 2 nghiệm
+
- 4 < m < 0
? (*) có 3 nghiệm
m > 0
m < - 4
để biện luận số nghiệm của PT: F(x,m)=0(*) dựa vào đồ thị (C) có PT y = f(x).
Ta biến đổi (*) ? f(x) = g(m).
Sau đó biện luận số giao điểm của (C) với đường thẳng y = g(m).
Từ đó rút ra kết luận.
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị tương ứng là (C) và (C`)
(C ) và (C`) tiếp xúc với nhau nếu và chỉ nếu tại tiếp điểm chúng có cùng một tiếp tuyến
f(x) = g(x)
f`(x) = g`(x)
? hệ PT sau có nghiệm :
2. Sự tiếp xúc của hai đường cong:
Ví dụ 3:
CMR: du?ng cong y=x3-x ti?p xỳc v?i Parabol y=x2-1 t?i m?t di?m n�o dú.
Xỏc d?nh ti?p di?m v� vi?t phuong trỡnh ti?p tuy?n chung t?i di?m dú.
Ví dụ 4:
CMR: du?ng th?ng y=px+q l� ti?p tuy?n c?a Parabol y=ax2+bx+c khi v� ch? khi phuong trỡnh:
ax2+bx+c=px+q
hay phuong trỡnh ax2+(b-p)x+c-q=0 cú nghi?m kộp, t?c l� ?=(b-p)2-4a(c-q)=0
Chú ý:
Có thể áp dụng VD4 để xét sự tiếp xúc của đường thẳng với Parabol,
V?n d? 1 : Viết phương trỡnh tiếp tuyến
Cho hàm số y = f(x). Gọi (C) là đồ thị, viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) biết :
Trường hợp 1 : Tiếp tuyến tại M0(x0 ; y0) ? (C)
Giải :
Phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại M0(x0 ; y0) là :
y - y0 = f ’ (x0) (x - x0)
+ x0 ? y0 ; f`(x0)
+ y0 ? x0 ; f`(x0)
+ f`(x0) ? x0 ; y0
x0
y0
M0
Trường hợp 2:
Tiếp tuyến đi qua điểm M1(x1; y1 )
Giải:
- Dường thẳng d đi qua điểm M1(x1; y1) và có hệ số góc k có phương trỡnh :
y- y1 = k(x - x1)
? y = k (x- x1) + y1
- Dể cho d là tiếp tuyến của
(C), hệ sau phải có nghiệm :

f(x) = k(x- x1) + y1
f ’(x) = k
x1
y1
M1
Giải hệ ta sẽ có x0 ? k = f`(x0)
Trường hợp 3:
Tiếp tuyến có hệ số góc là k
Giải:
Giải phương trỡnh :

Hoành độ các tiếp điểm x0, x1, ...
? PTTT có dạng:
f`(x) = k
?
y - yi = k(x - xi) (i = 0, 1, ...)
Ví dụ 3. Cho đường cong (C): y = x3 . Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đường cong đó :
a) Tại điểm (1 ; 1)
b) Tiếp tuyến đi qua điểm (1; 1)
c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
Giải:
Ta có: y`= 3x2
a) y` (1) = 3 ? Phương trỡnh tiếp tuyến cần tìm là :
y - 1 = 3(x - 1) ? y = 3x - 2
b) PTđT (d) với hệ số góc k qua (1; 1) có dạng:
y = k(x - 1) + 1
x = -1 ? PTTT: y = 3x +2
để (d) là tiếp tuyến của (C) thì hệ sau có nghiệm:
x = 1 ? k = 3 ? PTTT: y = 3x +2
b) Phương trỡnh hoành độ tiếp điểm: 3x2 = 3 ? x = ? 1
x = 1 ? y(1) = 1 ? PTTT: y - 1 = 3(x - 1 ) ? y = 3x - 2
V?n d? 2: đồ thị chứa giá trị tuyệt đối
Ví dụ 4
Vẽ đths
, từ đó suy ra đồ thị:
y? + 0 ? ? 0 +
x ?? 0 1 2 +?
y ? 3 +? +?
?? ?? 1
đồ thị (C): y = f(x)
Bảng BT:
đồ thị:
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
đồ thị (C1): y = |f(x)|
đồ thị (C1) là đường màu đỏ .
Nó được suy ra từ (C) bằng cách:
- Gi? nguyên phần đồ thị phía trên Ox
- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị phía dưới.
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
đồ thị (C2): y = f(|x|)
đồ thị (C2) là đường màu đỏ .
Nó được suy ra từ (C) bằng cách:
- Gi? nguyên phần đồ thị bên phải Oy
- Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị vừa vẽ.
đồ thị (C3)
đồ thị (C2) là đường màu đỏ .
Nó được suy ra từ (C) bằng cách:
- Gi? nguyên phần đồ thị bên phải Tcđ
- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị bên trái Tcđ