Dạng 1. Chứng minh các bài toán liên quan đến góc – độ dài đoạn thẳng
1. 1 Phương pháp
1.2 Một số ví dụ
Bài 1. (Đề thi Olympic Belarus) Cho hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD cắt nhau tại M. Đường phân giác của góc ACD cắt tia BA ở K. Nếu
thì
.




Bài 2. (Đề thi Olympic Belarus) Cho tam giác ABC vuông tại C, gọi M là trung điểm của cạnh huyền AB, H là chân đường cao hạ từ C và P là điểm trong tam giác sao cho
. Hãy chứng minh rằng PM là phân giác góc
khi và chỉ khi









Bài 3. (Đề thi Olympic Italia) Cho tứ giác lồi ABCD với
. Giả thiết rằng

. Chứng minh rằng






Bài 4. (Đề thi Olympic Mông Cổ) Đường phân giác của các góc A, B, C của tam giác ABC cắt các cạnh của tam giác tại A1, B1, C1 sao cho tứ giác BA1B1C1 nội tiếp. Chứng minh rằng





Bài 5. (Đề thi Olympic Rumani) Cho tam giác nhọn ABC và điểm M là trung điểm của BC. Tồn tại duy nhất 1 điểm N nằm ở miền trong tam giác ABC sao cho
. Chứng minh rằng



Bài 6. (Đề thi Olympic Thổ Nhĩ Kỳ) Cho 1 vòng tròn tâm O, 2 đường tiệm cận xuất phát từ điểm S nằm bên ngoài đường tròn có tiếp điểm là P, Q. Đường thẳng SO giao với đường tròn tại A, B với B gần S hơn A. Cho X là một điểm nằm trong cung nhỏ PB và đường SO giao với các đường QX và PX lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng







Bài 7. (Đề thi Olympic Thổ Nhĩ Kỳ) Cho tam giác ABC, các đường phân giác trong và ngoài của góc A lần lượt cắt đường thẳng BC tại D và E. Cho F là giao điểm thứ hai (khác A) của AC với đường tròn w có đường kính DE. Vẽ tiếp tuyến tại A với đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABF và giao với đường tròn w tại A và G. Chứng minh rằng
.






Bài 8. (Đề thi Olympic Canada) Cho O là một điểm nằm trong hình bình hành ABCD sao cho
. Chứng minh rằng
.


Bài 9. (Đề thi Olympic Đức) Một hình vuông Sa nội tiếp một tam giác nhọn ABC với 2 đỉnh nằm trên cạnh BC và 1 đỉnh nằm trên cạnh AB, 1 đỉnh nằm trên cạnh AC. Các hình vuông Sb, Sc được xây dựng tương tự. Với những trường hợp nào của tam giác ABC thì các hình vuông Sa, Sb, Sc là bằng nhau.




1.3 Bài tập áp dụng
Bài 10. (China – 1988) (p 48) ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm O, bán kính R. Các tia AB, BC, CD, DA cắt đường tròn tâm O bán kinh 2R lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng
. Khi nào đẳng thức được nghiệm đúng?
Bài 11. (China – 1995) (p 78) Cho 2 tia OA, OB trong mặt phẳng và P là điểm nằm giữa 2 tia này. Hãy xác định điểm X nằm trên tia OA sao cho nếu XP kéo dài cắt OB tại Y thì tích XP.PY có giá trị nhỏ nhất.
Bài 12. (China – 1996) (p 84) Trong tam giác ABC có
. Tìm giá trị bé nhất của độ dài cạnh lớn nhất của tam giác nội tiếp trong ABC (tức là tam giác có 3 đỉnh nằm trên 3 cạnh khác nhau của tam giác ABC.
Bài 13. (China – 2001) (p 91) ABCD là tứ giác nội tiếp. Tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trong ABCD. Cạnh ngắn nhất có độ dài bằng
và cạnh dài nhất có độ dài bằng t với
. Các tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại A’, các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại B’, các tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại C’ và các tiếp tuyến tại D và A cắt nhau tại D’. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của
.
Bài 14. (Bắc Kinh – 1964)(p105) Trong tam giác ABC có góc A không nhọn, người ta dựng hình vuông nội tiếp B1C1DE (cạnh DE nằm trên đoạn BC, còn các đỉnh B1, C1 lần lượt nằm trên đoạn AB và AC). Tiếp theo, từ tam giác AB1C1, lại dựng hình vuông B2C2D1E1 nội tiếp tam giác đó (dựng như hình vuông ban đầu). Quá trình dựng như trên được thực hiện một vài lần. Chứng minh rằng, tổng diện tích tất cả các hình vuông nội tiếp trong tam giác bé hơn nửa diện tích tam giác ABC.