Chào mừng các thầy giáo, cô giáo
và các em học sinh
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y = x3 + 3x2 - 4
Kiểm tra bài cũ:
Bac3
maykien
Tiết 19: Một số bài toán thường gặp về đồ thị

* Giao điểm của hai đồ thị
* Sự tiếp xúc của hai đường cong
1) giao điểm của hai đồ thị.
Giả sử hàm số y= f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y=g(x) có đồ thị là (C1) . Hãy tìm các giao điểm của (C)và (C1).
Giải :
M0(x0 ;y0) là giao điểm của (C) và (C1) khi và chỉ khi (x0 ;y0) là nghiệm của hệ
Do đó để tìm hoành độ các giao điểm của (C) và (C1) ta giải phương trình:
f(x) = g(x) (1)
Nếu x0, x1.là nghiệm của (1) thì các điểm M0(x0; f(x0)) ; M1(x1; f(x1)) .là các giao điểm của (C) và (C1)
Nhận xét:
*Toạ độ giao điểm của (C) và (C1) là nghiệm của hệ phương trình:
Do đó ta có 2 loại bài toán
1/ Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x)
2/ Dựa vào số nghiệm của phương trình f(x) = g(x)
biện luận số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x)
*Hoành độ giao điểm của (C) và (C1) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x)
*Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) bằng số giao điểm của (C) và (C1).
Ví dụ 1:
Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình : x3 + 3x2 - 4 = m (*) theo m

Giải:
Ta có đồ thị sau (C)
Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): y = m
Hbac 3
May kien
Kết luận :

? d và (C) có 1 gđ ? (*) có 1 nghiệm

+
+
m = 0
m = - 4
? d và (C) có 2 gđ ? (*) có 2 nghiệm
+
- 4 < m < 0
m > 0
m < -4
? d và (C) có 3 gđ ? (*) có 3 nghiệm
Ví dụ 2 : Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các
hàm số


d: y= x- m và (C):
Giải :
Xét phương trình :
(x ? - 2 )
? x2 - 6x + 3 = (x - m)(x + 2) (x ? - 2 )
? x2 - 6x + 3 = x2+ (2 - m)x - 2m (x ? - 2 )
? (8 - m)x - 3 - 2m = 0 (2) (x ? - 2 )
Biện luận
* m = 8:
(2) có dạng 0x - 19 = 0
? (2) vô nghiệm
? ( d ) và (C) không có giao điểm
* m ? 8 :
phương trình (2) có nghiệm duy nhất

nếu

3 + 2m = -16 + 2m
3 = -16 (vô lý )
Vậy trong trường hợp này ( d ) và (C) có một giao điểm có toạ độ là (x;y) với :
( 8 - m ) x -2m -3 = 0 ( 2 )
II. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG
y=g(x) và y=f(x) tiếp xúc
nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó
có nghiệm
VD3: CMR hai đường cong
và
tiếp xúc với nhau tại một điểm nào đó. Xác định tiếp điểm
và viết pttt chung của hai đường cong tại điểm đó.
Giải:
Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là
nghiệm của hệ pt:
Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc với nhau tại điểm M(1/2;-5/4)
Pttt chung : y=2x-9/4
VD3
maykien
H2: CMR đường cong
tiếp xúc với parabol
tại một điểm nào đó.
Xác định tiếp điểm
và viết pttt chung của hai đường cong tại điểm đó.
Giải
Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là
nghiệm của hệ pt:
Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc với nhau tại điểm M(1;0)
Pttt chung : y=y’(1)(x-1) hay y=2(x-1)
H2
maykien
VD4: CMR đường thẳng y=px+q là tiếp tuyến của parabol
khi và chỉ khi pt
có nghiệm kép
CM: Đường thẳng và parabol tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ pt sau có nghiệm:
*) Nếu đường thẳng tx với (P) thì hệ pt trên có nghiệm.Giả sử
là một nghiệm của hệ.
Từ (2) có
Thay vào (1),ta được
*) Nếu pt (1) có nghiệm kép
thì
Hiển nhiên
cũng là nghiệm của pt (2).
Vậy hệ pt trên có nghiệm.
Do đó đường thẳng là tiếp tuyến của parabol.
Chú ý: Có thể áp dụng VD4 để xét sự tiếp xúc của
đường thẳng và parabol
Củng cố:
1) Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x)
2) Dựa vào số nghiệm của phương trình f(x) = g(x)
biện luận số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x)
Bài tập về nhà: bài 57, 58, 62, 63 và 65. Trang 55, 56, 57 SGK
3) Điều kiện tiếp xúc của hai đường cong.
4) Viết pt của đường thẳng đi qua điểm A(1;-2) và tiếp xúc với parabol
ĐS: y = 2x – 4 và y = -2x
xin trân trọng cám ơn
Các thầy cô và các em