Theo chương trình thay sách – giáo khoa năm đầu tiên 2009
1) Đề thi và lời binh Đại học môn Toán khối A ngày 4 /7 /2009
Biên soạn : Phạm Quốc Khánh
I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7 điểm)
Câu 1 : (2 điểm) Cho hàm số
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1) , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại 2 điểm A , B và tam giác OAB cân có đỉnh tại O .
Lời bình
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (1) của hàm số đã cho
. MXĐ : D = R{-3/2}
. y’
< 0 x ≠ -3/2 nên hàm số luôn nghịch biến trên D .
 x = -3/2 là tiệm cận đứng
 y = 1/2 là tiệm cận ngang
. Bảng biến thiên :
x
y’
y
-
-3/2
+
─
─
1/2
-
+
1/2+
Giao điểm với trục tọa độ :
. Đồ thị:
o
-2
x
y
2/3
2) Viết phương trình tiếp tuyến
. Vì OAB cân tại O nên tt song song với y = ± 1 nên Hệ số góc của tiếp tuyến tại xo là :
. Vậy phương trình tiếp tuyến với © : y – y0 = y’ (x – x0)
Câu 2 : (2 điểm)
1 ) Giải phương trình :
2 ) Giải phương trình :
Giải
1) Giải phương trình :
. Đk :
2) Giải phương trình :
. Đk : 6 – 5x ≥ 0
. Đặt
và
Thay vô phương trình :
Câu 3: (1 điểm) Tính tích phân :
Giải
. Đặt t = sinx  dt = cosx.dx
. Vậy
Câu 4: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D ; AB = AD = 2a ; CD = a , góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 609 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD . Biết 2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
Giải
S
A
B
D
\
\
2a
2a
a
C
I
E
600
. Thể tích VS.ABCD
. Vì (SBI)(SCI) = SI và vuông góc với (ABCD) nên SI (ABCD)
 SI = IE tg600
. Gọi F trung điểm BC
F
. Kẻ CH IF
H
 CH = ID = a
. Vậy 
. CF2 = HC2 + HF2 
. Do đó V
Câu 5: (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x ; y ; z thõa mãn
x.(x + y + z) = 3yz Ta có :
Giải
. Bất đẳng thức đã cho chia 2 vế cho x3 Ta có :
. Từ x(x + y + z) = 3 yz
. Đặt :
Ta có :
Điều này xảy ra với mọi t ≥ 2  đpcm .
Gọi z1 ; z2 là 2 nghiệm phức của phương trình : z2 + 2 z + 10 = 0 .
Tính giá trị của biểu thức :
II - PHẦN RIÊNG ( 3 điểm)
Câu 6a : (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD
Có điểm I(6 ; 2) là giao của 2 đường chéo AC và BD . Điểm M(1 ;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng  : x + y – 5 = 0 .Viết phương trình đường thẳng AB .
1. Chương trình chuẩn :
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng
(P) : 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z - 11 = 0 Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn . Xác định tọa độ tâm và bán kính đường tròn đó .
Giải
Câu 6a : (2 điểm)
1) Viết phương trình đường thẳng AB .
Câu 7a : (1 điểm) :
A
B
C
D
I
M
E

. E   E ( n; 5 – n)
F
. Gọi F trung điểm AB
2) Tọa độ tâm và bán kính đường tròn .
. Tâm cầu và bán kính cầu I(1;2;3) R = 5
. Tính khoảng cách từ I đến mp (P) :
 mp(P) cắt mặt cầu theo 1 hình tròn .
. Pt đt qua I vuông góc với (P) :
Giao   (P) = T là tâm tròn
. T (P)  2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – 3 + t – 4 = 0  t = 1
 T(3 ; 0 ; 2)
. Bán kính tròn r =
2. Chương trình nâng cao :
Câu 6b : (2 điểm) 1) Trong hệ Oxy , cho đường tròn © và đường thẳng có ptr :
Với m là tham số thực . Gọi I là tâm đường tròn © . Tìm m để  cắt © tại 2 điểm phân biệt A ; B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất .
2) Trong không gian với hệ Oxyz . Cho mp (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 và 2 đthẳng :
Câu 7b : (1 điểm) Giải hệ phương trình :
Xác định tọa độ điểm M  1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mp(P) là bằng nhau .
Câu 7a : (1 điểm) :
. Tính A =
Câu 6b (2 điểm)
1) Tìm m ?
. © : x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 có tâm I(-2 ; -2) và bán kính R =
. Theo bài ra có AIB :
I

A
B
H
. Vậy diện tích AIB lớn nhất khi sin AIB = 1 hay :
AIB vuông tại I và có :
2) Tìm tọa độ điểm M ?
. Xét :
. Ta có :
Vậy có :
Câu 7b : (1 điểm) Giải hệ phương trình :
. Đk x > 0 ; y > 0