Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
Bài 1. NGUYÊN HÀM
Chương III
Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:
s = f(t) (f(t) là một hàm số có đạo hàm) thì vận tốc tức thời của
chất điểm tại thời điểm
Giới thiệu bài toán
Trong thực tế, nhiều khi ta giải bài toán ngược lại: biết vận tốc v(t),
tìm phương trình s = f(t) của chuyển động. Tức là tìm hàm số
s = f(t) khi biết đạo hàm f’(t) của nó.
Khởi động
Câu hỏi 1:
Tìm đạo hàm của các hàm số:
Nhận xét:Cả ba hàm số đã cho có cùng đạo hàm.
Khởi động
Câu hỏi 2:
Nhận xét: Có vô số hàm số thỏa mãn yêu cầu của câu hỏi 2.
Các hàm số đó gọi là các nguyên hàm của hàm số f(x).
I.Định nghĩa
- Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu: x(a; b) ta có: F’(x) = f(x).
Câu 1: Hàm số nào dưới đây có đạo hàm là hàm số:
A.
B.
C.
D.
Câu 2. Hàm số nào dưới
đây có đạo hàm là hàm
số:
A.
B.
.
.
C.
D.
II.Định lí
Định lí 1. Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số cũng là một nguyên hàm của trên K.
Định lí 2. Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên K thì mọi nguyên hàm của trên K đều có dạng , với C là một hằng số.
Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên K thì là họ tất cả các nguyên hàm của trên K.
Kí hiệu:
Định lí 3
Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Từ đây yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của hàm số đó.
III.BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Dựa vào bảng các đạo hàm, tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
Một số ví dụ:
Ví dụ 2: Dựa vào bảng các đạo hàm, tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
Một số ví dụ:
Ví dụ 3:
TÌM TÒI, MỞ RỘNG
Nguyên hàm có ý nghĩa quan trọng vì chúng được dùng để tính toán các tích phân. Mà tích phân thì lại giúp giải rất nhiều bài toán thực tế. Ví dụ như tính diện tích của một cánh cổng hình parabol, tính thể tích của cái trống….
Tất cả các nguyên hàm của một hàm f cho trước còn được gọi là tích phân bất định của f và được ký hiệu bằng dấu tích phân không có các cận.
Dấu do Leibniz dùng để kí hiệu tích phân, là chữ S kéo dài theo lối cổ, chỉ chữ cái đầu của chữ sum - tính tổng.