Hoạt động 1: Mở đầu
Câu 1: Tính

 x.s inx '.

Từ kết quả đó tìm

Câu 2: Dựa vào kết quả trên tìm

x.cosx

x.cosx.dx

Câu 3: Em có nhận xét gì về các nguyên hàm xuất hiện trong kết
quả tìm được ?

Trả lời:
Câu 1:
Câu 2:

 x.s inx ' ( x )'.sin x+x.(sinx)'=sinx+x.cosx
 x.cosx=  x.s inx ' s inx
x cos x.dx ( x sin x )' s inx .dx
( x sin x )'.dx  s inx.dx  x sin x  (  cosx) + C

= x sin x  cosx + C

Câu 3: Các nguyên hàm áp dụng tính chất và bảng nguyên hàm cơ
bản là tìm được.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG
TRƯỜNG THPT CHIÊM HÓA
TIẾT THEO PPCT 42:

GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN: PHAN TRỌNG TIỆP

Hoạt động 2: Hình thành kiến thức
Câu 1: Tính

u( x ).v(x) '.

Từ kết quả đó tìm u(x).v'(x)
Câu 2: Dựa vào kết quả trên tìm
Câu 3: Vì v'(x).dx=dv và

u(x).v'(x) .dx

u'(x).dx=du

Nên có thể viết tóm tắt đẳng thức tìm được như thế nào?
Câu 4: Để tính nguyên nguyên hàm theo phương pháp từng phần
ta cần lưu ý gì?

II

Phương pháp tính nguyên hàm:

2

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:

ĐỊNH LÝ 2

Nếu và là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì.

u( x ).v '( x ).dx u( x ).v( x )  v( x ).u '( x ).dx
Chú ý

Vì

udv uv  vdu

Đó là công thức tính nguyên hàm từng phần.

Ví dụ 1:
Giải:

a) Đặt

Tính

a) x.cosx.dx

u  x
du dx
 

v s inx
dv cosx.dx

Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần. Ta có:

x.cosx.dx x.sin x  sin x.dx x.sin x  ( cos x )  C

 x.sin x  cos x  C
Tổng quát:



Tính u(x).v'(x) .dx bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:

u u( x )
du u '( x ).dx
Bước 1: Đặt 
 
dv

v
'(
x
).dx

v v( x )
Bước 2: Thay vào công thức



udv uv  vdu

Bước 3: Tính tiếp vdu ta được kết quả.

Hoạt động 3: Luyện tập
Ví dụ 1: Tính
Giải:

b) Đặt

b) x.e x .dx

c) lnx.dx

du dx
u  x
 

x
x
v

e

dv e .dx

x
x
x
x
x
x
.
e
.
dx

x
.
e

e
.
dx

x
.
e

e
C
Khi đó ta có: 

1

du  .dx
du (ln x )'.dx
u

ln
x


c) Đặt 
 

x
v  x
v  x
dv dx
Khi đó ta có:
1
ln x.dx ln x .x  x. x .dx 
 x.ln x  dx
 x.ln x  x  C

Hoạt động 4: Tìm tòi-Mở rộng
Cho P(x) là đa thức của x. Từ ví dụ 1 hãy lập bảng theo mẫu dưới
đây và điền u và dv thích hợp vào ô trống tương ứng cột theo
phương pháp nguyên hàm từng phần. Sau đó tìm tiếp du và v để
hoàn thiện bảng đó
x
P
(
x
).
e
.dx


P( x ).cosx.dx

u

P( x )

P( x )

dv

e x .dx

cosx.dx

du

P '( x ).dx

P '( x ).dx

v

ex

s inx

P( x ).lnx.dx
lnx
P( x ).dx
1
.dx
x

Nguyên hàm của P( x )

Hoạt động 4: Tìm tòi- Mở rộng
Cho P(x) là đa thức của x.
Tương tự như hoạt động 4 các em hoàn thành bảng sau:
ax  b
P
(
x
).
e
.dx P( x ).cos(ax  b).dx


P( x )

u
dv

e

ax  b

.dx

P( x ).ln(ax  b).dx

P( x )

ln(ax  b)

cos(ax  b).dx

P( x ).dx

du

P '( x ).dx

P '( x ).dx

v

1 ax b
e
a

1
sin(ax  b)
a

(ax  b)'
.dx
ax  b

Nguyên hàm của P( x )

Chú ý: Đặt u(x) theo thứ tự ưu tiên sau: “Nhất lôga - nhì đa - tam
lượng - tứ mũ” và dv là phần còn lại

Ví dụ 2: Tính I = xe3 x dx
u  x

Giải: Đặt 
3x
dv e dx

 du dx

1 3x

v e

3


Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần. Ta có:
 1 3x 
I  x.  e  
3


1 3x
1 3x  1

3x
e
dx

x
.
e

e
dx


3

3
 3

1
1 1 3x
1
1 3x
3x
3x
 x.e  . e  C  x.e  e  C
3
9
3
3 3

§1. NGUYÊN HÀM
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
*
CÂU 1

Công thức nào sau đây là công thức tính nguyên
hàm từng phần:

A

C

udv uv vdu.

B

udv uv  vdu.

udv  uv vdu.

D

udv  uv  vdu.

Bài giải
Công thức tính nguyên hàm từng phần là :

udv uv  vdu.

§1. NGUYÊN HÀM
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
*
CÂU 2

Để tính

P( x ).lnx.dx

bằng phương pháp

nguyên hàm từng phần bước 1 ta đặt như thế

P ( x )
unào:
Đặt
A


B

C

D

dv ln x.dx
u ln x
Đặt 
dv P ( x ).dx

Bài giải

u ln x
Đặt 
dv P ( x ).dx

u P( x ).ln x
Đặt 
dv dx
u ln x.dx
Đặt 
dv P( x )

§1. NGUYÊN HÀM
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
*
CÂU
3

u  x
ta đặt

dv sin(2 x ).dx

x sin(2 x )dx

Để tính

Khi đó ta có:

A

du dx

v  cos(2 x )

B

C

du dx

v cos(2 x )

D

du dx


1
v  2 cos(2 x )
du dx


1
v  2 cos(2 x )

§1. NGUYÊN HÀM
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
*
CÂU
4

A
C

2 x
x
 e dx

Để tính
đó ta có:

u  x 2
ta đặt

x
dv e dx

Khi

2 x
2 x
x
x
e
dx

x
e

2
xe

 dx.

B

2 x
2 x
x 2
x
e
dx

x
e

e

 x dx.

2 x
2 x
x
x
e
dx

x
e

xe

 dx.

D

2 x
2 x
x
x
e
dx

x
e

2
xe

 dx.

Bài giải

Đặt
Khi đó ta có:

u  x 2

x
dv

e
dx


du 2 x.dx
 
x
v

e


2 x
2 x
x
2 x
x
e
dx

x
e

e
.2
xdx

x
e 



x
2
xe
 dx

- Bài tập 4 (SGK-Trang 101)
- Bài tập 5 ý c (SGK-Trang 127) (Ôn tập chương III)
- Bài tập 6 ý g (SGK-Trang 127) (Ôn tập chương III)
- Tính tiếp các nguyên hàm trong Câu 3 và Câu 4.