CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1: NGUYÊN HÀM
1./ Khái niệm nguyên hàm
Bài 1: NGUYÊN HÀM
2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp
3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
VD: Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu
a) f(x) = 2x
b) f(x) = cosx
Giải :
a)Ta có
nên F(x) =
b) Ta thấy
nên F(x) = sinx
khi đó ta nói F(x) là nguyên hàm của f(x)
1./ Khái niệm nguyên hàm
Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hay đoạn hay nửa khoảng. Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
Câu hỏi :
1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số nào ?
2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số nào ?
Trả lời :
1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số y=

2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số y =
1./ Khái niệm nguyên hàm
Chú ý:
Trong trường hợp K = [a;b], các đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) được hiểu là

hay

Cho hai hàm số f và F liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu F là nguyên hàm của f trên (a;b) thì có thể chứng minh được rằng
F’(a) = f(a) và F’(b) = f(b)
Do đó F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a;b].
1./ Khái niệm nguyên hàm
ĐỊNH LÝ 1
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G(x) của hàm số f trên cũng tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.
1./ Khái niệm nguyên hàm
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì họ nguyên hàm của f(x) là F(x) + C và kí hiệu là

trong đó f(x)dx là vi phân của F(x).
Ký hiệu trên còn dùng chỉ một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f

1./ Khái niệm nguyên hàm
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp
2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp
Định lý 2: Nếu f,g là hai hàm số liên tục trên K , với a là số thực khác 0 thì:
3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
Chú ý:
Chú ý:
3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
Hỏi nhanh: mệnh đề nào sau đây sai:
Ví dụ 1: tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải
Vậy
Ví dụ 2: tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải
Vậy
Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải
Vậy
Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải
Bảng các nguyên hàm mở rộng
Vậy
Ví dụ 4: tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải
Vậy
Ví dụ 5: tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải
Xét
Ví dụ 6: tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải
Xét
Ta có
Cho x=0 thì a=1 , x=-1 thì c=-1 , x=1 thì b=-1
Do đó
Ví dụ 7: tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải