ÔN TẬP
Phương trình & bất pt bậc hai
Phương trình ax2 + bx + c = 0 (1)
-c
a = 0 thì (1)  bx + c = 0  x = ―
b
a ≠ 0 thì (1) coù Δ = b2 – 4ac
Δ < 0  pt voâ nghieäm
-b
Δ = 0  pt coù nghieäm keùp: x = ―
2a
-b ± √Δ
Δ > 0  pt coù 2 nghieäm: x1,2 = ――― 2a
Hoặc ?` = b`2 - ac
Δ’ < 0  pt voâ nghieäm

Δ’ = 0  pt coù nghieäm keùp :

-b’
x = ―
a

Δ > 0  pt coù 2 nghieäm : -b’ ± √ Δ’
x1,2 = ―――
a
Hệ thức Viet
Ptrình ax2 + bx + c = 0 (a ? 0) có 2 nghiệm x1,x2 thì:
Phương trình & bất pt bậc hai
S = x1 + x2 =
P = x1x2 =
Nếu
x + y = S
xy = P
thì x,y là nghiệm pt: t2 - St + P = 0
Bài tập 1
Giải và biện luận phương trình:
Giải
a = 0  m+2 = 0  m = -2 thì (1)  -2x - 3 = 0  x = -
a ≠ 0  m+2 ≠ 0  m ≠ - 2 thì (1) coù
= 5m + 11
Phương trình ax2 + bx + c = 0
= [-(m+3)]2 - (m+2)(m-1)
(m+2)x2 - 2(m+3)x + m - 1 = 0 (1) (m: tham số)
Δ’= b’2 – ac
Phương trình ax2 + bx + c = 0
Bài tập 1 (tt)
Δ’ < 0  5m+11 < 0
Δ’ = 0  5m+11= 0
- 4
? m <
thì (1) vô nghiệm
? m =
thì (1) nghiệm kép
x =
=
=
Δ’ > 0  5m+11 > 0
? m >
thì (1) có 2 nghiệm pb
-b` � ? ?`
x1,2 = ???
a

=
(m+3) � ?5m+11
m+2
Bài tập 1 (tt)
Tóm lại:
m = -2 thì (1) có nghiệm x = -
m <
m =
m >
Phương trình ax2 + bx + c = 0
thì (1) vô nghiệm
thì (1) có nghiệm kép x = - 4
và m ? -2 thì (1) có 2 nghiệm
-b` � ? ?`
x1,2 = ???
a

=
(m+3) � ?5m+11
m+2
Bài tập 2
Cho pt: x2 - 2(m+1)x + m2 - 3 = 0 (2) (m: tham số)
Định m để phương trình có nghiệm kép? Tính nghiệm kép đó
Định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa
x12 + x22 = 13 + x1x2
Giải
?` = b`2- ac
Nghiệm kép x =
= m + 1
Hệ Thức VIET
Phương trình có nghiệm kép
a ? 0
Δ’ = 0
1 ? 0 (hiển nhiên)
2m+4 = 0
m= -2
= -2 + 1 = -1
= [-(m+1)]2 - (m2-3)
= 2m + 4
Pt có 2 nghiệm pb x1, x2
 m > -2 (1)
Do đó:
x12 + x22 = 13 + x1x2
? S2 - 2P = 13 + P
? S2 + 3P - 13 = 0
? [2(m+1)]2 + 3(m2-3) - 13 = 0
? m2 +8m = 0
? m(m +8) = 0
? m = 0 V m = -8 (2)
Từ (1) và (2)
Bài tập 2 (tt)
Hệ Thức VIET
Theo hệ thức Viet:
? ?` > 0
? 2m + 4 > 0
S = x1 + x2
P = x1x2
=
=
= 2 (m+1)
= m2 - 3
m = 0
f(x) = ax2 + bx + c (a ? 0)
Dấu của Tam thức bậc hai:
Δ = b2 – 4ac
Δ < 0
Δ = 0
Δ > 0
x
f(x)
-∞
x1
x2
+∞
0
0
cùng dấu a
cùng dấu a
trái dấu a
Phương trình & bất pt bậc hai
f(x) cùng dấu a
x
R
f(x) cùng dấu a
x
?
ptrình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1 < x2
ta có bảng xét dấu:
Bài tập 3
Dấu Tam thức bậc 2: f(x) = ax2+bx+c
Cho f(x) = (m-1)x2 + 2(m+1)x + m - 2 = 0
Định m để pt f(x) = 0 có 2 nghiệm trái dấu?
Định m để f(x) < 0
Giải
a)
f(x) = 0 ? (m-1)x2 + 2(m+1)x + m - 2 = 0
.P = x1x2 =
Pt có 2 nghiệm trái dấu ? P < 0
?
Đặt g(m) =
Bảng xét dấu:
m
g(m)
-∞
+∞
1
2
0
+
_
+
g(m) < 0 ? 1 < m < 2
< 0
. Các nhị thức có nghiệm m = 2, m = 1
x
R
=
Dấu Tam thức bậc 2 : f(x) = ax2+bx+c
Bài tập 3 (tt)
b )
f(x) < 0
m <
x
R
a < 0
?` < 0
m - 1 < 0
(m+1)2 - (m -1)(m - 2) < 0
m < 1
5m - 1 < 0
m < 1
m <
Dấu Tam thức bậc 2 : f(x) = ax2+bx+c
Bài tập 4
Cho pt 2x2 - (3m+1)x + m2 + m - 2 = 0 (*)
Chứng tỏ pt luôn có 2 nghiệm phân biệt?
Định m để pt có 2 nghiệm cùng âm
Giải
a)
Δ = b2 – 4ac
= [-(3m+1)]2 - 4.2(m2+m-2)
= m2 - 2m + 1 + 16
= (m-1)2 + 16 > 0
m
R
Vậy pt (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt
m
R
Dấu Tam thức bậc 2 : f(x) = ax2+bx+c
Bài tập 4 (tt)
Pt có 2 nghiệm
cùng âm
Δ > 0
S < 0
P > 0
(m-1)2 + 16 > 0 (hiển nhiên)
< 0
m2 + m - 2
2
> 0
3m + 1 < 0 (1)
m2 + m - 2 > 0 (2)
(I)
Dấu Tam thức bậc 2: f(x) = ax2+bx+c
Bài tập 4b (tt)
Giải (1)
3m + 1 < 0
m <
Giải (2)
m2 + m - 2 > 0
Đặt f(m) = m2 + m - 2 có nghiệm m = 1, m = -2
Bảng xét dấu:
m
f(m)
-∞
+∞
-2
1
0
0
_
+
+
(2)
f(m) > 0
m < -2
m > 1
Dấu Tam thức bậc 2: f(x) = ax2+bx+c
Bài tập 4b (tt)
Do đó hệ (I):
m <
m < -2
m > 1
m <
m < -2
V
m <
m > 1
m < -2
Hệ Phương trình bậc hai
Cách giải hệ phương trình đối xứng loại I
Đặt
x + y = S
xy = P
Biến đổi đưa về hệ có 2 ẩn mới S, P
Giải hệ tìm nghiệm S, P
Từ S, P tiếp tục giải tìm x, y
Kết quả
Hệ Phương trình bậc hai
Bài tập 5
Giải hệ phương trình:
x + xy + y = 7
x2y + xy2 - 4 = 2(x+y)
(I)
Giải
(I)
(x + y) + xy = 7
xy(x + y) - 4 = 2(x+y)
Đặt x + y = S
xy = P
(I)
S + P = 7
SP - 4 = 2S
P = 7 - S
S(7-S) - 4 = 2S
Hệ Phương trình bậc hai
Bài tập 5 (tt)
(I)
S2 - 5S + 4 = 0
P = 7 - S
P = 7 - S
S = 1
S = 4
P = 7 - S
S = 1
V
P = 7 - S
S = 4
S = 1
P = 6
V
S = 4
P = 3
Hệ Phương trình bậc hai
Bài tập 5 (tt)
Với
S = 1
P = 6
x + y = 1
xy = 6
x, y là nghiệm của pt t2 - t + 6 = 0
Δ = 1 – 24 = -23 < 0
pt vô nghiệm
Hệ Phương trình bậc hai
Bài tập 5 (tt)
Với
S = 4
P = 3
x + y = 4
xy = 3
x, y là nghiệm của pt t2 - 4t + 3 = 0
t = 1
V
t = 3
x = 1
y = 3
V
x = 3
y = 1
Vậy hệ (I) có nghiệm (1,3); (3,1)