Trường THCS Hồ Thị Kỷ

GD

Giáo viên: Giang Văn Đẳng

BÀI 3: PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ
ĐA THỨC MỘT BIẾN

HĐKĐ: CÓ THỂ CỘNG VÀ TRỪ HAI ĐA

THỨC MỘT BIẾN NHƯ CỘNG VÀ TRỪ HAI
SỐ THỰC KHÔNG?

KĐ

Có thể cộng và trừ hai đa thức một biến như cộng và trừ hai số thực không?
Trả lời:
- Ta có thể cộng và trừ hai đa thức một biến như cộng và trừ hai số thực.
1.Phép cộng hai đa thức một biến:
Biểu thức biểu thị chu vi của hình chữ

nhật là:
2 . (x + x + 1) = 2 . (2x + 1) = 2 . 2x + 2 . 1
= 4x + 2.

4x.

Trả lời:
Biểu thức biểu thị chu vi của hình vuông là:

Biểu thức biểu thị tổng chu vi của hình
vuông và hình chữ nhật là: 4x + 4x + 2 =
8x + 2.

Ví dụ: P(x) = 6x2 – 5x + 1 và Q(x) = -3x2 - 2x + 7
Để tính P(x) + Q(x), ta có hai cách làm như sau:
CÁCH 1:
P(x) + Q(x) = (6x2 – 5x +1) + (-3x2 – 2x – 7)
= 6x2 – 5x + 1 -3x2 – 2x – 7
= (6x2 – 3x2) + (-5x – 2x) + (1-7)
= 3x2 – 7x – 6
CÁCH 2:
P(x) = 6x2 – 5x + 1
+
Q(x) = -3x2 - 2x + 7
P(x) + Q(x) = 3x2 – 7x – 6

(bỏ dấu ngoặc)
(tính chất giao hoán và kết hợp)

(cộng theo cột dọc)

Ví dụ 1: Cho M(y) = 5y3 – 4y + 3 và N(y) = -6y3 – y2 + 8y +1. Hãy tính tổng của M(y)
và N(y) bằng hai cách.
CÁCH 1:

CÁCH 2:

+
Thực hành 1: Cho hai đa thức P(x) = 7x3 - 8x + 12 và Q(x) = 6x2 - 2x3 + 3x - 5. Hãy tính P(x) +
Q(x) bằng hai cách.
CÁCH 1:

P(x) + Q(x) = (7x3 - 8x + 12) + (6x2 - 2x3 + 3x - 5)
P(x) + Q(x) = 7x3 - 8x + 12 + 6x2 - 2x3 + 3x - 5
P(x) + Q(x) = (7x3 - 2x3) + 6x2 + (-8x + 3x) + (12 - 5)
P(x) + Q(x) = 5x3 + 6x2 - 5x + 7
Vậy P(x) + Q(x) = 5x3 + 6x2 - 5x + 7.

CÁCH 2:

+

P(x) = 7x3 

- 8x + 12

Q(x) = - 2x3 + 6x2  + 3x - 5

P(x) + Q(x) = 5x3 + 6x2 − 5x +7
2.Phép trừ hai đa thức một biến
Biểu thức biểu thị diện tích
phần được tô vàng trong Hình 2 là: 8x2 x2 = 7x2.

Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật
là: 4x . 2x = 8x2.
Biểu thức biểu thị diện tích của hình vuông
là: x2.

Để cộng hai đa thức một biến, ta có thể thực hiện theo một
trong hai cách sau:
-Cách 1: Nhóm các đơn thức cùng lũy thừa của biến rồi thực
hiện phép cộng.
-Cách 2: Sắp xếp các đơn thức của hai đa thức cùng theo thứ
tự lũy thừa tăng dần (hoặc giảm dần) của biến và đặt tính
dọc sao cho lũy thừa giống nhau ở hai đa thức thẳng cột với
nhau, rồi thực hiện cộng theo cột.

Lưu ý:
Trong các cách đặt phép tính sau, cách nào đặt đúng, cách nào đặt
sai ? Hãy thực hiện phép tính ở cách đặt đúng
Cách 2

Cách 1
P(x)

+
Q(x)

= 2x3 – x – 1
=x

2

– 5x + 2

P(x) + Q(x) =

Cách 3
P(x)

+
Q(x)

P(x)

-

= 2x3 – x – 1

Q(x) = 2
P(x) - Q(x) =

– 5x + x2

Cách 4
= 2x3

– x– 1

=
x2 – 5x + 2
P(x) + Q(x) = 2x3 + x2 – 6x + 1

-

P(x)
Q(x)

=–1– x

+ 2x3

= 2 – 5x + x2
P(x) - Q(x) = – 3 + 4x – x2 + 2x3

Bài tập 1. Cho hai đa thức
P(x) = - 3x4 – 8x2 + 2x
Và Q(x) = 5x3 – 3x2 + 4x – 6
Hãy tính P(x) + Q(x)

Giải
P(x) +Q(x) = (- 3x4 – 8x2 + 2x) + (5x3 – 3x2 + 4x – 6)
= - 3x4 – 8x2 + 2x + 5x3 – 3x2 + 4x – 6
= - 3x4 + 5x3 + (– 8x2 – 3x2) + (2x + 4x) – 6
= - 3x4 + 5x3
– 11x2
+ 6x
–6

Bài tập 3. Cho đa thức
A(y)= – 5y4 – 4y2+2y+7
Tìm đa thức B(y) sao cho
B(y) –A(y)=2y3 – 9y2+4y.
Giải
B(y) –A(y) = 2y3 – 9y2+4y.
B(y) = 2y3 – 9y2+4y + A(y)
B(y) = (2y3 – 9y2+4y)+(–5y4-4y2+2y+7)
B(y) = 2y3 – 9y2 + 4y – 5y4 - 4y2+2y+7)
B(y) = -5y4 + 2y3 +(-9y2 - 4y2)+(4y+2y)+7
B(y) = -5y4+ 2y3
- 13y2 + 6y +7

3. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CỘNG ĐA THỨC 1 BIẾN
Tương tự như phép cộng các số thực thì phép cộng các
đa thức 1 biến cũng có các tính chất sau:
Cho A, B, C là các đa thức 1 biến với cùng 1 biến số, ta
có: * A + B = B + A
* A + (B + C) = (A + B) + C
Ví dụ 3: Thực hiện phép tính
(2x – 1) + [(x2 + 3x) + (2 – 2x)]
Giải
(2x – 1) + [(x2 + 3x) + (2 – 2x)]
= [(2x – 1) + (2 – 2x)] + (x2 + 3x)
= 1 + (x2 + 3x)
= x2 + 3x + 1

Thực hành 3 trang 35 Toán 7 Tập 2: 
Thực hiện phép tính: (x - 4) + [(x2 + 2x) + (7 - x)].
Lời giải:
(x - 4) + [(x2 + 2x) + (7 - x)]
= x - 4 + x2 + 2x + 7 - x
= x2 + (x + 2x - x) + (-4 + 7)
= x2 + 2x + 3

Bài 1 trang 35 Toán 7 Tập 2: Cho hai đa thức
P(x) = -3x4 - 8x2 + 2x và Q(x) = 5x3 - 3x2 + 4x - 6.
Hãy tính P(x) + Q(x) và P(x) - Q(x).
GIẢI
P(x) = -3x4 
- 8x2  + 2x
+
Q(x) =
5x3 - 3x2  + 4x - 6
P(x) + Q(x) = -3x4 + 5x3 - 11x2 + 6x - 6
P(x) = -3x4 
- 8x2  + 2x
Q(x) =
5x3 - 3x2  + 4x - 6
P(x) - Q(x) = -3x4 - 5x3 - 5x2  - 2x + 6

Bài 2 trang 35 Toán 7 Tập 2: Cho đa thức
M(x) = 7x3 - 2x2 + 8x + 4.
Tìm đa thức N(x) sao cho M(x) + N(x) = 3x2 - 2x.
Lời giải:
Do M(x) + N(x) = 3x2 - 2x
nên
N(x) = 3x2 - 2x - M(x)
N(x) = 3x2 - 2x - (7x3 - 2x2 + 8x + 4)
N(x) = 3x2 - 2x - 7x3 + 2x2 - 8x - 4
N(x) = -7x3 + (3x2 + 2x2) + (-2x - 8x) - 4
N(x) = -7x3 + 5x2 - 10x - 4
Vậy N(x) = -7x3 + 5x2 - 10x - 4.

Bài 5 trang 36 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác (Hình 4) có
chu vi bằng 12t - 3. Tìm cạnh chưa biết của tam giác đó.
Lời giải:
Độ dài cạnh còn lại của tam
giác bằng:
12t - 3 - (3t + 8) - (4t - 7)
= 12t - 3 - 3t - 8 - 4t + 7
= (12t - 3t - 4t) + (-3 - 8 + 7)
= 5t - 4

GIẢI

Bài 6 trang 36 Toán 7 Tập 2: Cho ba đa thức
P(x) = 9x4 - 3x3 + 5x - 1;
Q(x) = -2x3 - 5x2 + 3x - 8;
R(x) = -2x4 + 4x2 + 2x - 10.
Tính P(x) + Q(x) + R(x) và P(x) - Q(x) - R(x).

P(x) = 9x4 - 3x3 
+ 5x - 1
+ Q(x) =
- 2x3 - 5x2  + 3x - 8
+ R(x) = -2x4 
+ 4x2  + 2x - 10

P(x) + Q(x) + R(x) =  7x4 - 5x3  - x2  + 10x - 19
P(x) = 9x4 - 3x3 
+ 5x - 1
- Q(x) =
- 2x3 - 5x2 + 3x - 8
- R(x) = -2x4 
+ 4x2  + 2x - 10

P(x) - Q(x) - R(x) =  7x4 - 5x3  - x2  +10x -19

Bài 8 trang 36 Toán 7 Tập 2: Cho hình vuông
cạnh 2x và bên trong là hình chữ nhật có độ dài
hai cạnh là x và 3 (Hình 5). Tìm đa thức theo
biến x biểu thị diện tích của phần được tô màu
xanh
Lời giải:
Biểu thức biểu thị diện tích hình vuông là: 2x . 2x = 4x 2.
Biểu thức biểu thị diện tích hình chữ nhật là: 3x.
Biểu thức biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh là: 4x 2 - 3x.

Bài 9 trang 36 Toán 7 Tập 2:
a) Thực hiện phép tính: (3x - 1) + [(2x 2 + 5x) + (4 - 3x)].
b) Cho A = 4x + 2, C = 5 - 3x2. Tìm đa thức B sao cho A + B = C.
Lời giải:
a) (3x - 1) + [(2x2 + 5x) + (4 - 3x)]
= 3x - 1 + 2x2 + 5x + 4 - 3x
= 2x2 + (3x + 5x - 3x) + (-1 + 4)
= 2x2 + 5x + 3
b) Do A + B = C nên B = C - A
B = 5 - 3x2 - (4x + 2)
B = 5 - 3x2 - 4x - 2
B = -3x2 - 4x + (5 - 2)
B = -3x2 - 4x + 3. Vậy B = -3x2 - 4x + 3.