ÌNH HỌC  10
H
PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
O
M
M?
M
=M?
1.Định nghĩa:
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M đối xứng với M qua điểm O gọi là phép đối xứng tâm O
O: tâm đối xứng
Kí hiệu: ĐO
Nếu M
M?
ĐO
thì M? là ảnh của M qua ĐO
a)Cho điểm O.Với mỗi điểm M ta lấy M? đối xứng với M qua O nghĩa là:
+ Nếu M không trùng O thì O là trung điểm MM?
+ Nếu M trùng O thì M? trùng với M
Định nghĩa:
H
H’
O
b)Cho phép đối xứng tâm ĐO và một hình H
Với mỗi M thuộc H,
M
ĐO
M?
H?=
ĐO
:hình đối xứng với H qua tâm O
(ta còn nói, phép đối xứng tâm ĐO biến H thành H? hay H? là ảnh của H qua ĐO)
1.Định nghĩa:
a)Ảnh của một điểm
2.Các tính chất của phép đối xứng tâm:
Định lý:
O
M
N
N?
M?
M
M?
N
N?
ĐO
ĐO
thì MN = M?N?
Chứng minh:
Ta có:
=
+
=
+
=
Vậy
=
hay MN = M?N?
2.Các tính chất của phép đối xứng tâm:
Định lý:
O
B
C
C?
B?
Hệ quả 1:
A
A?
Phép đối xứng tâm biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự 3 điểm thẳng hàng đó.
2.Các tính chất của phép đối xứng tâm:
Định lý:
A
Hệ quả 1:
Hệ quả 2:
phép đối xứng tâm:
O
B
B?
A?
Biến một đường thẳng thành đường thẳng
Biến một đường thẳng thành đường thẳng
Biến một tia thành một tia
Biến một tia thành một tia
2.Các tính chất của phép đối xứng tâm:
Định lý:
A
Hệ quả 1:
Hệ quả 2:
phép đối xứng tâm:
O
B
B?
A?
Biến một đường thẳng thành đường thẳng
Biến một tia thành một tia
Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó
Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó
2.Các tính chất của phép đối xứng tâm:
Định lý:
A
Hệ quả 1:
Hệ quả 2:
phép đối xứng tâm:
O
B
B?
Biến một đường thẳng thành đường thẳng
Biến một tia thành một tia
Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó
C
A?
C?
Biến một góc thành góc có số đo bằng nó
Biến một góc thành góc có số đo bằng nó
2.Các tính chất của phép đối xứng tâm:
Định lý:
A
Hệ quả 1:
Hệ quả 2:
phép đối xứng tâm:
O
B
B?
Biến một đường thẳng thành đường thẳng
Biến một tia thành một tia
Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó
C
A?
C?
Biến một góc thành góc có số đo bằng nó
Biến một tam giác thành tam giác bằng nó
Biến một tam giác thành tam giác bằng nó
một đường tròn thành đường tròn bằng nó
một đường tròn thành đường tròn bằng nó
A
B
C
D
A?
B?
C?
D?
O
O
A?
B?
C?
D?
Áp dụng
3.Tâm đối xứng của hình:
Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm ĐO biến H thành chính nó
(Có nghĩa là với bất kì điểm M nào của H thì ảnh M? của nó cũng nằm trên H)
Ví dụ:
Tâm đối xứng của hình bình hành là
Tâm đối xứng của đường tròn là
tâm đường tròn
giao 2 đường chéo
O
4.Áp dụng của phép đối xứng tâm:
Ví dụ 1:
Cho đường tròn (O;R) và 2 điểm A,C cố định sao cho AC không cắt đường tròn. Một điểm B thay đổi trên đường tròn. Dựng hình bình hành ABCD. Tìm quỹ tích D.
O
A
C
B
D
I
O?
Chứng minh
Gọi I là giao điểm của AC và BD
Khi đó I là trung điểm của BD và I cố định (vì I là trung điểm của AC cố định)
Vậy ĐI biến B thành D, mà B thuộc (O) nên D thuộc (O?) là ảnh của (O) qua ĐI
4.Áp dụng của phép đối xứng tâm:
Ví dụ 2:
Giải
Cho (O),(O?) cắt nhau tại hai điểm A, B.
Dựng qua A đường thẳng d cắt (O), (O?) tại M, N sao cho A là trung điểm MN.
A
B
O
O?
M
N
Giả sử dựng được d qua A cắt (O) tại M, (O?) tại N sao cho A là trung điểm MN.
Khi đó vì A cố định nên N là ảnh của M qua phép đối xứng tâm A. M thuộc (O) nên N sẽ thuộc (O?) là ảnh của (O) qua ĐA
O?
Cách dựng
Dựng (O?) là ảnh của (O) qua ĐA
Dựng N là giao của (O?) và (O?)
Dựng d qua A,N cắt (O) tại M.d là đường thẳng cần dựng
Câu hỏi:
1.Cách dựng ảnh đối xứng tâm của:
Đường tròn
Đa giác
Véctơ
A
B
A?
B?
I
Câu hỏi:
2.Một hình có trục đối xứng có suy ra có tâm đối xứng không?
và ngược lại
Khi nào thì một hình có trục đối xứng sẽ có tâm đối xứng?
Bài học đến đây kết thúc.
Cảm ơn các em.
Các em nhớ làm bài đầy đủ.