Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Ngô Minh Tuấn
Trường THPT Ngô Quyền
I. Dùng tích vô hướng để chứng minh BĐT.
1. Tích vô hướng và một số tính chất cơ bản thường dùng trong chứng minh bất đẳng thức.



2.Một số công thức liên quan:
Cho tam giác ABC khi đó ta có:

3. Các bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh bất đẳng thức sau:
CosA + CosB + CosC ? 3/2
Hướng dẫn:
Gọi là các véc tơ có độ dài
bằng 1 nằm trên các cạnh AB, BC, CA
Như hình vẽ bên. Khi đó ta có:




Vậy


Bài 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Cos2A + Cos2B + Cos2C ? -3/2
Hướng dẫn:
Gọi (O, R) là đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có:
Bài 3: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c nội tiếp trong đường tròn (O,R). Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:





Tương tự:

Khi đó ta đưa bài toán này về bài tập 1 vừa nêu.

Bài 4: Cho tứ giác ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: 2MN ? BC + AD
Hướng dẫn:
Ta có:
Bài 5: Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng:

Hướng dẫn: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, AC.




Mà ta có:


Thay vào ta được:


Dấu bằng xảy ra khi MN = 0 hay tứ giác ABCD là hình bình hành.
Các bài tương tự:
Bài1: Cho tam giác ABC có AB = c, BC= a, CA= b, M là một điểm tùy ý chứng minh rằng:



Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O,R). Chứng minh rằng:

Bài 3: Cho tam giác ABC và ba số x, y, z tùy ý;
Chứng minh rằng:
II. Phương pháp "tam thức bậc hai" để chứng minh BĐT.
1. Một số chú ý:
a, Cho tam thức bậc hai:
Khi đó ta có:




b, Phương trình:
Có 2 nghiệm phân biệt khi có hai số a, b sao cho:
f(a).f(b) < 0 (*)
2. Các bài tập áp dụng:
Bài 1: Gọi a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác và hai số m, n sao cho m + n = 1. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn:
Thay n = 1 - m vào bất đẳng thức ta được:






Vậy f(m) > 0 với mọi m, ta có đpcm.
Bài 2: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: (a+c)(a+b+c) < 0
Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
- Xét a = 0 thì giả thiết thành c.(b+c) < 0 khi đó b ? c
BDT trở thành:
Luôn đúng.
Xét a ? 0 đặt



Vậy theo t/c (*), phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt
Hay
Bài 3: Cho 3 số a, b, c sao cho:
Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có:
Thay vào BĐT ta được:
BĐT



Vậy f(b+c) > 0 với mọi a, b, c. Ta có đpcm
Các bài tương tự
Bài 1: Cho 6 số a, b, c, d, p, q thỏa mãn:



Bài 2: Cho 4 số a, b, c, d có b + c = a + d và số m sao cho:



Bài 3:

Các chú ý:
Một số bất đẳng thức nêu trong bài chưa tìm điều kiện để xảy ra dấu bằng. (Coi như bài tập về nhà)
Các trường hợp xảy ra dấu bằng trong các bất đẳng thức tam giác sẽ được làm lại trong các bài toán nhận dạng tam giác sau này.
Các bài toán nêu ở trên không phải chỉ có một cách giải duy nhất như đã trình bày, hầu hết chúng còn có một vài cách giải khác, hãy tìm cách khác nếu thấy cách trên không tự nhiên hoặc quá cứng nhắc.