Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Ngô Minh Tuấn
Trường THPT Ngô Quyền
II. Phương pháp "tam thức bậc hai" để chứng minh BĐT.
1. Một số chú ý:
a, Cho tam thức bậc hai:
Khi đó ta có:




b, Phương trình:
Có 2 nghiệm phân biệt khi có hai số a, b sao cho:
f(a).f(b) < 0 (*)

2. Các bài tập áp dụng:
Bài 1: Gọi a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác và hai số m, n sao cho m + n = 1. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Thay n = 1 - m vào bất đẳng thức ta được:







Vậy f(m) > 0 với mọi m, ta có đpcm.

Bài 2: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: (a+c)(a+b+c) < 0
Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
- Xét a = 0 thì giả thiết thành c.(b+c) < 0 khi đó b ? c
BDT trở thành:
Luôn đúng.
Xét a ? 0 đặt



Vậy theo t/c (*), phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt
Hay
Bài 3: Cho 3 số a, b, c sao cho:
Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có:
Thay vào BĐT ta được:
BĐT

Đặt t = b + c, BĐT

Ta có:

Vậy f(t) > 0 với mọi a, b, c. Ta có đpcm
Bài 4: Cho 4 số a, b, x, y bất kì. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn.
Xét tam thức bậc hai:


bất đẳng thức luôn đúng
Do
Nên
Dấu bằng xảy ra khi:


( Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 4 số)
Bài 5:
Hướng dẫn:
Xét tam thức:
Ta có:


Theo bất đẳng thức Bunhiacopski cho 8 số thì
Do đó:
Dấu bằng xảy ra khi:
Các bài tương tự
Bài 1:
Cho 4 số a, b, c, d có b + c = a + d và số m sao cho:



Bài 2:
Chứng minh rằng:

Bài 3:

III. Phương pháp sử dụng BĐT Bunhiacopski trong chứng minh bất đẳng thức
1. Một số chú ý:
- Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 4 số:
Cho 4 số thực bất kì a, b, x, y ta có:

Dấu bằng xảy ra khi: a.y = b.x hoặc
- BĐT Bunhiacopski cho 6 số:
Cho 6 số thực a, b, c, x, y, z cùng khác 0 ta luôn có:

Dấu bằng xảy ra khi:

2. Các bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho hai số a, b thỏa mãn: a + b = 2. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn:
Ta có:






Dấu bằng xảy ra khi: a = b = 1
Bài 2: Cho
Hướng dẫn:
áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 6 số ta có:



Sử dụng giả thiết và khai căn hai vế ( cả hai vế đều dương ) ta
được:

Dấu bằng xảy ra khi:
Bài 3: Cho hai số x, y thỏa mãn:
Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta suy ra:
áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số ta có:



Lại có:

Kết hợp với (*) ta được:




Do

Nên

Dấu bằng xảy ra khi:
Bài 4: Gọi p, a, b, c lần lượt là nửa chu vi và độ dài các cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 6 số ta có:



Khai căn hai vế ( cả hai vế đều dương ) ta được:


Dấu bằng xảy ra khi:
Bài tương tự
Bài 1: Cho hai số x, y thỏa mãn:
Tìm Max, min của biểu thức:
Bài 2: Cho 3 số x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 4
Chứng minh rằng:


Bài 3: Cho 3 số a, b, c đều khác không; Chứng minh rằng:
Tổng kết
1. Bất đẳng thức là một phần rất khó đối với không chỉ học sinh. Một bài bất đẳng thức thông thường cũng có thể gây khó khăn cho người giải khi không biết hướng. Vài phương pháp trên đây có thể là một vài gợi ý cho việc giải các bài toán khác tương tự.
2. Một số phương pháp nêu trên không bao hàm tất cả các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Đa số các bài tập trên còn cách giải khác. Cách giải đã nêu có thể không thật tốt trong từng bài nhưng đó là cách giải để làm nổi lên một cách nhìn hoặc phương pháp làm một dạng bài tập nào đó về bất đẳng thức.
Xin chân thành cảm ơn