Hệ trục tọa độ

trong không gian

(Phương trình mặt cầu)
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có tâm I(x0; y0; z0) và bán kính R
Hay IM2 = R2
nghĩa là (x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = R2
6) Phương trình mặt cầu
và điểm M(x; y;z)
Phương trình (x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = R2 được gọi là phương trình mặt cầu S(I;R)
Điểm M(x; y;z) thuộc (S) khi và chỉ khi IM = R
a) Định nghĩa:
Vậy mặt cầu tâm I(x0;y0;z0) bán kính R có phương trình
(x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = R2
Bài tập 2: hãy viết phương trình mặt cầu S đi qua 4 điểm A(0; 0; 0) , B(1; 0; 0), C(0; 1; 0) và D(0; 0; 1)

(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = 0
* Nhận xét:
Khi đó tâm mặt cầu là điểm I(-a; -b; -c) và bàn kính mặt cầu là R =
? (x - a)2 + (y - b )2 + (z - c)2 - (a2 + b2 + c2 )+ d = 0
? (x - a)2 + (y - b )2 + (z - c)2 = (a2 + b2 + c2 )- d
Vậy: phương trình x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = 0
laứ phửụng trỡnh maởt ca�u khi và chỉ khi a2 + b2 + c2 - d > 0
Mặt cầu có tâm O, bán kính R có phương trình là:
x2 + y2 + z2 = R2
* Chú ý:
O
x
y
z
R
. I
a
b
c
Mặt cầu có tâm I(a ; b ; c) và tiếp xúc với mp (Oxy) t�i �iĨm K th�
H
K
K( a ; b ; 0 )
? IK = OH =
c
* Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với (Oxy) (hoặc (Oxz) ; (Oyz)) có phương trình :
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = c2 ( hoặc b2 ; a2)
O
x
y
z
a
b
c
Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với trục Oz
R
H
K
Tại điểm H( 0 ; 0 ; c )
Thì
R = IH = OK =
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
Bán kính R =
(x + 1)2 + (y - )2 + (z - 4)2 = 17
Vậy phương trình mặt cầu (S) là:
Giải:
b) (S) có đường kính AB với A(3 ; 2 ; - 4) ; B(- 3 ; 0 ; -2)
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
Tâm I của (S) là trung điểm của AB ? I (0 ; 1; -3)
Vậy phương trình mặt cầu (S):
x2 + (y - 1)2 + (z + 3)2 = 11
A
B
. I
Giải:
Bài tập 1:
Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình mặt cầu? Nếu là phương trình mặt cầu hãy tìm tâm và bán kính:
1) x2 + y2 +z2 - 2x - 6y - 8z + 1 = 0

2) x2 + y2 +z2 + 10x + 4y + 2z + 30 = 0

3) x2 + y2 +z2 - y = 0

4) 2x2+ 2y2+ 2z2- 2x- 3y+5z - 2 = 0

5) x2 + y2 +z2 - 3x + 4y - 8z + 25 = 0


Tâm I(1;3;4) và R=5
Tâm
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu (S) biết:
1) Tâm O(0; 0 ; 0) và tiếp xác với mặt cầu (S’) có tâm
I(3; -2; 4) và bán kính bằng 1
2) Tâm I(3;-2; 4) và đi qua điểm A(7; 2; 1)
3) Tâm I(2; -1; 3) và tiếp xúc với mp (Oxy)
Bài tập về nhà
Bài tập trong sách Bài tập Hình 12:
Bài 31, 32, 33, 34 trang 121
Bài tập trong sách giáo khoa Hình học 12:
Bài 13; 14 trang 82