Giải tích
calculus
Kỹ thuật tích phân số
numeric integral technique
Mục tiêu của buổi học
objective
Nhắc qua buổi trước
review of last lecture
Xấp xỉ trung điểm & xấp xỉ hình thang
midpoint rule & trapezoidal rule
Quy tắc Simpsons & quy tắc khác
simpson’s rule & other rules
Cầu phương Gauss
gaussian quadrature
Kỹ thuật phân chia thích ứng
adaptive technique
Nhắc qua buổi học trước
review of last lecture
Tích phân bất định
indefinite integrals
Tính tích phân bất định
computing indefinite integrals
Tích phân xác định
definite integrals
Tính tích phân xác định
computing definite integrals
Xấp xỉ tích phân xác định
approximation to definite integral
Giới thiệu
introduction
Có nhiều tích phân xác định không thể tìm được nguyên hàm, không dùng được công thức Newton-Leibniz.
Có nhiều tích phân xác định không thể biểu diễn bằng hàm sơ cấp.
Có những hàm số không ở dạng tường minh và tốn tài nguyên tính toán khi xác định giá trị.

→ có thể tính xấp xỉ giá trị số của tích phân


Xấp xỉ tích phân xác định
approximation to definite integral
Giới thiệu
introduction


x
f(x)
Xấp xỉ


Xấp xỉ trung điểm
midpoint rule
Công thức
formula
Xấp xỉ trung điểm
midpoint rule


Ví dụ
example

Tính bằng xấp xỉ trung điểm?

Giá trị
chính xác
1,46265
Xấp xỉ hình thang
trapezoidal rule
Công thức
formula
Sai số



Xấp xỉ hình thang
trapezoidal rule
Cách viết khác
other notation
















Xấp xỉ trung điểm
midpoint rule


Ví dụ
example

Cần tính bằng xấp xỉ hình thang với n tối thiểu
bằng bao nhiêu để có độ chính xác 2 chữ số thập phân?

Cần

→ |f (2)(c)| < 17 khi c[0,1]

→ chỉ cần

Quy tắc Simpson
simpson rule
Công thức cho 3 điểm
3 point formula





Sai số



Quy tắc Simpson
simpson rule
Công thức n+1 điểm
n+1 point formula
Quy tắc Simpson
simpson rule


Ví dụ
example

được tính bằng quy tắc Simpson để có độ chính
xác 2 chữ số thập phân. Cần tính giá trị hàm exp(x2) tối thiểu mấy lần?

Cần

→ |f (4)(c)| < 210

→ → n+1>4
Quy tắc Simpson
Simpson rule


Ví dụ
example
Dùng 3 phương pháp để tính với n=4

Giá trị chính xác 16.45262776
Trung điểm
Hình thang
Simpson
Công thức Newton-Cotes
Newton-Cotes formula
Giới thiệu
introduction
Xấp xỉ hình thang thay hàm f(x) bằng các đoạn đa thức bậc 1
Quy tắc Simpson thay hàm f(x) bằng các đoạn đa thức bậc 2
Chúng là các trường hợp riêng của trường hợp tổng quát: thay hàm f(x) bằng các đoạn đa thức bậc n (các công thức Newton-Cotes)
Công thức Newton-Cotes
Newton-Cotes formula
(#) fi lấy tại các điểm xi cách đều nhau khoảng h=(b-a)/n, với n là bậc đa thức
f0 = f(a) & fn=f(b)

(*) c[a, b] và h = (b-a)/n
Công thức Newton-Cotes
Newton-Cotes formula
Công thức n+1 điểm
n+1 point formula
Ví dụ với quy tắc Boole: nếu n chia hết cho 4
















Sai số


Công thức Newton-Cotes
Newton-Cotes formula


Ví dụ
example
Bảng so sánh 3 quy tắc Newton-Cotes khi tính
Xấp xỉ tích phân xác định
approximation of definite integrals


Ứng dụng
application
Một phần mềm tài chính cần tính tích phân
(một tích phân quan trọng trong thống kê số liệu tài chính). Nó có thể dùng quy tắc Simpson để xác định tích phân này khi a=1 đến sai số nhỏ hơn 0,01 như thế nào?
Bước 1: đơn giản hóa biểu thức tích phân
Bước 2: xác định số điểm n cần tính để có sai số < 0,01
(đáp số n>2 & n chẵn)
Bước 3: áp dụng công thức với n đã tìm
(kết quả với n=4, I ≈ 0,68)

Cầu phương Gauss
gaussian quadrature
Giới thiệu
introduction
Các công thức Newton-Cotes đều có dạng


Chúng đòi hỏi các điểm xi cách đều nhau.
Cầu phương Gauss là phương pháp chọn sẵn các điểm xi không cần cách đều nhau và các trọng số wi sao cho nếu f(x) là đa thức bậc 2n-1 thì cho kết quả với sai số bằng 0.
Cầu phương Gauss
gaussian quadrature


Công thức
formula
Cầu phương Gauss
gaussian quadrature


Ví dụ
example

Tính bằng kỹ thuật cầu phương Gauss với n=4 ?
Giá trị
chính xác
2,9253
Cầu phương Gauss
gaussian quadrature


Công thức
formula
Để chuyển từ dạng tích phân xác định tổng quát về dạng tích phân giữa cận -1 và 1, dùng:
Cầu phương Gauss
gaussian quadrature


Luyện tập
exercise

Tính bằng kỹ thuật cầu phương Gauss với n=4

và so sánh với giá trị chính xác 16,45262776?


Ước lượng sai số
error estimation
Nếu tính được đạo hàm
Dùng công thức (như trong các công thức Newton-Cotes).
Nếu không tính được đạo hàm
Tính xấp xỉ tích phân bằng hai phương pháp khác nhau để thu được hai kết quả I1 và I2. Sai số có thể vào cỡ | I1 - I2 |.
Tính xấp xỉ bằng với hai n khác nhau để thu được hai kết quả I1 và I2. Sai số có thể vào cỡ | I1 - I2 |.
Chia khoảng cận tích phân thành 2 phần


Tính xấp xỉ tích phân trên toàn khoảng Iab và trên hai phần Iac và Icb. Sai số vào cỡ |Iac+Icb-Iab|.
Kỹ thuật phân chia thích ứng
apdaptive technique
Giới thiệu
introduction
Phân chia các điểm đều nhau, hoặc theo các điểm chọn trước (như trong phương pháp cầu phương Gauss) có thể bỏ qua những điểm hàm số biến đổi nhanh.
x
y
x
y
x1
x2
x3
x4
x1
x2
x3
x4
f(x)
f(x)
sai số nhỏ
sai số lớn
Kỹ thuật phân chia thích ứng
apdaptive technique
Giới thiệu
introduction
Để tiết kiệm tài nguyên tính toán, có thể phân chia nhỏ tại các điểm có biến đổi nhanh, và chia thoáng tại các điểm biến đổi chậm

x
y
f(x)
Kỹ thuật phân chia thích ứng
adaptive technique
Ví dụ với kỹ thuật chia đôi thích ứng
example with bisection adaptive technique

Tính xấp xỉ tích phân

Ước lượng sai số: lấy c=(a+b)/2 và tính Iac và Icb.
Nếu sai số lớn (|Iac+Icb-Iab|> ε) thì
Xét tích phân Iac: chia đôi khoảng [a,c] và lặp lại các bước trên.
Xét tích phân Icb: chia đôi khoảng [c,b] và lặp lại các bước trên.
Dừng khi sai số của tích phân trên các khoảng con chấp nhận được; kết quả là tổng của kết quả trên các khoảng con.
Ví dụ với Maxima
example with Maxima


Tính tích phân xác định phương pháp số
Tóm tắt lại buổi học
summary
Xấp xỉ trung điểm & xấp xỉ hình thang
midpoint rule & trapezoidal rule
Quy tắc Simpsons & quy tắc khác
simpson’s rule & other rules
Cầu phương Gauss
gaussian quadrature
Phân chia thích ứng
adaptive technique
Buổi sau?
What next?
Tham khảo thêm
more references
M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York:
Dover, 1972.http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/
Làm bài về nhà
Do homework
Làm bài được phát hôm nay và nộp theo nhóm 2-3 người (có thể sử dụng phần mềm để hỗ trợ)
Đọc trước kỹ thuật biểu thức tích phân
Read symbolic integration technique
Toán học Cao cấp T2, mục 6.3-6.6