Kiểm tra bài cũ
Câu hỏi: Kiểm tra bài cũ
Câu hỏi: 1. Nêu quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa? 2. Nêu công thức tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp đã học? Trả lời: Kiểm tra bài cũ
Trả lời. 1. Quy tắc tính đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm latex(x_o) B1. Tính latex(Deltay=f(x_0 Deltax)-f(x_o) B2. Tìm latex(lim_(Deltax to 0)(Deltay)/(Deltax)) 2. Công thức: a) (c)` = 0, với c là hằng số; b) (x)` = 1; c) latex((x^n)` = nx^(n-1)), với latex(n in N, n>=2); d) latex((sqrtx)` = 1/(2sqrtx),(x>0)). Câu hỏi: 1. Nêu quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa? 2. Nêu công thức tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp đã học? Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số
Định lí 1: Tiết 78. Các quy tắc tính đạo hàm
1. Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số (Kí hiệu J là một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng) Định lí 1 Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y = u(x) v(x) và y = u(x) - v(x) cũng có đạo hàm trên J, và a) [u(x) v(x)]` = u`(x) v`(x); b) [u(x) - v(x)]` = u`(x) - v`(x). Chú ý. Các công thức trên có thể viết gọn là (u v)` = u` v` và (u - v)` = u` - v`. Chứng minh: Tiết 78. Các quy tắc tính đạo hàm
1. Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số (Kí hiệu J là một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng) Định lí 1 Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y = u(x) và y = v(x) cũng có đạo hàm trên J, và a) [u(x) v(x)]` = u`(x) v`(x); b) [u(x) - v(x)]` = u`(x) - v`(x). Chứng minh. a) Tại mỗi điểm latex(x in J), ta có latex(@Deltay=) latex([u(x Deltax) v(x Deltax)] - [u(x) v(x)]) latex(=[u(x Deltax)-u(x)] [v(x Deltax)-v(x)]) = latex(Deltau-Deltav). latex(@lim_(Deltaxto0)(Deltay)/(Deltax))= latex(lim_(Deltaxto0)(Deltau-Deltav)/(Deltax)) = latex(lim_(Deltaxto0)(Deltau)/(Deltax) lim_(Deltaxto0)(Deltav)/(Deltax)) = u`(x) v`(x). b) Chứng minh tương tự. Ví dụ 1: Tiết 78. Các quy tắc tính đạo hàm
1. Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số Định lí 1: (u v)` = u` v` (1) Nhận xét: latex((u - v -... -w)` = u` - v` -... -w`) (3) Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của hàm số a) y = latex(x^8-sqrtx m^3 sqrt5) (m là hằng số) trên khoảng latex((0; infty); b) y = latex(x^5- x^4 x^2 - 1) tại latex(x_o=-1). c) y = latex((x^2 1)(x-1)) trên R. Kết quả a) y` = latex(8x^7- 1/(2sqrtx)); b) y` = latex(5x^4- 4x^3 2x) latex(rArry`(-1) = 7). (u - v)` = u` - v` (2) c) y` = latex(3x^2-2x 1). Hoạt động 1: Tiết 78. Các quy tắc tính đạo hàm
1. Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số Nhận xét: latex((u - v -... -w)` = u` - v` -... -w`) (3) HĐ 1. Cho hai hàm số f(x) = latex(-1/(x^2 1)) và g(x) = latex((x^2)/(x^2 1)). Biết rằng hai hàm số này có đạo hàm trên R. Chứng minh rằng: f`(x) = g`(x), latex(AAx in R). Hướng dẫn 1) Biểu diễn g(x) qua f(x) ... 2) ... bằng cách biến đổi g(x) = latex(((x^2 1)-1)/(x^2 1)). 3) Dẫn đến g(x) = 1 f(x). 4) Suy ra g`(x) = [1 f(x)]` = .... 5) .... = (1)` f`(x) = f`(x) (đpcm). (u v)` = u` v` (1) Định lí 1: (u - v)` = u` - v` (2) Đạo hàm của tích hai hàm số
Định lí 2: Tiết 78. Các quy tắc tính đạo hàm
2. Đạo hàm của tích hai hàm số Định lí 2 Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y = u(x)v(x) cũng có đạo hàm trên J, và [u(x)v(x)]` = u`(x).v(x) u(x).v`(x); Đặc biệt, nếu k là hằng số thì [ku(x)]` = ku`(x). Chú ý. 1. Các công thức trên có thể viết gọn là (uv)` = u`v uv` và (ku)` = ku`. 2. Đối với đạo hàm của tích ba hàm số ta có công thức: (uvw)` = u`vw uv`w uvw`. Hoạt động 2: Tiết 78. Các quy tắc tính đạo hàm
2. Đạo hàm của tích hai hàm số Định lí 2 (uv)` = u`v uv` ; (4) (ku)` = ku` ; (5) Chú ý (uvw)` = u`vw uv`w uvw`. (6) HĐ 2 Hãy sử dụng công thức (4), chứng minh các công thức (5) và (6). Ví dụ 2: Tiết 78. Các quy tắc tính đạo hàm
2. Đạo hàm của tích hai hàm số Định lí 2 (uv)` = u`v uv` ; (4) (ku)` = ku` ; (5) Chú ý (uvw)` = u`vw uv`w uvw`. (6) Ví dụ 2 Tính đạo hàm của hàm số a) Latex( y = 2x^5 - 3/2x^4 (4x^3)/3 - (x^2)/2) trên R; b) Latex(y = (x^2 1)(2sqrtx 1)) trên latex((0; infty)); c) y = latex((2x 1)(4x^2 1)(8x^3 1)) tại điểm latex(x_0=-1/2). Kết quả a) Latex(y` = 10x^4 - 6x^3 4x^2 - x); b) Latex(y` = 5xsqrtx 2x 1/sqrtx); c) latex(y`(-1/2)=0). Củng cố tiết 1
Trọng tâm: Tiết 78. Các quy tắc tính đạo hàm
Qua bài học hôm nay các em cần I. Ghi nhớ các công thức 1. (u v)` = u` v` 2. (u - v)` = u` - v` 3. latex((u - v -... -w)` = u` - v` -... -w`) 4. (uv)` = u`v uv` 5. (ku)` = ku` 6. (uvw)` = u`vw uv`w uvw` II. Biết vận dụng các công thức tính đạo hàm của hàm số Câu 1: Củng cố
Đạo hàm của hàm số y = latex(3x^5 - (2x^3)/3 2sqrt3) là
y` = latex(15x^4- 2x^2 2sqrt3)
y` = latex(15x^4- 2x^2 1/sqrt3)
y` = latex(15x^4- 2x^2)
y` = latex(15x^4- 6x^2)
Câu 2: Củng cố
Đạo hàm của hàm số y = latex((x^4)/2 - 4x^3 3a^2 a), (với a là hằng số) là
y` = latex(2x^3- 12x^2 6a 1)
y` = latex(2x^3- 12x^2)
y` = latex(2x^3- 12x^2 6a)
y` = latex(2x^4- 12x^3)
Câu 3: Củng cố
Đạo hàm của hàm số y = latex((x 1)(x^2 1)) là
y` = latex(2x)
y` = latex(4x 2)
y` = latex(3x^2 3x 2)
y` = latex(3x^2 2x 1)
Câu 4: Củng cố
Đạo hàm của hàm số y = latex((m^2 1)(x^4 1)) (với m là hằng số) là
y` = latex(4(m^2 1)x^3)
y` = latex(8mx^3)
y` = latex(2m(x^4 1) 4(m^2 1)x^3)
y` = 0
Câu 5: Củng cố
Đạo hàm của hàm số y = latex(x^3 2xsqrtx-3) là
y` = latex(3x^2 sqrtx)
y` = latex(3x^2 2sqrtx)
y` = latex(3x^2 3sqrtx)
Một kết quả khác với ba phương án trên
Câu 6: Củng cố
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = latex(x^2.sqrtx x.sqrtx) tại điểm M(1;2) có hệ số góc là
k = 4
k = latex(5/2)
k = 1
Một kết quả khác với ba phương án trên
BTVN: Hướng dẫn học ở nhà
- Học bài cũ, ghi nhớ các công thức đã học; - Làm bài tập 16, 17, 21, 25 SGK tr 204, 205 và các bài tập trong Sách Bài tập; - Nghiên cứu trước phần bài học còn lại. Đạo hàm của thương hai hàm số
Định lí 3: 3. Đạo hàm của thương hai hàm số
Ví dụ 3: 3. Đạo hàm của thương hai hàm số
Củng cố
Câu 1: Củng cố bài học
Khái niệm HS hợp
Khái niệm HS hợp: 4. Khái niệm hàm số hợp
Khái niệm hàm số hợp Cho hai hàm số y = f(u) và u = u(x). Thay biến u trong f(u) bởi u(x), ta được biểu thức f[u(x)] với biến x. Khi đó, hàm số y = g(x) với g(x) = f[u(x)] được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u; hàm số u gọi là hàm số trung gian. Chú ý Tập xác định của hàm số hợp y = f[u(x)] là tập các giá trị của x để biểu thức f[u(x)] có nghĩa. Ví dụ 4: 4. Khái niệm hàm số hợp
Ví dụ 1. Hãy tìm hàm số hợp y = f[u(x)] và tìm tập xác định của nó, biết: a) f(u) = latex(sqrt(u)) và u(x) = x - 1; b) f(u) = latex(u^2)và u(x) = latex(sqrt( 1-x^2)). Kết quả: a) y = latex(sqrt(x-1)); TXĐ: D = [1;latex( infty)) b) y = latex((sqrt(1-x^2))^2) hay y = latex(1 - x^2); TXĐ: D = [-1;1] Cách tính đạo hàm của HS hợp
Định lí 4: 5. Cách tích đạo hàm của hàm số hợp
Định lí 4: latex(g`_x=f`_u.u`_x) Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = latex((x^2 3x 2)^4); b) y = latex(sqrt(x^2 x 1)). Kết quả a) y`=latex(4(2x 3)(x^2 3x 2)^3 b) y` = latex((2x 1)/(2sqrt(x^2 x 1)). Hệ quả: 5. Cách tính đạo hàm của hàm số hợp
Hệ quả latex((u^n)`=n.u^(n-1).u` latex((sqrt(u))`=(u`)/(2sqrt(u)) Củng cố toàn bài
Câu 1:
Đạo hàm của hàm số y = latex((2-x)^5) là
latex(10(2-x)^4)
latex(-10(2-x)^4)
latex(5(2-x)^4)
latex(-5(2-x)^4)
Câu 2:
Đạo hàm của hàm số y = latex(sqrt(x^4 x^2 2)) là
latex(1/(2sqrt(x^4 x^2 2)))
latex((2x^3 x)/sqrt(x^4 x^2 2))
latex((2x^3 x 1)/sqrt(x^4 x^2 2))
latex((2x^3 x)/(x^4 x^2 2))
Câu 3:
Đạo hàm của hàm số y = latex((sqrt(x^2 4))^3) là
latex(3sqrt(x^2 4)
latex((3sqrt(x^2 4))/2)
latex(3xsqrt(x^2 4))
latex(6xsqrt(x^2 4))
Câu 4:
Đạo hàm của hàm số y = latex(1/((1-2x)^3)) là
latex(6/((1-2x)^4))
latex(-6/((1-2x)^4))
latex(3/((1-2x)^4))
latex(-3/((1-2x)^4))
Câu 5:
Đạo hàm của hàm số y = latex(x/sqrt(x^2 1)) là
latex(1/sqrt(x^2 1)
latex((2x^2-x 2)/(2(x^2 1)sqrt(x^2 1))
latex(sqrt(x^2 1))
latex(1/((x^2 1)sqrt(x^2 1)))
Câu 6:
Đạo hàm của hàm số y = latex(sqrt(1 sqrt(1 x^2)) là
latex(x/(2sqrt(1 x^2 sqrt(1 x^2))
latex(1/(4sqrt(1 x^2 sqrt(1 x^2))
latex((x sqrt(1 x^2))/(2sqrt(1 x^2 sqrt(1 x^2))
latex((1 2sqrt(1 x^2))/(4sqrt(1 x^2 sqrt(1 x^2))
Luyện tập
Bài tập 1: Bài tập 1
Bài 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = latex((ax b)/(a b)) (a, b là các hằng số); b) y = latex(x/n n/x (x^2)/(m^2) (m^2)/(x^2)) (m, n là các hằng số); c) y = latex((t^6 2t^3 3)^2); d) y = latex((v^2-4v 1)/(v 2)). Kết quả a) y` = latex(a/(a b)); b) y` = latex(1/n-n/(x^2) (2x)/(m^2) - (2m^2)/(x^3)); c) y` = latex(12(t^5 t^2)(t^6 2t^3 3)); d) y` = latex((v^2 4v-9)/((v 2)^2)). Bài tập 2: Bài tập 2
Bài 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = latex((x^2-1)(x^2-2)(x^2-3)); b) y = latex((2t 3)/(t^2-t 1)); c) y = latex(x/(sqrt(a^2-x^2))) (với a là hằng số); d) y = latex(1/(xsqrt(1-x)). Kết quả a) y` = latex(2x(3x^4-12x^2 11)); b) y` = latex((5-6t-2t^2)/((t^2-t 1)^2)); c) y` = latex((a^2)/((a^2-x^2)sqrt(a^2-x^2)); d) y` = latex((3x-2)/(2x^2(1-x)sqrt(1-x)). Bài tập 3: Bài tập 3
Bài 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = latex((x^3-1/(x^3) 3x)^5); b) y = latex(sqrt((x^2 1)/x)); c) y = latex(1/((x^2-x 1)^5)); d) y = latex((x 1)(x 2)^2(x 3)^3). Kết quả a) y` = latex(15(x^2 1/(x^4) 1)(x^3-1/(x^3) 3x)^4); b) y` = latex((x^2-1)/(2x^2*sqrt((x^2 1)/x)); c) y` = latex((5(1-2x))/((x^2-x 1)^6)); d) y` = latex(2(x 2)(x 3)^2(3x^2 11x 9)). Bài tập 4: Bài tập 4
Bài 4. a) Cho f(x) = latex(sqrt(x^2-2x)). Hãy giải bất pt latex(f`(x)<=f(x)). b) Cho f(x) = latex(x^3-3x^2 2). Hãy giải bất pt latex(f`(x)<=3). c) Cho f(x) = latex((x^4)/4-x^3-(3x^2)/2-3). Hãy giải pt f`(x)= - 5. Kết quả a) latex((-infty;0)U[(3 sqrt5)/2; infty)). b) latex(1- sqrt2 <= x <= 1 sqrt2). c) latex(x_1=1; x_2=1 - sqrt6; x_3=1 sqrt6). Bài tập 5: Bài tập 5
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số a) y = latex((x-1)/(x 1)), biết hoành độ tiếp điểm là latex(x_o = 0); b) y = latex(sqrt(x 2)), biết tung độ tiếp điểm là latex(y_o = 2); c) y = latex(x^2), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; - 1). Kết quả a) y = 2x - 1; b) y = latex((x 6)/4); c) y = latex( -2x-1). Bài tập 6: Bài tập 6
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =latex(x^3-5x^2 2), biết tiếp tuyến đó a) song song với đường thẳng y = -3x 1; b) vuông góc với đường thẳng y = latex(1/7x-4); c) đi qua điểm A(0; 2). Kết quả a) y = -3x -7; y = -3x latex(67/27). b) y = -7x 5; y = -7x latex(103/27). c) y = 2; y = latex(-25/4x 2).