Tìm kiếm theo tiêu đề

Tìm kiếm Google

Quảng cáo

Quảng cáo

Hỗ trợ kĩ thuật

Liên hệ quảng cáo

  • (04) 66 745 632
  • 0166 286 0000
  • contact@bachkim.vn

Chương III. §1. Phương pháp quy nạp toán học

Tham khảo cùng nội dung: Bài giảng, Giáo án, E-learning, Bài mẫu, Sách giáo khoa, ...
Nhấn vào đây để tải về
Báo tài liệu có sai sót
Nhắn tin cho tác giả
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn: st
Người gửi: Võ Minh Thùy Ngân
Ngày gửi: 21h:01' 03-02-2012
Dung lượng: 239.5 KB
Số lượt tải: 128
Số lượt thích: 0 người
Bài 1:
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP
TOÁN HỌC
Chương 3:Dãy số -Cấp số cộng -Cấp số nhân
MỤC LỤC
MỤC TIÊU-CHUẨN BỊ-PHƯƠNG PHÁP
ĐẶT VẤN ĐỀ: BÀI TOÁN 1
BÀI TOÁN 2 VÀ LỜI GIẢI
TIẾP CẬN PP QUI NẠP TOÁN HỌC TỪ BÀI TOÁN 2
I.PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
II. CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG - VÍ DỤ 1 (BÀI TOÁN 1)
GIẢI VÍ DỤ 1
VÍ DỤ 2 VÀ LỜI GIẢI
CHÚ Ý - VÍ DỤ 3
GIẢI VÍ DỤ 3
VÍ DỤ 4 VÀ LỜI GIẢI
SLIDE CUỐI






MỤC TIÊU:
? Về kiến thức :
- Giúp học sinh có khái niệm về quy nạp toán học
- Giúp học sinh Nắm được phương pháp quy nạp toán học
? Về kỹ năng :
Giúp học sinh biết cách vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các bài toán cụ thể đơn giản.

CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ:
GV : Dụng cụ dạy học; phiếu học tập, giaó án.
HS : Dụng cụ học tập ; tìm hiểu bài mới.

PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:
Gợi mở vấn đáp; đan xen hoạt động nhóm.
Có thể kết luận Sn = 1 + 3 + 5 + ...+ (2n-1) = n2
với mọi n ? ?* hay không .Tại sao ?
Ta có : S1 = 1
S2 = 1+ 3 = 4
S3 = 1+ 3 + 5 = 9
S4 = 1+ 3 + 5 + 7 = 16
=12
= 22
= 32
= 42
Bài toán 1:
Tính t?ng Sn = 1+ 3 + 5+ ... + (2n - 1) với n ? ?*
1) Hãy kiểm tra P(1) đúng .
2) Chứng minh rằng nếu P(n) đúng v?i n = k ? 1
thì P(n) cũng đúng v?i n = k + 1 .
Giải
ta chứng minh P(k +1) cung đúng, th?t v?y do (*):
suy ra P(n) cung đúng v?i n = k+1
1) Hãy kiểm tra (1) đúng v?i n = 1 .
2) Chứng minh rằng nếu (1) đúng v?i n = k ? 1
thì (1) cũng đúng v?i n = k + 1 .
3) Từ các kết quả trên có thể khẳng định được
mệnh đề trên đúng với mọi n??* hay không ?
Nhờ việc kiểm nghiệm (1) đúng khi n = 1 và kết
quả chứng minh trên, ta có thể suy ra:
Do P(1) đúng nên P(2) đúng .
P(2) đúng nên P(3) đúng .
P(3) đúng nên P(4) đúng ....
Vậy P(n) đúng với mọi n ??* .
Bước 1 (bước cơ sở):
Kiểm tra rằng P(n) đúng với n = 1 .
Bước 2 (bứớc qui nạp):
Giả sử P(n) đúng với n = k ? 1 ( giả thiết quy nạp ),
Cho mệnh đề P(n) phụ thuộc n??*.
Để chứng minh P(n) đúng với mọi n??* ta có thể
thực hiện các bước sau đây :
ta chứng minh P(n) cũng đúng với n = k + 1 .
I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP
Đây là phương pháp chứng minh quy nạp toán học
( gọi tắt là phương pháp quy nạp )
Kết luận P(n) đúng với mọi n??* .
II. VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1: Chứng minh rằng :
Với mọi n??*: 1+3+5+ ... +(2n - 1) = n2 (1)
Bước 1: Với n = 1: S1 = 1 = 12 .
Vậy (1) đúng với n = 1 .
Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k ? 1
Sk = 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2 (giả thiết quy nạp)
Ta chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1
tức là :
Vậy hệ thức (1) đúng với mọi n??* .
= Sk + 2k + 1
= k2 + 2k + 1 = ( k + 1)2
Ta có: Sk+1 = 1 + 3 + 5 +...+ (2k - 1) + [2(k +1) - 1]
Với mọi n??*: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 (1)
Sn
Sk+1 = (k +1)2
Ví dụ 2: Chứng minh rằng
Với mọi số nguyên dương n, ta có : 2n > n
Giải
Đặt P(n) = " 2n > n "
n = 1 : 21 > 1 ? P(1) đúng
Nếu P(k) đúng : 2k > k (1)
ta chứng minh P(k +1) đúng :
Ta có : (1) ? 2.2k > 2k
mà 2k = k + k ? k +1
Vậy: 2k+1 > k + 1 , suy ra P(k +1) đúng .
KL: ?n??* :2n > n
Nếu chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi
số tự nhiên n ? p (p là số tự nhiên ) thì ở:
Bước 1: ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p .
Bước 2: Trong giả thiết qui nạp phải nêu n ?k
với k là số nguyên dương tuỳ ý lớn hơn hay bằng p
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng :
Với mọi n?? :
n3 + 3n2 + 5n + 3 chia hết cho 3 .
Đặt an = n3 + 3n2 + 5n + 3
Ta có: ak + 1 = (k + 1)3 + 3(k +1)2 + 5(k +1) + 3
= k3 + 3k2 + 5k + 3 + 3k2 + 9k + 9
= ak + 3(k2 + 3k + 3)
Vậy an = n3 + 3n2 + 5n + 3 chia hết cho 3 với mọi n?? .
Với mọi n?? : n3 + 3n2 + 5n + 3 chia hết cho 3 .
Bước 1: Với n = 0 : a0 = 3 . Suy ra a0 chia hết cho 3
Ta chứng minh : ak+1 chia h?t cho 3
Ví dụ 4 : Với giá trị nào của số tự nhiên n
ta có : n n +1 > (n + 1)n .
n = 1 : 12 > 21 (sai) . n = 2 : 23 > 32 (sai)
n = 3 : 34 > 43 (đúng ) . n = 4 : 45 > 54 (đúng)
Dự đoán : nn+ 1 > (n + 1)n , ?n ? ? , n ? 3 (* )
Bước 1 : n = 3 : 34 > 43 .Vậy (* ) đúng với n = 3 .
Bước 2 :Giả sử (*) đúng với n = k ? 3 : kk + 1 > (k + 1)k (1)
Ta chứng minh (*) đúng với n = k +1 : (k+1)k + 2 > (k +2)k + 1 (2)
Vậy : nn + 1 > (n + 1)n với mọi n ? ? , n?3
Suy ra (2) đúng.
 
Gửi ý kiến