CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI
BUỔI HỌC NGÀY HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Hình 96 minh họa một miếng bìa phẳng
có dạng hình tam giác đặt thăng bằng
trên đầu ngón tay tại điểm G.
Điểm G được xác định như thế nào?

CHƯƠNG VII. TAM GIÁC
BÀI 10: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG
TUYẾN CỦA TAM GIÁC

NỘI DUNG BÀI HỌC

1

2

Đường trung tuyến của tam giác

Tính chất ba đường trung tuyến của
tam giác

1. Đường trung tuyến của tam giác
Thảo luận nhóm hoàn thành HĐ1
HĐ 1: Quan sát Hình 97 và cho biết các đầu mút của đoạn thẳng AM
có đặc điểm gì.

Giải
Ta thấy điểm A là một đỉnh của tam giác ABC,
điểm M là trung điểm của cạnh BC.

KẾT LUẬN
Trong tam giác ABC (Hình 97),
đoạn thẳng AM nói đỉnh A với
trung điểm M của cạnh BC được
gọi là đường trung tuyến (xuất
phát từ đỉnh A hoặc tương ứng với
cạnh BC).
Chú ý: Đôi khi, đường thẳng AM cũng được gọi là đường
trung tuyến của tam giác ABC.

Ví dụ 1 (SGK – tr104)
Trong ba đoạn thẳng AM, DN, CP (Hình 98), đoạn thẳng nào là đường
trung tuyến của tam giác ABC?
Giải
- Đoạn thẳng

là đường trung tuyến của

tam giác vì là đỉnh của tam giác và là
trung điểm của cạnh .

Giải
- Đoạn thẳng không là đường trung tuyến của
tam giác vì cả và không là đỉnh của tam
giác .
- Đoạn thẳng không là đường trung tuyến của
tam giác vì là đinh của tam giác mà không
là trung điểm của cạnh .

Ví dụ 2 (SGK – tr104)
Cho tam giác (Hình 99). Vẽ các đường trung tuyến của tam giác đó.
Giải
K

H
I

• Vẽ lần lượt là trung điểm của các cạnh .
• Vẽ các đoạn thẳng . Các đoạn thẳng đó
là các đường trung tuyến của tam giác
(Hình 100).

Nhận xét: Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

LUYỆN TẬP 1
Trong Hình 101, đoạn thẳng là đường trung tuyến của những tam giác nào?
Giải
• K là đỉnh của tam giác AKC, H là trung điểm
của cạnh AC nên KH là đường trung tuyến
của tam giác AKC.
• H là đỉnh của tam giác BHC, K là trung điểm
của cạnh BC nên HK là đường trung tuyến
của tam giác BHC.

2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
HĐ2: Quan sát các đường trung tuyến của tam giác trong Hình 102,
cho biết ba đường trung tuyến đó có cùng đi qua một điểm hay không.
Giải
Ta thấy ba đường trung tuyến AM, BN, CP
của tam giác ABC cùng đi qua điểm G.

KẾT LUẬN
Định lí:
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó
được gọi là trọng tâm của tam giác.
Chú ý:
Trong tam giác ABC, ba đường trung tuyến Am, BN, CP cùng đi qua
điểm G, ta còn nói chúng đồng quy tại điểm G. Do đó, để xác định trọng
tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung tuyến bất kì và xác
định giao điểm của hai đường đó.

Ví dụ 3 (SGK – tr105)
Cho tam giác có hai đường trung tuyến và cắt nhau tại . Đường
thẳng cắt tai (Hình 103). Chứng minh rằng là trung điểm của cạnh .
Giải
Hai đường trung tuyến và cắt nhau tại
nên là trọng tâm của tam giác . Vì nên là
đường trung tuyến của tam giác . Vậy là
trung điểm của cạnh .

LUYỆN TẬP 2
Cho tam giác có hai đường trung tuyến và cắt nhau tai . Gọi là trung
điếm của cạnh . Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.
Giải
Tam giác PQR có hai đường trung tuyến
QM và RK cắt nhau tại G nên G là trọng
tâm của tam giác PQR.

Giải

I là trung điểm của cạnh QR nên PI là
đường trung tuyến của tam giác PQR.

Các đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua trọng tâm
của tam giác nên P, G, I thẳng hàng.

HĐ 3:
Quan sát các đường trung tuyến AM,BN,CP của tam giác ABC trong
Hình 104. Bằng cách đếm số ô vuông, tìm các tỉ số

𝐴𝐺 𝐵𝐺 𝐶𝐺
,
,
.
𝐴𝑀 𝐵𝑁 𝐶𝑃
Giải
Đếm số ô vuông trong Hình 104, ta thấy:

NHẬN XÉT

Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng
2
bằng 3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Ví dụ 4 (SGK – tr106)

Quan sát Hình 105 và tìm số thích hợp cho ..?..
.
Giải

Tam giác có là giao điểm của hai đường trung tuyến
và nên là trọng tâm của tam giác.
Suy ra .
Ta có:
hay .
Từ đó suy ra . Tương tự, ta có

CHÚ Ý

Trong tam giác , với là đường trung tuyến và là
trọng tâm ta có:

𝐺𝑀 1 𝐺𝑀 1
= , =
𝐴𝑀 3 𝐺𝐴 2

Ví dụ 5 (SGK – tr106)
Cho tam giác có hai đường trung tuyến và cắt nhau tại trọng tâm . Gọi
và lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh:
a)

b) .
Giải
a) Vì là trọng tâm của tam giác nên

1
1
𝐺𝑀 = 𝐺𝐵 , 𝐺𝑁= 𝐺𝐶 .
2
2
Vì lần lượt là trung điểm của nên

1
1
𝐺𝑃= 𝐺𝐵 ,𝐺𝑄= 𝐺𝐶.
2
2

Giải
Suy ra: .
Xét hai tam giác và , ta có:
Suy ra (c.g.c).
b) Vì nên (hai góc tương ứng), mà chúng ở vị trí so le trong
nên .

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hình vẽ, điền số thích hợp vào chỗ chấm: BG = …. GN

A. 2

B.

C.

D.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 2. Cho G là trọng tâm tam giác MNP với đường trung tuyến MI.
Câu nào sau đây đúng.
A.

B.

C.

D.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 3. Chọn câu trả lời sai
A. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
B. Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm.
C. Để xác định trọng tâm của một tam giác ta có thể tìm giao của hai
đường trung tuyến của tam giác đó.
D. Một tam giác có thể có nhiều trọng tâm.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 4. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, đường trung tuyến AD.
Trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho DM = AD. Khẳng định nào là
đúng trong số các khẳng định dưới đây?
A. D là trung điểm của GM.
B. G là trung điểm của AD.
C.
D.
 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 5. Cho tam giác ABC. Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó,
lấy hai điểm D và E sao cho AD = DE = EM. Gọi O là trung điểm của
đoạn thẳng DE. Khi đó trọng tâm của tam giác ABC là:
A. Điểm D

B. Điểm E

C. Điểm O

D. Cả A, B, C đều sai

LUYỆN TẬP

Bài 1. (SGK – tr.107)

Cho tam giác . Ba đường trung tuyến đồng quy tại . Chứng minh:

2
𝐺𝐴+𝐺𝐵+𝐺𝐶= ( 𝐴𝑀+𝐵𝑁 +𝐶𝑃).
3

Giải

Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM,
BN, CP cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của
tam giác ABC nên:
.
Do đó

LUYỆN TẬP

Bài 2. (SGK – tr.107)

Cho tam giác cân tại , hai đường trung tuyến và cắt nhau tại . Chứng minh:
a) ;

b) cân tại .
Giải

a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và
Do BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác
ABC nên M là trung điểm của AC và N là trung điểm
của AB.

Giải
Do đó BN = MC.
Xét ∆NBC và ∆MCB có:
BN = MC (chứng minh trên).
BC chung.
Do đó ∆NBC = ∆MCB (c - g - c).
Suy ra BM = CN (2 cạnh tương ứng).

Giải
b) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến
BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm
của tam giác ABC.
Khi đó
Mà BM = CN nên GB = GC.
Tam giác GBC có GB = GC nên tam giác
GBC cân tại G.

LUYỆN TẬP

Bài 3. (SGK – tr.107)

Cho tam giác có hai đường trung tuyến và cắt nhau tại . Trên tia đối của tia
lấy điểm sao cho . Chứng minh:
a) ;

b)

c) .

Giải
a) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến
AM, BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của
tam giác ABC.
Khi đó
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho
MD = MG nên M là trung điểm của GD.
Suy ra 

Giải
b) Do M là trung điểm của GD nên MG = MD.
Xét ∆MBG và ∆MCD có:
MB = MC (theo giả thiết).
(2 góc đối đỉnh)
MG = MD (chứng minh trên).
Do đó ∆MBG = ∆MCD (c - g - c).
c) Do ∆MBG = ∆MCD (c - g - c) nên CD = BG (2 cạnh tương ứng).
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG = 2GN.
Mà CD = BG nên CD = 2GN.

LUYỆN TẬP

Bài 4. (SGK – tr.107)

Cho tam giác có hai đường trung tuyến và cắt nhau tại .
Gọi là hình chiếu của lên đường thẳng . Giả sử là trung điểm của đoạn
thẳng . Chứng minh:
a)
b)

Giải
a) Do H là hình chiếu của A trên BC nên
AH ⊥ BC.
Xét ∆AHB vuông tại H và ∆AHM vuông tại
H có:
AH chung.
HB = HM (theo giả thiết).
Do đó ∆AHB = ∆AHM (2 cạnh góc vuông).

Giải
b) Do ∆AHB = ∆AHM (2 cạnh góc vuông)
nên AB = AM (2 cạnh tương ứng).
∆ABC có hai đường trung tuyến AM, BN
cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của
∆ABC.
Suy ra
Mà AB = AM nên .

VẬN DỤNG
Bài 5. (SGK – tr.107)
Hình 107 là mặt cắt đứng của một ngôi nhà ba tầng có mái
dốc. Mỗi tầng cao 3,3 m. Mặt cắt mái nhà có dạng tam giác
cân tại với đường trung tuyến dài . Tại vị trí là trọng tâm
tam giác , người ta làm tâm cho một cửa sổ có dạng hình
tròn.
a) có vuông góc với không? Vì sao?
b) Vị trí ở độ cao bao nhiêu mét so vơii mặt đất?

Giải
a) ∆ABC cân tại A nên AB = AC và 
AH là đường trung tuyến của ∆ABC nên H là
trung điểm của BC.
Do đó BH = CH.
Xét ∆ABH và ∆ACH có:
AB = AC (chứng minh trên).
(chứng minh trên)
BH = CH (chứng minh trên).

Suy ra ∆ABH = ∆ACH
(c - g - c).

Giải
Suy ra (2 góc tương ứng)
Mà nên hay AH ⊥ BC.
b) Do O là trọng tâm của tam giác ABC nên
.
Do mỗi tầng cao 3,3 m nên vị trí O ở độ cao
0,4 + 3,3 . 3 = 10,3 m so với mặt đất.

CÓ THỂ EM CHƯA BIẾT
Tính chất khác của trọng tâm tam giác.
• Nếu nối ba đỉnh của tam giác ABC với trọng tâm G của tam
giác đó thì tam giác ABC chia thành ba tam giác nhỏ GAB,
GCA, GBC có diện tích bằng nhau.
• Điểm đặt G làm cho miếng bìa hình
tam giác giữ thăng bằng trên đầu
ngón tay (trong phần mở đầu bài học)
chính là trọng tâm tam giác đó.

BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 1. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy
điểm D sao cho MA = MD. Trên đoạn MC lấy điểm N sao cho  ; AN và CD cắt
nhau tại E. Chứng minh E là trung điểm của CD.
Câu 2. Cho tam giác ABC cân tại A có hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại
G. Chứng minh:
a) BM = CN
b) Tam giác GBC là tam giác cân.
c) AG vuông góc với BC.

BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 3. Chứng minh kết quả tính chất đầu tiên của trọng tâm được nêu trong
phần Có thể em chưa biết (SGK -tr107) :
Nếu nối ba đỉnh của tam giác ABC với trọng tâm G của tam giác đó thì tam
giác ABC chia thành ba tam giác nhỏ GAB, GCA, GBC có diện tích bằng nhau.

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

* Chuẩn bị trước
* Ghi nhớ

* Hoàn thành các

"Bài 11: Tính chất ba

kiến thức trong bài.

bài tập trong SBT.

đường phân giác của
tam giác"

CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý
LẮNG NGHE BÀI GIẢNG!