CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Bạn Ngân gấp một miếng bìa hình tam giác để các nếp gấp tạo thành ba
tia phân giác của các góc ở đỉnh của tam giác đó.

Topics

Ba nếp gấp đó có đặc điểm gì?

Requireme
nts

CHƯƠNG VII: TAM GIÁC
BÀI 11: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN
GIÁC CỦA TAM GIÁC

NỘI DUNG BÀI HỌC
01

Đường phân giác của tam giác

02

Tính chất ba đường phân giác của tam giác

01
Đường phân giác
của tam giác

HĐ 1:
Trong tam giác , tia phân giác của góc cắt cạnh tại điểm (Hình 110).
Các đầu mút của đoạn thẳng có đặc điểm gì?
Giải
A là đỉnh của tam giác ABC, D là giao
điểm của đường phân giác của góc và
cạnh BC.
THẢO LUẬN NHÓM

KẾT LUẬN
Trong tam giác tia phân giác của góc cắt
cạnh tại điểm . Khi đó, đoạn thẳng được
gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh )
của tam giác .
* Chú ý:
Đôi khi đường thẳng AD cũng được gọi là
đường phân giác của tam giác ABC.

Ví dụ 1 (SGK – tr108)
Trong hai đoạn thẳng AD, BE (Hình 111), đoạn thẳng nào là đường
phân giác của tam giác ?

Giải
- Đoạn thẳng là đường phân giác của
tam giác vì là giao điểm của tia phân
giác góc với cạnh .
- Đoạn thẳng không là đường phân giác
của tam giác vì không là tia phân giác
góc của tam giác .

Ví dụ 2 (SGK – tr108)
Cho tam giác cân tại . Vẽ đường trung tuyến . Chứng minh cũng là
đường phân giác của tam giác đó.
Giải
Xét hai tam giác và có:
là cạnh chung
Suy ra (c.c.c).
Do đó (hai góc tương ứng).
Vậy là đường phân giác của tam giác .

LUYỆN TẬP 1
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD
cũng là đường trung tuyến của tam giác đó.
Giải
Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Do AD là đường phân giác của ∆ABC nên .
Xét ∆ABD và ∆ACD có:
AB = AC (chứng minh trên)

^
^
𝐵𝐴𝐷=𝐶𝐴𝐷
AD chung.

Suy ra ∆ABD = ∆ACD
(c - g - c)

LUYỆN TẬP 1
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD
cũng là đường trung tuyến của tam giác đó.
Giải
Suy ra BD = CD (2 cạnh tương ứng).
Mà D nằm giữa B và C nên D là trung điểm của
BC hay AD là đường trung tuyến của ∆ABC.

Ví dụ 3 (SGK – tr109)
Cho tam giác . Vẽ các đường phân giác của tam giác đó.
Hướng dẫn
• Ta vẽ đường phân giác

của

tam giác như sau:
- Bước 1. Bằng thước thẳng và
compa vē tia phân giác

của

góc .
- Bước 2. Vẽ là giao điểm của
tia với cạnh .

• Ta vẽ các đường phân giác xuất phát
từ đỉnh và đỉnh của tam giác bằng
cách tương tự.

Nhận xét: Mỗi tam giác có ba đường phân giác.

02
Tính chất ba đường phân
giác của tam giác

HĐ 2:

Thảo luận nhóm hoàn thành HĐ2

Quan sát các đường phân giác của tam giác (Hình 114), cho biết ba
đường phân giác đó có cùng đi qua một điểm hay không.
Giải
Ta thấy ba đường phân giác AD, BE, CK
của tam giác ABC cùng đi qua điểm I.

KẾT LUẬN
Định lí:
Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm

Nhận xét:
Để xác định giao điểm ba đường phân giác của một tam giác,
ta chỉ cần vẽ hai đường phân giác bất kì và xác định giao điểm
của hai đường đó.

Ví dụ 4 (SGK – tr110)
Tam giác có hai đường phân giác và cắt nhau tại . Điểm có nằm
trên tia phân giác của góc không? Vì sao?
Giải
Vì ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm nên
giao điểm của hai đường phân giác và cũng thuộc đường phân
giác xuất phát từ đỉnh .
Vậy điểm nằm trên tia phân giác của góc .

LUYỆN TẬP 2

Tìm số đo trong Hình 115.
Giải
Ta thấy đường phân giác của góc B và góc C
cắt nhau tại I nên I là giao điểm ba đường phân
giác của tam giác ABC.
Do đó AI là đường phân giác của .

HĐ 3:
Quan sát giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác (Hình
116 ) và so sánh độ dài ba đoạn thẳng
Giải
IP = IM = IN.

Nhận xét:
Giao điểm ba đường phân giác của một tam giác cách đều
ba cạnh của tam giác đó.

KẾT LUẬN
Trong tam giác ABC, ba đường phân giác cùng đi qua
một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác.

CHỨNG MINH
Vẽ các đường phân giác của các góc và cắt nhau tại . Gọi lần lượt là
hình chiếu của trên các cạnh (Hình 117).
Giải
Vì I nằm trên tia phân giác của góc nên .
Tương tự ta có .
Suy ra .
Do đó điểm nằm trên đường phân giác của
góc .

CHỨNG MINH
Vẽ các đường phân giác của các góc và cắt nhau tại . Gọi lần lượt là
hình chiếu của trên các cạnh (Hình 117).
Giải
Vậy ba đường phân giác của tam giác cùng đi
qua điểm .
Mặt khác, ta có: .
Vậy điểm cách đều ba cạnh của tam giác .

Ví dụ 5 (SGK – tr120)
Cho tam giác vuông tại có điểm là giao điểm của các đường phân
giác của các góc và . Gọi lần lượt là hình chiếu của điểm trên các
cạnh , . Cho biết (Hình 118). Tính độ dài các đoạn thẳng .

Giải

Do điểm là giao điểm của các đường phân giác
của các góc và nên cũng là giao điểm ba đường
phân giác của tam giác .
Vì thế .
Trong tam giác vuông , ta có:
Tức là .

Giải

Trong tam giác vuông , ta có:
nên .
Suy ra tam giác là tam giác vuông cân tại .
Do đó .
Vậy .

LUYỆN TẬP 3
Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. M, N, P
lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN.
Giải

• Chứng minh IA là đường trung trực của NP.
Do IP = IN nên I thuộc đường trung trực
của NP.

Giải

Xét ∆AIP vuông tại P và ∆AIN vuông tại N có:
AI chung.

Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền -

IP = IN (theo giả thiết).

cạnh góc vuông).

Suy ra AP = AN (2 cạnh tương ứng).
Do AP = AN nên A thuộc đường trung trực của NP.
Do đó IA là đường trung trực của NP.

Giải

• Chứng minh IB là đường trung trực của PM.
Do IP = IM nên I thuộc đường trung trực của PM.
Xét ∆BIP vuông tại P và ∆BIM vuông tại M có:
BI chung.
IP = IM (theo giả thiết).
Do đó ∆BIP = ∆BIM (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra BP = BM (2 cạnh tương ứng).
Do BP = BM nên B thuộc đường trung trực của PM.
Do đó IB là đường trung trực của PM.

Giải

• Chứng minh IC là đường trung trực của MN.
Do IM = IN nên I thuộc đường trung trực của MN.
Xét ∆CIM vuông tại M và ∆CIN vuông tại N có:
CI chung.
IM = IN (theo giả thiết).
Do đó ∆CIM = ∆CIN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra CM = CN (2 cạnh tương ứng).
Do CM = CN nên C thuộc đường trung trực của MN.
Do đó IC là đường trung trực của MN

LUYỆN TẬP

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho tam giác ABC có . Hai tia phân giác của góc B và C cắt
nhau ở O. Số đo góc BAO là:

A. 25o

B. 30o

C. 35o

D. 40o

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 2: Cho  cân tại A, trung tuyến AM. Gọi D là một nằm giữa A và
M. Khi đó  là tam giác gì?
A. Tam giác cân

B. Tam giác đều

C. Tam giác vuông

D. Tam giác vuông cân 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 3: Cho  có  các tia phân giác  và  cắt nhau tại I. Gọi D, E là chân
các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh AB và AC. Khi đó ta có:
A. AI là đường cao của 
B. IA = IB = IC
C. AI là đường trung tuyến của 
D. ID = IE

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 4: Cho ΔABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là giao
điểm của các đường phân giác tam giác. Khi đó ta có
A. I cách đều ba đỉnh của ΔABC
B. A, I, G thẳng hàng
C. G cách đều ba cạnh của ΔABC
D. Cả 3 đáp án trên đều đúng.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 5: Cho ΔABC, các tia phân giác của góc B và A cắt nhau tại O.
Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M, cắt AC ở N.
Cho BM = 2cm, CN = 3cm. Tính MN?
A. 5cm

B. 6cm

C. 7cm

D. 8cm

Bài 1. (SGK – tr.111)
Tam giác có ba đường phân giác cắt nhau tại . Gọi lần lượt là hình chiếu
của trên các cạnh .
a) Các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân không? Vì sao?
b) Các tam giác có là tam giác cân không? Vì sao?

Giải
a) Tam giác ABC có I là giao điểm ba
đường phân giác nên I cách đều 3 cạnh
của tam giác ABC.
Do đó IM = IN = IP.
Do IM = IN nên tam giác IMN cân tại I.
Do IN = IP nên tam giác INP cân tại I.
Do IP = IM nên tam giác IPM cân tại I.

b) Xét ∆AIP vuông tại P và ∆AIN vuông tại N có:
AI chung.
IP = IN (theo giả thiết).
Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra AP = AN (2 cạnh tương ứng).
Tam giác ANP có AP = AN nên tam giác ANP cân tại A.
• Xét ∆BIP vuông tại P và BIM vuông tại M có:
BI chung.
IP = IM (theo giả thiết).
Do đó ∆BIP = ∆BIM (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra BP = BM (2 cạnh tương ứng).
Tam giác BPM có BP = BM nên tam giác BPM cân tại B.
• Xét ∆CIM vuông tại M và ∆CIN vuông tại N có:
CI chung.
IM = IN (theo giả thiết).
Do đó ∆CIM = ∆CIN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra CM = CN (2 cạnh tương ứng).
Tam giác CMN có CM = CN nên tam giác CMN cân tại C.

Bài 2. (SGK – tr.111)
Tam giác có ba đường phân giác cắt nhau tại . Chứng minh:
a)

b)
Giải
a) Do AI là đường phân giác của nên
Do BI là đường phân giác của nên

Do CI là đường phân giác của nên . Suy ra:

1
^
^
^
^
^
^
𝐼𝐴𝐵+ 𝐼𝐵𝐶+ 𝐼𝐶𝐴= ( 𝐵𝐴𝐶+ 𝐴𝐵𝐶+ 𝐴𝐶𝐵 )
2
b) Trong tam giác ABC, ta có nên:
Do đó

1^
^
^
^
𝐼𝐵𝐶 + 𝐼𝐶𝐵=90 ° − 𝐼𝐴𝐵=90 ° − 𝐵𝐴𝐶
2
Trong tam giác BIC: nên:
𝑜

(

)

1
1
𝑜
^
^
^
^
^
𝐼𝐶=18 0 − ( 𝐼𝐵𝐶+ 𝐼𝐶𝐵 )=18 0 − 9 0 − 𝐵𝐴𝐶 =9 0 + 𝐵𝐴𝐶
2
2
𝑜

𝑜

Bài 3. (SGK – tr.111)
Tam giác có ba đường phân giác cắt nhau tại và .
a) Chứng minh ;

b) So và IC.
Giải
a) Xét tam giác ABC có AB < AC
nên 
Do BI là đường phân giác của nên
.

Bài 3. (SGK – tr.111)
Tam giác có ba đường phân giác cắt nhau tại và .
a) Chứng minh ;

b) So và IC.
Giải
Do CI là đường phân giác của nên
Do nên .
Do đó

Bài 3. (SGK – tr.111)
Tam giác có ba đường phân giác cắt nhau tại và .
a) Chứng minh ;

b) So và IC.
Giải
b) Do (theo s), mà nên
Tam giác BIC có nên IB < IC.

CÓ THỂ EM CHƯA BIẾT
Trong tam giác ABC, vẽ đường tròn có tâm I là giao điểm của ba đường
phân giác và bán kính r bằng khoảng cách từ điểm I đến ba cạnh của
tam giác.
Ta gọi đường tròn trên là đường tròn
nội tiếp tam giác ABC và điểm O là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác đó.

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
* Chuẩn bị trước
* Ghi nhớ

* Hoàn thành các

"Bài 12: Tính chất

kiến thức trong bài.

bài tập trong SBT.

ba đường trung
trực của tam giác".

CẢM ƠN CÁC EM
ĐÃ THAM GIA BÀI HỌC!