CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC
HÔM NAY!

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VII

TRÒ CHƠI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho tam giác có . Khi đó, bằng

A.

C.

B.

D.

GV chọn đáp án đúng bằng cách bấm vào từng ô đáp án

TRÒ CHƠI TRẮC NGHIỆM
Câu 2. Cho tam giác nhọn có trực tâm . Khi đó, góc bằng góc
nào sau đây?

A. Góc HPN

C. Góc MPN

B. Góc NMP

D. Góc NHP

TRÒ CHƠI TRẮC NGHIỆM
Câu 3. Cho tam giác có với . Khi đó, nhận giá trị nào?

A. 1

C. 3

D. 4

TRÒ CHƠI TRẮC NGHIỆM
Câu 4. Nếu tam giác có trọng tâm , đường trung tuyến thì
tỉ số bằng

A.

C.

B.

D.

TRÒ CHƠI TRẮC NGHIỆM
Câu 5. Cho hai tam giác ABC có . Cần thêm một điều kiện để tam
giác ABC và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh
- góc là :
A. AC = MN

B. AB = MP

C. BC = NP

D. AB = MN

TRÒ CHƠI TRẮC NGHIỆM
Câu 6. Cho tam giác có  Các đường trung trực của AB và AC cắt
cạnh BC lần lượt tại E Và F. Khi đó, số đo góc EAF bằng :

A. 

C. 

B. 

D. 

TRÒ CHƠI TRẮC NGHIỆM
Câu 7. Trong các hình 62a, 62b, 62c, 62d, hình nào có điểm cách
đều các đỉnh của tam giác đó?

A. Hình 62a

B. AB = MP

C. BC = NP

D. AB = MN

HOẠT ĐỘNG NHÓM
Vẽ sơ đồ tổng kết kiến thức chương với các nội dung:
- Tổng các góc trong một tam giác.
- Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác.
- Bất đẳng thức tam giác.
- Hai tam giác bằng nhau.
- Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác.
- Tam giác cân.

HOẠT ĐỘNG NHÓM
Vẽ sơ đồ tổng kết kiến thức chương với các nội dung:
- Đường vuông góc và đường xiên.
- Đường trung trực của đoạn thẳng.
- Tính chất của các đường đồng quy trong tam giác:
đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung
trực, đường cao.

LUYỆN TẬP

Bài 1. (SGK – trang 119) Cho tam giác có: .
a) Tính .

b) So sánh độ dài các cạnh .
Giải
a) Trong tam giác ABC:
b) Do nên
Do đó CA < BC < AB

Bài 2. (SGK – trang 119) Tìm các số đo trong Hình 140.
Giải
Tam giác ABO có OA = AB = BO nên
tam giác ABO đều.
Do đó x = 60°.
Tam giác OAC có OA = OC nên
tam giác OAC cân tại O.
Do đó .
Ta có: là góc ngoài tại đỉnh O của tam giác OAC nên
hay x = 2y. Do đó y = 30o.

Bài 3. (SGK – trang 119)
Bạn Hoa đánh dấu ba vị trí trên một
phần sơ đồ xe buýt ở Hà Nội năm
2021 và xem xe buýt có thể đi như
thế nào giữa hai vị trí và . Đường
thứ nhất đi từ đến và đi tiếp từ
đến , đường thứ hai đi từ đến (Hình
141). Theo em, đường nào đi dài
hơn? Vì sao?

Giải
Ba vị trí A, B, C tạo thành ba đỉnh
của tam giác ABC.
Khi đó trong tam giác ABC:
AB < AC + CB
Vậy đường thứ nhất dài hơn đường
thứ hai.

Bài 4. (SGK – trang 119)
Cho hai tam giác và có: , . Gọi và lần lượt là trung điểm của và .
Chứng minh .

Giải

• Xét ∆ABC và ∆MNP có:
AB = MN (theo giả thiết)
BC = NP (theo giả thiết)
CA = PM (theo giả thiết)
Suy ra 

Do đó ∆ABC = ∆MNP (c - c - c)

Giải

Do I, K lần lượt là trung điểm của BC và NP mà BC = NP nên CI = PK.
• Xét ∆ACI và ∆MPK có:
AC = MP (theo giả thiết).
Do đó ∆ACI = ∆MPK (c - g - c)
CI = PK (chứng minh trên).
Suy ra AI = MK (2 cạnh tương ứng).

Bài 5. (SGK – trang 119)
Cho Hình 142 có là trung điểm của đoạn thẳng và nằm giữa hai
điểm . Chứng minh:
a) Nếu thì ;
b) Nếu thì .
Giải
a) Xét ∆AOM và ∆BON có:
AO = BO (theo giả thiết).
Do đó ∆AOM = ∆BON (c - g - c.
OM = ON (theo giả thiết).

Giải
Suy ra
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên
AM // BN.
b) Do AM // BN nên (2 góc so le trong).
Xét ∆AOM và ∆BON có:
AO = BO
(2 góc đối đỉnh)

Suy ra ∆AOM = ∆BON (g - c - g)
Suy ra OM = ON
(2 cạnh tương ứng)

Bài 6. (SGK – trang 119)
Cho tam giác cân tại có . Hai đường cao và cắt nhau tại .
a) Tính số đo các góc còn lại của tam giác .
b) Chứng minh .
c) Chứng minh tia là tia phân giác của góc .

Giải
a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và .
Trong tam giác ABC:

Giải
b) Xét ∆ADB vuông tại D và ∆AEC vuông tại E có:
AB = AC (chứng minh trên)
chung
Do đó ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền - góc nhọn).
Suy ra BD = CE (2 cạnh tương ứng).

Giải
c) Do ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền - góc nhọn) nên
AD = AE (2 cạnh tương ứng).
Xét ∆AEH vuông tại E và ∆ADH vuông tại D có:
AE = AD (chứng minh trên).
AH chung.
Do đó ∆AEH = ∆ADH (Ch - cgv).
Suy ra (2 góc tương ứng).
Do đó AH là tia phân giác của góc

Bài 7. (SGK – trang 119)
Cho hai tam giác nhọn và , trong đó ba điểm thẳng hàng. Hai
đường cao và của tam giác cắt nhau tại , hai đường cao và của
tam giác cắt nhau tại (Hình 143). Chứng minh AI // EK.

Giải
Tam giác ABC có hai đường cao BM và CN cắt nhau tại I
nên I là trực tâm của tam giác ABC.
Suy ra AI ⊥ BC.
Tam giác ECD có hai đường cao CP và DQ cắt nhau tại K
nên K là trực tâm của tam giác ECD.
Suy ra EK ⊥ CD.
Do B, C, D thẳng hàng nên AI ⊥ BC suy ra AI ⊥ BD.
EK ⊥ CD nên EK ⊥ BD.
Do đó AI // EK.

Bài 8. (SGK – trang 120)
Cho tam giác có là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm
lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc vơi , hai trong ba đường đó lần
lượt cắt nhau tại (Hình 144). Chứng minh:
a) và tia là tia phân giác của góc NMP;
b)

là giao điểm ba đường phân giác

của tam giác MNP.

Giải
a) Do O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên
OA = OB = OC
Xét ∆OMA vuông tại A và ∆OMB vuông tại B có:
OM chung
OA = OB (chứng minh trên)
Do đó ∆OMA = ∆OMB (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra
Do đó MO là tia phân giác của hay MO là tia phân giác của

b) Xét ∆OPA vuông tại A và ∆OPC vuông tại C có:
OP chung
OA = OC (chứng minh trên)
Do đó ∆OPA = ∆OPC (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra
Do đó PO là tia phân giác của góc CPA hay PO là tia phân giác của
góc NPM.
• Trong tam giác NMP có O là giao điểm hai đường phân giác của
góc M và góc P.
Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Bài 9. (SGK – trang 120)
Cho tam giác có là trọng tâm, là trực tâm, là giao điểm của ba đường
phân giác, là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm phân biệt.
Chứng minh rằng:
a) Nếu tam giác cân tại thì các điểm cùng nằm trên một đường thẳng;
b) Nếu các điểm cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác cân tại .

Giải

Gọi K là trung điểm của BC.
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên A, G, K
thẳng hàng (1).
Do K là trung điểm của BC nên BK = CK.
Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và
• Xét ∆AKB và ∆AKC có:
AK chung
BK = CK (chứng minh trên)
AB = AC (chứng minh trên)

∆AKB = ∆AKC
(c - c - c)

Suy ra  mà nên
Do đó AK ⊥ BC.
• H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.
Ta có AK ⊥ BC và AH ⊥ BC nên A, H, K thẳng hàng (2).
• O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.
Xét ∆OKB và ∆OKC có:
OK chung.
OB = OC (chứng minh trên)
BK = CK (chứng minh trên)
Do đó ∆OKB = ∆OKC (c - c - c).

Suy ra mà nên .
Do đó OK ⊥ BC.
Lại có AK ⊥ BC nên A, O, K thẳng hàng (3).
• Do BI là tia phân giác của nên .
Do CI là tia phân giác của nên .
Mà nên
Xét tam giác IBC có: Suy ra tam giác IBC cân tại I. Do đó IB =
IC.

Xét ∆IBK và ∆ICK có:
IB = IC (chứng minh trên)
BK = CK (chứng minh trên)
Do đó ∆IBK = ∆ICK (c - g - c)
Suy ra mà nên . Do đó IK ⊥ BC.
Lại có AK ⊥ BC nên A, I, K thẳng hàng (4).
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có A, G, H, I, O thẳng hàng khi tam giác
ABC cân tại A.

b)
Gọi K là chân đường cao kẻ từ H vuông BC.
H là trực tâm của tam giác ABC nên A, H, K
thẳng hàng.
Mà A, H, I thẳng hàng nên A, H, I, K thẳng hàng.
Mà AI là tia phân giác của nên AK là đường
phân giác của .
Do đó

b)

Xét ∆AKB vuông tại K và ∆AKC vuông tại K có:
AK chung
Do đó ∆AKB = ∆AKC
(góc nhọn - cạnh góc vuông)
Suy ra AB = AC (2 cạnh tương ứng).

Bài 10. (SGK – trang 120)
Bạn Hoa vẽ tam giác lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc
(Hình 145). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ điểm , làm thế nào tìm được
điểm trên đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến điểm là nhỏ nhất?
Em hãy giúp bạn Hùng tìm cách vẽ điểm và giải thích cách làm của mình.

Giải
Theo tính chất đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm đến
một đường thẳng, ta thấy DA nhỏ nhất khi D là chân đường vuông góc
kẻ từ A đến BC.
Ta xác định điểm D như sau:
Bước 1. Kẻ hai đường cao xuất phát từ B và C của tam giác ABC.
Bước 2. Gọi H là giao điểm của hai đường cao xuất phát từ B và C của
tam giác ABC.
Bước 3. Từ H kẻ đường vuông góc với BC, đường vuông góc này cắt
BC tại một điểm.

Giải
Điểm đó chính là điểm D cần tìm.
Ta có hình vẽ sau:

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
* Ghi nhớ

* Hoàn thành các

kiến thức trong bài.

bài tập trong SBT.

• Chuẩn bị “bài Thực
hành một số phần
mềm”.

HẸN GẶP LẠI CÁC EM
Ở TIẾT HỌC SAU!