Bài toán mở đầu: Một bác
thợ mộc muốn làm kệ để đồ từ
hai tấm gỗ dài 18dm và 30dm.
Bác muốn cắt hai tấm gỗ này
thành các thanh gỗ có cùng
độ dài mà không để thừa mẩu
gỗ nào. Em hãy giúp bác thợ
mộc tìm độ dài lớn nhất có thể
của thanh gỗ được cắt.

BÀI 11. ƯỚC CHUNG
VÀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT
1. ước chung và ước chung lớn nhất
2. Cách tìm ước chung lớn nhất
3. Rút gọn về phân số tối giản

1. ước chung và ước chung lớn nhất

HĐ1

Tìm tập hợp Ư(24) và Ư(28)

Gọi
ƯC(24,
28)
là
tập
hợp
các
số
vừa
là
ước
của
24,
HĐ2
vừa là ước của 28. Hãy viết tập hợp các ƯC(24, 28).
HĐ3 Tìm số lớn nhất trong tập ƯC(24, 28)

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất
trong tập hợp các ước chung của các số đó.
Ta kí hiệu:
b;

ƯC(a, b) là tập hợp các ước chung của a và
ƯCLN(a, b) là ước chung lớn nhất của a và b

Chú ý: Ta chỉ xét ước chung của các số khác 0.
Ví dụ 1: Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
ƯC(18, 30) = {1; 2; 3; 6}
ƯCLN(18, 30) = 6

Bài toán mở đầu: Một bác thợ mộc muốn làm kệ để đồ từ
hai tấm gỗ dài 18dm và 30dm. Bác muốn cắt hai tấm gỗ này
các thanh gỗ có cùng độ dài mà không để thừa mẩu gỗ nào.
Em hãy giúp bác thợ mộc tìm độ dài lớn nhất có thể của
thanh gỗ được cắt.
Ví dụ 2: Trở lại bài toán mở đầu, độ dài lớn nhất (đơn vị
dm) của mỗi thanh gỗ được cắt chính là ước
chung lớn nhất của 18 và 30.
Vậy, bác thợ mộc nên cắt các tấm gỗ thành các thanh
gỗ dài 6dm

Chú ý thuộc tập hợp ước chung của và khi nào?
nếu
nếu

và
; và

?1 Khẳng định sau đúng hay sai?
Đúng

Sai

Giải thích

a)

và 40

b)

32 và 28

Muốn tìm ước chung của hai số tự
nhiên khác 0 ta làm thế nào?

Cách tìm
- Tìm ;
- Tìm ;
- Tìm các phần tử chung của hai tập hợp và .
Tập hợp các phần tử chung đó chính là

Các
emhãy
chọn
Các em
tìmcách
làm
của 18)
bạn nào?
ƯCLN(6,

Em có cách
khác ngắn hơn
Vì 18 ⁝ 6 nên
ƯCLN(18, 6) =
6

Ư(6) = {1; 2; 3; 6}
Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
Nên: ƯC(6, 18) = {1; 2; 3; 6}
Do đó ƯCLN(6, 18) = 6

* Tìm ƯCLN trong trường hợp đặc biệt:
 Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì
ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.
Nếu a b thì ƯCLN (a, b) = b.
 Số 1 chỉ có một ước là 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b, ta có:
ƯCLN(a, 1) = 1 và ƯCLN(a, b, 1) = 1
Ví dụ: ƯCLN (18, 6) = 6 vì 18 6
ƯCLN(105, 472, 1) = 1
90 ⁝ 10
ƯCLN (90, 10) =10vì
?

Luyện tập 1

Bố có: 12 bóng xanh
15 bóng đỏ
Bố muốn chia đều số bóng cho ba anh em Việt, Hà, Nam
đều như nhau gồm cả bóng xanh và đỏ.
Hỏi bố có thực hiện được điều đó không?
Giải
Ta có 3  ƯC(12, 15) nên có thể chia đều số bóng
cho ba anh em và mỗi người được số bóng là:
12 : 3 = 4 bóng xanh;
15 : 3 = 5 bóng đỏ

Vận dụng 1
Lớp 6A, 6B có: 40 học sinh nữ; 36 học sinh nam
Chia nhóm sao cho số hs nam, nữ trong các nhóm bằng nhau thì:
a) Có thể chia thành bao nhiêu nhóm hs?
b) Có thể chia nhiều nhất bao nhiêu nhóm hs?

Có cách nào để tìm
Giải
ƯCLN nhanh hơn
Ta có: Ư(40) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}
không?
Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}
ƯC(40, 36) = {1; 2; 4}
ƯCLN(40, 36) = 4
Vậy để chia nhóm sao cho số hs nam, nữ trong
các nhóm bằng nhau thì có thể chia thành 1 nhóm, 2
nhóm hoặc 4 nhóm và số nhóm có thể chia nhiều nhất là
4 nhóm.

2. Cách tìm ước chung lớn nhất

Tìm ƯCLN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố
*Bước 1. Phân tích 24 và 60 ra thừa số nguyên tố, ta được:
24 = 2. 2. 2. 3 = 23 . 3
60 = 2. 2. 3. 5 = 22 . 3 . 5
*Bước 2. Ta thấy 2 và 3 là các thừa số nguyên tố chung
của 24 và 60.
*Bước 3. Trong các phân tích ra thừa số nguyên tố của
24 và 60, số mũ nhỏ nhất của thừa số chung 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của thừa
số chung 3 là 1 nên ƯCLN(24, 60) = 22 . 3 = 12

Các bước tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số
B1: Phân tích mỗi ra thừa số nguyên tố.
B2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
B3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ
nhất. Đó là ƯCLN phải tìm.
Tìm ƯCLN(45, 150)