CHÀO MỪNG CẢ LỚP
ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI!

KHỞI ĐỘNG
Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi 1 – 6, một rạp chiếu phim phục vụ các
khán giả một bộ phim hoạt hình. Vé được bán ra có hai loại:
Loại 1 (dành cho trẻ từ 6 – 13 tuổi): 50 000 đồng/ vé.
Loại 2 (dành cho người trên 13 tuổi): 100 000 đồng/vé.
Người ta tính toán rằng, để không phải bù lỗ thì số tiền vé thu được ở
rạp chiếu phim này phải đạt tối thiểu 20 triệu đồng.
Hỏi số lượng vé bán được trong những trường hợp nào thì rạp chiếu
phim phải bù lỗ?

Gợi ý
• Số tiền bán vé phụ thuộc vào những lượng vé nào?
phụ thuộc vào số vé bán
được của loại 1 và loại 2.
• Muốn không lỗ thì số tiền bán vé thu được phải như thế nào?
Số tiền bán vé phải lớn hơn
hoặc bằng 20 triệu đồng.
Ta cần giải một bất phương trình mà có
2 ẩn số cần tìm.

CHƯƠNG II: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

BÀI 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN (2 Tiết)

NỘI DUNG BÀI HỌC
01

02

Bất phương trình bậc

Biểu diễn miền nghiệm của bất

nhất hai ẩn

phương trình bậc nhất hai ẩn
trên mặt phẳng tọa độ

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
HĐ1

TIẾT 1

Trong tình huống mở đầu, gọi x là số vé loại 1 bán được và y là
số vé loại 2 bán được. Viết biểu thức tính số tiền bán vé thu
được (đơn vị nghìn đồng) ở rạp chiếu phim đó theo x và y.
a) Các số nguyên không âm x và y phải thỏa mãn điều kiện gì
để số tiền bán vé thu được đạt tối thiểu 20 triệu đồng?
b) Nếu số tiền bán vé thu được nhỏ hơn 20 triệu đồng thì x và y
thỏa mãn điều kiện gì?

Biểu thức tính số tiền bán vé thu được (đơn vị nghìn đồng)

Giải

ở rạp chiếu phim đó theo x và y: 50x + 100y
a) 50x + 100y ≥ 20 000

bất phương trình

b) 50x + 100y < 20 000.

bậc nhất hai ẩn

Định nghĩa:
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:
ax + by ≤ c (ax + by ≥ c, ax + by c)
Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không
đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Bất phương trình nào sai đây là bất phương trình
Ví dụ 1:

bậc nhất hai ẩn?
2x + 3y < 1

2x2 + 3y < 1
Giải

Bất phương trình 2x + 3y < 1 là bất phương trình
bậc nhất hai ẩn.
Bất phương trình 2x2 + 3y < 1 không phải là bất
phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa x2.

HĐ2

Cặp số (x; y) = (100; 100) thỏa mãn bất phương trình bậc nhất hai
ẩn nào trong hai bất phương trình thu được ở HĐ1? Từ đó cho
biết rạp chiếu phim có phải bù lỗ hay không nếu bán được 100 vé
loại 1 và 100 vé loại 2.
Trả lời tương tự với cặp số (x; y) = (150; 150).

Giải

Cặp số (x; y) = (100; 100) thỏa mãn bất phương trình hai ẩn
50x + 100y < 20 000
Nếu rạp chiếu phim bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2
thì số tiền thu được là 15 triệu đồng. Do đó rạp chiếu phim
phải bù lỗ.

HĐ2

Cặp số (x; y) = (100; 100) thỏa mãn bất phương trình bậc nhất hai
ẩn nào trong hai bất phương trình thu được ở HĐ1? Từ đó cho
biết rạp chiếu phim có phải bù lỗ hay không nếu bán được 100 vé
loại 1 và 100 vé loại 2.
Trả lời tương tự với cặp số (x; y) = (150; 150).

Giải

Cặp số (x; y) = (150; 150) thỏa mãn bất phương trình hai ẩn
50x + 100y ≥ 20 000
Nếu rạp chiếu phim bán được 150 vé loại 1 và 150 vé loại 2
thì số tiền thu được là 22,5 triệu đồng. Do đó rạp chiếu
phim không phải bù lỗ.

Định nghĩa:
Cặp số (x0; y0) được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất
hai ẩn ax + by ≤ c nếu bất đẳng thức ax0 + by0 ≤ c đúng.
Ví dụ 2

Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn x + 2y > 5. Cặp số nào sau
đây là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên?
a) (x; y) = (3; 4)

b) (x; y) = (0; -1)

Giải
a) Vì 3 + 2. 4 = 11 > 5 nên cặp số

b) Vì 0 + 2. (-1) = - 2 < 5 nên cặp số

(3; 4) là một nghiệm của bất

(0; -1) không phải là một nghiệm

phương trình đã cho.

của bất phương trình đã cho.

Luyện tập 1: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn x + 2y ≥ 0.
a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên.
b) Với y = 0, có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho?
Giải

a) Ví dụ hai nghiệm của bất phương trình đã cho là:
(x; y) = (0; 1), (x ; y) = (1; 1).
b) Với y = 0, có vô số giá trị x mà x ≥ 0 thỏa mãn bất
phương trình đã cho.
Em có nhận xét gì về số nghiệm của bất phương trình
bậc nhất hai ẩn?

Luyện tập 1: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn x + 2y ≥ 0.
a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên.
b) Với y = 0, có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho?
Giải

a) Ví dụ hai nghiệm của bất phương trình đã cho là:
(x; y) = (0; 1), (x ; y) = (1; 1).
b) Với y = 0, có vô số giá trị x mà x ≥ 0 thỏa mãn bất
phương trình đã cho.

Nhận xét: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
trên mặt phẳng tọa độ
HĐ3

Cho đường thẳng d: 2x – y = 4 trên mặt
phẳng tọa độ Oxy. Đường thẳng này chia
mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
a) Các điểm O(0; 0), A(-1; 3) và B(-2; -2) có
thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng d không?
Tính giá trị của biểu thức 2x – y tại các điểm đó và so sánh với 4.
b) Trả lời câu hỏi tương tự như câu a với các điểm C(3; 1), D(4; -1).

Giải
a) Các điểm O, A, B có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ
là đường thẳng d.
Thay tọa độ điểm A: 2. (-1) – 3 = - 5 < 4
Thay tọa độ điểm B: 2. (-2) – (-2) = - 2 < 4
Thay tọa độ điểm O: 2. 0 – 0 = 0 < 4.
b) Các điểm C, D có thuộc cùng một nửa
mặt phẳng bờ là đường thẳng d.
Thay tọa độ điểm C: 2.3 – 1 = 5 >4.
Thay tọa độ điểm D: 2.4 – (-1) = 9 > 4.

Định nghĩa

• Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hơp các điểm có tọa
độ là nghệm của bất phương trình ax + by ≤ c được gọi
là miền nghiệm của bất phương trình đó.
• Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có
phương trình ax + by = c chia mặt phẳng tọa độ Oxy
thành hai nửa mặt phẳng bờ d:

Định nghĩa

 Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có
tọa độ (x; y) thỏa mãn ax + by > c.
 Nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ d) gồm các điểm
có tọa độ (x; y) thỏa mãn ax + by < c.
Bờ d gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn ax + by = c.

Ví dụ 3

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + y ≥ 100
trên mặt phẳng tọa độ.
x
d:

Giải

y

+
y
=

phẳng tọa độ Oxy.
Bước 2: Lấy một điểm bất kì không thuộc d trên
mặt phẳng rồi thay vào biểu thức x + y. Chẳng
hạn, lấy O(0; 0), ta có 0 + 0 < 100.
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt
phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ (miền không bị gạch).

0
10

Bước 1: Vẽ đường thẳng d: x + y = 100 trên mặt

100

O

100

x

Bước 1: Vẽ đường thẳng d: ax + by = c
Bước 2: Lấy M(x0; y0⁡) ∉ d

Cách biểu diễn miền nghiệm
của bất phương trình bậc
nhất hai ẩn ax + by ≤ c

Bước 3: Tính ax0 + by0 so sánh với c.
Bước 4:
• Nếu ax0 + by0 ≤ c thì nửa mặt phẳng bờ d chứa
M0 là miền nghiệm của bất phương trình.
• Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng bờ d không
chứa M0 là miền nghiệm của bất phương trình.

Lưu ý
 Nếu c ≠ 0 thì ta chọn M0 chính là gốc
tọa độ.
 Nếu c = 0 thì ta chọn M0 có tọa độ
(0; 1) hoặc (0; 1).

Ví dụ 4

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 5x - 7y ≤ 0
trên mặt phẳng tọa độ.

Giải
Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 5x - 7y = 0 trên mặt

TIẾT 2

y
5

d

x
5
:

=
y
-7

0

phẳng tọa độ Oxy.
Bước 2: Lấy điểm M0 (0; 1) không thuộc d và
thay x = 0, y = 1 vào biểu thức 5x - 7y, ta được
5. 0 - 7. 1 = -7 < 0.
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa
mặt phẳng bờ d chứa điểm M0 (miền không bị gạch).

1 M0
O

7

x

Nếu muốn biểu diễn miền nghiệm của bất phương
trình 5x – 7y < 0 thì làm như thế nào? Từ đó tổng quát
với trường hợp ax + by < c.

Chú ý

Miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c là
miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c
bỏ đi đường thẳng ax + by = c và biểu diễn
đường thẳng bằng nét đứt.

Luyện tập 2: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2x + y < 200
trên mặt phẳng tọa độ.
Giải
Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 2x + y = 200 trên mặt phẳng
tọa độ Oxy.
Bước 2: Lấy điểm O (0; 0) không thuộc d và thay x = 0,
y = 0 vào biểu thức 2x + y ta được: 2. 0 + 0 < 200.
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa
mặt phẳng bờ d chứa điểm O(0; 0) không kể đường
thẳng d (miền không bị gạch).

Ví dụ 5: Giải bài toán ở tình huống mở đầu
Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi 1 – 6, một rạp chiếu phim phục vụ các khán giả
một bộ phim hoạt hình. Vé được bán ra có hai loại:
Loại 1 (dành cho trẻ từ 6 – 13 tuổi): 50 000 đồng/ vé.
Loại 2 (dành cho người trên 13 tuổi): 100 000 đồng/vé.
Người ta tính toán rằng, để không phải bù lỗ thì số tiền vé thu được ở rạp
chiếu phim này phải đạt tối thiểu 20 triệu đồng.
Hỏi số lượng vé bán được trong những trường hợp nào thì rạp chiếu phim phải
bù lỗ?

Giải

Gọi x là số lượng vé loại 1 bán được (x ) và y là số lượng vé loại
2 bán được (y ) thì số tiền bán vé thu được là 50x + 100y (nghìn
đồng).
Người ta sẽ phải bù lỗ trong trường hợp số tiền bán vé nhỏ hơn
20 triệu đồng, tức là 50x + 100y < 20 000 hay x + 2y < 400.

Như vậy, việc giải quyết bài toán mở đầu
dẫn đến việc đi tìm miền nghiệm của bất
phương trình x + 2y < 400.

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
này được xác định như sau:
• Vẽ đường thẳng d: x + 2y = 400
• Ta lấy gốc tọa độ O(0; 0) và tính 0 + 2. 0 = 0 < 400.
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt
phẳng bờ d chứa gốc tọa độ không kể đường thẳng d.
Vậy nếu bán được số vé loại 1 là x và số vé loại 2 là y mà điểm (x; y) nằm
trong miền tam giác OAB không kể cạnh AB thì rạp chiếu phim sẽ phải bù lỗ.
Nếu điểm (x; y) nằm trên đoạn thẳng AB thì rạp chiếu phim hòa vốn.

Em hãy cho biết nếu các điểm (x; y) lần lượt
là (150; 150), (200; 100), (100; 100) thì rạp
chiếu phim có lãi, lỗ hay hòa vốn?
Nhận xét:
• Nếu bán được 150 vé loại 1 và 150 vé loại 2 thì
rạp chiếu phim có lãi.
• Nếu bán được 200 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì
rạp chiếu phim hòa vốn.
• Nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì
rạp chiếu phim phải bù lỗ.

Vận dụng: Một công ty viễn thông tính phí 1 nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng
và 2 nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Em có thể sử dụng bao nhiêu phút
gọi nội mạng và bao nhiêu phút gọi ngoại mạng trong một tháng nếu em muốn
số tiền phải trả ít hơn 200 nghìn đồng?
Giải
Gọi số phút gọi nội mạng sử dụng là x (phút), số phút gọi
ngoại mạng sử dụng là y (phút). Khi đó, số tiền phải trả là:
x + 2y (nghìn đồng).
Nếu em muốn số tiền phải trả ít hơn 200 nghìn đồng thì:
x + 2y < 200.

Ta tìm miền nghiệm của bất phương trình
x + 2y < 200 như sau:
• Vẽ đường thẳng d: x + 2y = 200.

d:
x

+2

y
y=

20
0

100

B

• Ta lấy gốc tọa độ O(0; 0) và tính 0 + 2.
0 = 0 < 200.

A

O

200

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa
gốc tọa độ không kể đường thẳng d.
Vậy điểm (x; y) nằm trong miền tam giác OAB không kể cạnh AB thì số
tiền phải trả ít hơn 200 nghìn đồng.

x

LUYỆN TẬP
Bài 2.1 (SGK - tr25): Bất phương trình nào sau đây là bất
phương trình bậc nhất hai ẩn?
a) 2x + 3y > 6

b) 22x + y ≤ 0

c) 2x2 − y ≥ 1

Bài 2.2 (SGK - tr25): Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất
phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
a) 3x + 2y ≥ 300

b) 7x + 20y < 0

Giải
a)
Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 3x + 2y = 300

y

trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Bước 2: Lấy điểm O(0; 0) không thuộc d

+
3x
d:

và thay x = 0, y = 0 vào biểu thức 3x + 2y

150

ta được: 3. 0 + 2. 0 = 0 < 300.

00

O(0; 0) (miền không bị gạch).

100

=3

là nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm

O

2y

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình

x

Giải
b)
Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 7x + 20y = 0 trên
mặt phằng toạ độ Oxy.
Bước 2: Lấy điểm M(1; 1) không thuộc d và
thay x = 1, y = 1 vào biểu thức 7x + 20y ta
được: 7⋅ 1 + 20⋅ 1 = 27 > 0.
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là
nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm M(1; 1)
và không tính bờ d (miền không bị gạch).

VẬN DỤNG
Bài 2.3 (SGK - tr25): Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần.
Giá thuê xe được cho như bảng sau:

a) Gọi x và y lần lượt là số kilomet ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ
Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa x
và y sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng.
b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng tọa độ.

Giải
a) Số tiền ông An phải trả khi thuê xe từ thứ Hai đến thứ Sáu là:
900. 5 + 8x = 4 500 + 8x.
Số tiền ông An phải trả khi thuê xe hai ngày cuối tuần là:
1 500. 2 + 10y = 3 000 + 10y.
Bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa x và y sao cho tổng
số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu là:
4 500 + 8x + 3 000 + 10y ≤ 14 000, hay 4x + 5y ≤ 3 250.

b)
Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 4x + 5y = 3 250
trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Bước 2: Lấy điểm O(0; 0) không thuộc d và
thay x = 0, y = 0 vào biểu thức 4x + 5y ta được:
4. 0 + 5. 0 = 0 < 3 250.
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng
bờ d chứa điểm O(0; 0) (miền không bị gạch).

VÒNG QUAY
MAY MẮN
1

2
4

3
5

Câu 1: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình
bậc nhất hai ẩn?
A. 2x2 + 3y > 0

B. x2 + y2 < 2

C. x + y2 ≥ 0

D. x + y ≥ 0

Câu 2: Cho bất phương trình 2x + 3y - 6 ≤ 0 (1). Chọn khẳng định
đúng trong các khẳng định sau?
A. Bất phương trình (1) chỉ có B. Bất phương trình (1) vô
một nghiệm duy nhất.

nghiệm.

C. Bất phương trình (1) luôn có D. Bất phương trình (1) có tập
vô số nghiệm.

nghiệm là .

Câu 3: Miền nghiệm của bất phương trình:
3x + 2 (y + 3) > 4 (x + 1) - y + 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm
A. (3; 0)

B. (3; 1)

C. (2; 2)

D. (0; 0)

Câu 4: Miền nghiệm của bất phương trình:
3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm:
A. (0; 0)

B. (-4; 2)

C. (-2; 2)

D. (-5; 3)

y

Câu 5: Phần tô đậm trong hình vẽ sau,
biểu diễn tập nghiệm của bất phương
trình nào trong các bất phương trình sau?
A. 2x - y < 3

B. 2x - y > 3

C. x - 2y < 3

D. x - 2y > 3

3
2
O

-3

x

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

Ghi nhớ kiến thức

Hoàn thành bài tập

Chuẩn bị bài sau - Bài 4:

đã học

trong SBT

Hệ bất phương trình bậc
nhất hai ẩn

CẢM ƠN CÁC EM
ĐÃ LẮNG NGHE BÀI GIẢNG!