CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC
MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG
Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất
một lần (Hình 1). Xét các biến cố ngẫu nhiên:
A: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn”.
B: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chia
hết cho 3”.
C: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn
hoặc chia hết cho 3”.
Biến cố C có liên hệ như thế nào với hai biến cố A và B?

CHƯƠNG V. MỘT SỐ YẾU TỐ
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
BÀI 2. BIẾN CỐ HỢP VÀ
BIẾN CỐ GIAO. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP.
CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

NỘI DUNG BÀI HỌC
I

Phép toán trên các biến cố

II

Biến cố độc lập

III

Các quy tắc tính xác suất

IV

Tính xác suất của biến cố trong một số
bài toán đơn giản

I. PHÉP TOÁN TRÊN
CÁC BIẾN CỐ

1. Biến cố hợp
HĐ 1

Xét phép thử “Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất một lần”.
Gọi là không gian mẫu của phép thử đó. Xét hai biến cố và nêu trong bài
toán ở phần mở đầu.
a) Viết các tập con của tập hợp tương ứng với các biến cố .
b) Đặt . Phát biểu biến cố dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện.

Giải:
a)
b) Biến cố là “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn hoặc
chia hết cho 3”

KẾT LUẬN
Cho hai biến cố và . Khi đó là các tập con của
không gian mẫu . Đặt , ta có là một biến cố và
được gọi là biến cố hợp của hai biến cố và , kí
hiệu

Chú ý:
Xét một kết quả thuận lợi cho biến cố , tức là .
Vì nên hoặc . Nói cách khác, là một kết quả nhuận lợi cho biến
cố hoặc biến cố Điều đó có nghĩa là biến cố hoặc biến cố xảy
ra. Vì vậy, biến cố có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự
kiện là “ xảy ra hoặc xảy ra” hay “Có ít nhất một trong các biến
cố xảy ra”.

Ví dụ 1: Một hộp có 10 quả bóng màu xanh và 8 quả bóng màu đỏ, các quả bóng có
kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả bóng. Xét các
biến cố:
A: “Hai quả bóng lấy ra có màu xanh”;
B: “Hai quả bóng lấy ra có màu đỏ”.
Chọn phát biểu đúng trong những phát biểu sau đây:
a) Biến cố hợp của hai biến cố A và B là “Hai quả bóng lấy ra cùng có màu đỏ hoặc
màu xanh”;
b) Biến cố hợp của hai biến cố A và B là “Hai quả bóng lấy ra có màu khác nhau”;
c) Biến cố hợp của hai biến cố A và B là “Hai quả bóng lấy ra có cùng màu”.

Giải:
Phát biểu a) đúng; phát biểu b) sai; phát biểu c) đúng.

Luyện tập 1
Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2,
3,…,12; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1
chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số
chia hết cho 3” và biến cố : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia
hết cho 4”. Phát biểu biến cố dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện.
Giải:
Ta có: và
Gọi .
Vậy biến cố là “Số thẻ rút được là số chia hết cho 3 hoặc 4”.

2. Biến cố giao

HĐ 2

Đối với các tập hợp trong Hoạt động 1, ta đặt . Phát biểu biến
cố dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện.
Giải:
Ta có:
Biến cố “Mặt 6 chấm xuất hiện ở cả biến cố và biến cố ”.

KẾT LUẬN
Cho hai biến cố và . Khi đó là các tập con của
không gian mẫu . Đặt , ta có là một biến cố và
được gọi là biến cố giao của hai biến cố và , kí
hiệu là hay .

Chú ý:
Xét một kết quả thuận lợi cho biến cố , tức là .
Vì nên và . Nói cách khác, là một kết quả thuận lợi cho cả hai
biến cố và . Điều đó có nghĩa là cả hai biến cố và cùng xảy ra.
Vì vậy, biến cố có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện
là “Cả và cùng xảy ra”.

Ví dụ 2: Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số
1, 2, 3, ..., 52; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1
chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia
hết cho 3” và biến cố : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4”.
Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố .

Giải:
Ta có

Luyện tập 2
Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp.
Xét các biến cố : “Số chấm xuất hiện ở lần thứ nhất là số lẻ” và

:

“Số chấm xuất hiện ở lần thứ hai là số lẻ”. Phát biểu biến cố dưới
dạng mệnh đề nêu sự kiện.
Giải:
Ta có:
Biến cố “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo là số lẻ”.

2. Biến cố giao
HĐ 3

Xét phép thử “Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần
liên tiếp”.
Gọi là không gian mẫu của phép thử đó. Xét các biến cố:
: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số lẻ”;
: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số chẵn”.
a) Viết các tập con , của không gian mẫu tương ứng với các biến cố , .
b) Tìm tập hợp .

Giải:
a) Ta có:
b)

KẾT LUẬN
Cho hai biến cố và . Khi đó là các tập con của không gian mẫu .
Nếu thì và gọi là biến cố xung khắc.
Chú ý:
Xét một kết quả thuận lợi cho biến cố , tức là . Vì nên , tức là không là
một kết quả thuận lợi cho biến cố . Do đó, hai biến cố và xung khắc khi
và chỉ khi nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.

Ví dụ 3: Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp.
Xét các biến cố:
: “Đồng xu xuất hiện mặt ở lần tung thứ nhất”;
: “Đồng xu xuất hiện mặt ở lần tung thứ nhất”.
Hai biến cố trên có xung khắc hay không?

Giải:
Ta thấy:

Suy ra .
Do đó, và là hai biến cố xung khắc.

Luyện tập 3
Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp.
Hai biến cố sau có xung khắc không?
: “Tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 5”;
: “Tổng số chấm trong hai lần gieo lớn hơn 6”.
Giải:
Biến cố xung khắc biến cố .

II. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP

HĐ 4
Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các
biến cố:
: “Đồng xu xuất hiện mặt ở lần gieo thứ nhất”;
: “Đồng xu xuất hiện mặt ở lần gieo thứ hai”.
Đối với hai biến cố và , hãy cho biết một kết quả thuận lợi cho
biến cố này có ảnh hưởng gì đến xác xuất xảy ra của biến cố kia
hay không.

Giải:
• Một kết quả thuận lợi cho biến cố là xuất hiện mặt ở lần tung thứ nhất

1
(xác suất là 2 ).

• Một kết quả thuận lợi cho biến cố là xuất hiện mặt ở lần tung thứ hai

1
(xác suất là 2 ).

Kết quả thuận lợi cho biến cố không ảnh hưởng gì đến xác xuất xảy ra
của biến cố .

KẾT LUẬN
Cho hai biến cố và . Hai biến cố và được gọi là độc lập nếu việc
xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng
đến xác suất xảy ra của biến cố kia.
Chú ý:
Nếu là hai biến cố độc lập thì mỗi cặp biến cố sau cũng độc lập: và ;
và ; và .

Ví dụ 4:
Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có
kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp,
trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của
quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp.
Xét các biến cố
A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”;
B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”.
a) Hai biến cố A và B có độc lập không? Vì sao?
b) Hai biến cố A và B có xung khắc không? Vì sao?

Giải:
a) Trước hết, xác suất của biến cố B khi biến cố A xảy ra bằng xác suất của biến
cố B khi biến cố A không xảy ra cũng bằng
Do đó việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A không làm ảnh hưởng đến xác
suất xảy ra của biến cố B.
Mặt khác, xác suất của biến cố A bằng , không phụ thuộc vào việc xảy ra hay
không xảy ra của biến cố B.
Vậy hai biến cố A và B là độc lập.
b) Ta thấy kết quả (xanh ; đỏ) là kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố A và B.
Do đó A B Ø. Vì thế A và B không là hai biến cố xung khắc.

Luyện tập 4
Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp.
Xét các biến cố sau:
: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số nguyên tố”;
: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai là hợp số”.
Hai biến cố và có độc lập không? Có xung khắc không? Vì sao?

Giải:
 Ta có: và
Khi biến cố xảy ra hay không xảy ra thì xác suất của biến cố đều là
Khi biến cố xảy ra hay không xảy ra thì xác suất của biến cố đều là
Biến cố và độc lập với nhau.
 Biến cố và không xung khắc, vì có kết quả thỏa mãn của và .
Kết quả là kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố và .
Do đó .
Vậy và không xung khắc.

III. CÁC QUY TẮC
TÍNH XÁC SUẤT

1. Công thức cộng xác suất
HĐ 5
Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không vượt quá 20.
Xét biến cố : “Số được chọn là số chia hết cho 2” và biến cố :
“Số được chọn là số chia hết cho 7”.
a) Tính và
b) So sánh và

Giải:
a) Ta có:
;
;

1 1 1 11
b¿ 𝑃 ( 𝐴 )+ 𝑃 ( 𝐵 ) −𝑃 ( 𝐴∩ 𝐵 ) = + − = =𝑃 ( 𝐴∪ 𝐵 )
2 10 20 20

ĐỊNH LÍ
Cho hai biến cố và . Khi đó
.
Nếu hai biến cố và là xung khắc thì , suy ra . Vì
thế, ta có hệ quả như sau:
Hệ quả: Nếu hai biến cố và xung khắc thì
.

Ví dụ 5: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương có hai chữ số. Xét biến cố : “Số
được chọn là số chia hết cho 8” và biến cố : “Số được chọn là số chia hết cho 9”.
Tính .

Giải:
Trong 90 số có hai chữ số, có 11 số chia hết cho 8, có 10 số chia hết cho 9 và có
1 số chia hết cho cả 8 và 9.
Vì thế, ta có:

𝑃 ( 𝐴)=
Vậy

11
10
1
, 𝑃 ( 𝐵 )= , 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵) =
90
90
90

Ví dụ 6: Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2,
3, ..., 12; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong
hộp. Xét biến cố : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố :
“Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 5”. Tính

Giải:
Không gian mẫu của phép thử trên có 12 phần tử, tức là .
Số các kết quả thuận lợi cho các biến cố lần lượt là . Suy ra
Trong các số 1, 2, 3, ..., 12 không có số nào chia hết cho cả 3 và 5.
Vì thế A, B là hai biến cố xung khắc. Suy ra:

Luyện tập 5
Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3,
…, 52; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ
trong hộp. Xét biến cố : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 7”
và biến cố : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 11”. Tính

Giải:
;
. Vậy và xung khắc với nhau.

2. Công thức nhân xác suất
HĐ 6

Xét các biến cố độc lập và trong Ví dụ 4.
a) Tính và
b) So sánh và

Giải:
a) Ta có: 
b) Ta thấy: 

KẾT LUẬN
Cho hai biến cố và
Nếu hai biến cố và là độc lập thì

Chú ý: Nếu thì hai biến cố và không độc lập.

Ví dụ 7: Hai bạn Hạnh và Hà cùng chơi trò chơi bắn cung một cách độc lập.
Mỗi bạn chỉ bắn một lần. Xác suất để bạn Hạnh và bạn Hà bắn trúng bia
lần lượt là và trong lần bắn của mình. Tính xác suất của biến cố :
Hạnh và bạn Hà đều bắn trúng bia”.

Giải:
Xét biến cố : “Bạn Hạnh bắn trúng bia”, ta có: .
Xét biến cố : “Bạn Hà bắn trúng bia”, ta có: .
Ta thấy là hai biến cố độc lập và . suy ra:

“Bạn

Luyện tập 6
Một xưởng sản xuất có hai máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để
máy và máy chạy tốt lần lượt là và . Tính xác suất của biến cố : “Cả
hai máy của xưởng sản xuất đều chạy tốt”.
Giải:
Ta có: ;
Nhận thấy biến cố và độc lập với nhau.

Ví dụ 8: Hai bạn Trung và Dũng của lớp 11A tham gia giải bóng bàn đơn
nam do nhà trường tổ chức. Hai bạn đó không cùng thuộc một bảng đấu
loại và mỗi bảng đấu loại chỉ chọn một người vào vòng chung kết. Xác suất
lọt qua vòng loại để vào vòng chung kết của Trung và Dũng lần lượt là 0,8
và 0,6. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) : “Cả hai bạn lọt vào vòng chung kết”;
b) : “Có ít nhất một bạn lọt vào vòng chung kết”;
c) : “Chỉ có bạn Trung lọt vào vòng chung kết”.

Giải:
Xét các biến cố : “Bạn Trung lọt vào vòng chung kết” và : “Bạn Dũng
vào vòng chung kết”.
Từ giả thiết, ta suy ra là hai biến cố độc lập và .
a) Do nên
b) Ta thấy , suy ra

c) Xét biến cố đối của biến cố .
Ta thấy và là hai biến cố độc lập.
Vì nên

lọt

IV. TÍNH XÁC SUẤT CỦA
BIẾN CỐ TRONG MỘT SỐ
BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN

1. Tính xác suất của biến cố bằng phương pháp tổ hợp
Ví dụ 9:
Một đội văn nghệ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên phụ
trách đội muốn chọn ra một đội tốp ca gồm 3 học sinh sao cho có cả
nam và nữ cùng tham gia.
a) Giáo viên phụ trách đội có bao nhiêu cách chọn một đội tốp ca
như vậy?
b) Tính xác suất của biến cố H: “Trong 3 học sinh chọn ra có cả nam
và nữ.”

Giải:
Xét các biến cố:
: “Trong 3 học sinh chọn ra có cả nam và nữ”;
: “Trong 3 học sinh chọn ra có 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ”;
: “Trong 3 học sinh chọn ra có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ”.
Khi đó và .
Do hai biến cố và là xung khắc nên
a) Số các kết quả thuận lợi cho biến cố là:

Giải:
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố là:

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố là:

Vậy giáo viên phụ trách có 70 cách chọn một đội tốp ca như dự định.

Giải:
b) Đội văn nghệ có 9 học sinh. Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 9 học sinh đó là
một tổ hợp chập 3 của 9 phần tử.
Do đó, không gian mẫu gồm các tổ hợp chập 3 của 9 phần tử và

Vậy xác suất của biến cố là:

Luyện tập 7
Cho hai đường thẳng song song và . Trên lấy 17 điểm phân biệt, trên lấy 20
điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm, tính xác suất để các điểm này tạo
thành 3 đỉnh của một tam giác.

Giải:
- Không gian mẫu
- Xét các biến cố: : "Trong 3 điểm có 1 điểm thuộc và 2 điểm thuộc
: "Trong 3 có 2 điểm thuộc và 1 điểm thuộc “

Luyện tập 7
Cho hai đường thẳng song song và . Trên lấy 17 điểm phân biệt, trên lấy 20
điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm, tính xác suất để các điểm này tạo
thành 3 đỉnh của một tam giác.

Giải:
: "Ba điểm được chọn thuộc vào đường thẳng hoặc ";
Khi đó: và .

2. Tính xác suất của biến cố bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây
HĐ 7

Để trang trí một tờ giấy có dạng hình chữ nhật, bạn Thuỳ chia tờ giấy đó
thành bốn hình chữ nhật nhỏ bằng nhau. Mỗi hình chữ nhật nhỏ được
tô bằng một trong hai màu xanh hoặc vàng. Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị
các khả năng mà bạn Thuỳ có thể tô màu trang trí cho tờ giấy đó.

Giải:

Ví dụ 10: Câu lạc bộ nghệ thuật của một trường trung học phổ thông gồm học sinh
của cả ba khối 10, 11, 12, mỗi khối có 5 học sinh. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để
tham gia biểu diễn. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn chỉ thuộc hai khối.

Giải:
• Mỗi cách chọn ra đồng thời 3 học sinh trong câu lạc bộ cho ta một tổ hợp chập 3
của 15 phần tử.
Do đó, không gian mẫu gồm các tổ hợp chập 3 của 15 phần tử và

• Xét biến cố : “Chọn được 3 học sinh chỉ thuộc hai khối”.
Sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng thuận lợi cho biến cố .

Giải:
Như vậy, số kết quả thuận
lợi cho biến cố là:
Vậy xác suất của biên cố
là: