CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC
HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Đa giác là gì?
Đa giác là hình gồm các đoạn thẳng , trong đó
bất kì hai đoạn thẳng nào có một điểm chung
cũng không nằm trên một đường thẳng. Đa
giác có các đỉnh là các điểm ; các cạnh là các
đoạn thẳng và các góc là .

KHỞI ĐỘNG
1. Trong các hình sau, hình nào là một đa giác? Vì sao? Hãy chỉ ra
các đỉnh, các cạnh, các góc của đa giác đó.
a) Hình

b) Hình
FGHIJK

c) Hình LMNO

KHỞI ĐỘNG
Đa giác lồi là gì?
Trong Hình 1 ta nói và nằm khác phía so với
đường thẳng chứa đoạn thẳng . Trong hình 2, ta nói
và nằm cùng phía so với đường thẳng chứa đoạn
thẳng . Nếu với một cạnh bất kì của đa giác, các
đỉnh không thuộc cạnh đó đều nằm về một phía đối
với đường thẳng chứa cạnh đó thì đa giác được gọi
là đa giác lồi.

KHỞI ĐỘNG
2. Trong các hình sau hình nào là các đa giác lồi?

BÀI 30. ĐA GIÁC ĐỀU

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

ĐA GIÁC ĐỀU

2

PHÉP QUAY

1. ĐA GIÁC ĐỀU

HĐ1
Ta đã biết các tam giác đều và hình vuông có các đỉnh nằm trên một
đường tròn. Ta dựng một đa giác lồi 5 cạnh có các đỉnh nằm trên một
đường tròn như sau:
- Vẽ đường tròn tâm O bán kính R.
- Lần lượt lấy các điểm A, B, C, D, E trên đường tròn theo thứ tự ngược
chiều kim đồng hồ (hoặc theo chiều kim đồng hồ) sao cho:

HĐ1
Em hãy giải thích vì sao các cạnh và các góc
của đa giác ABCDE bằng nhau (H.9.39).
Giải
Vì năm điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên đường tròn (O)
nên OA = OB = OC = OD = OE.
Xét ∆AOB và ∆BOC có:
Do đó (c.g.c)

Giải Tương tự, ta sẽ chứng minh được:

Do đó:
+;
+
Suy ra

Hay
Vậy các cạnh và các góc của đa giác ABCDE bằng nhau.

ĐỊNH NGHĨA

Đa giác đều là một đa giác lồi có các cạnh bằng nhau
và các góc bằng nhau.

Nếu một lục giác đều (đa giác đều có 6 cạnh) nội tiếp đường
tròn bán kinh 2 cm (H.9.40) thì độ dài các cạnh của lục giác
đều bằng bao nhiêu centimét? Số đo các góc của lục giác đều
bằng bao nhiêu độ?
Giải:
Vì là lục giác đều nên
.
Vì lục giác đều nội tiếp đường tròn (O) nên
.

Giải:Xét và có: .
Do đó (c.c.c)
Tương tự, ta sẽ chứng minh được:

Tính được nên
Suy ra được là tam giác đều và tương tự đều nên
Khi đó hay
Vậy độ dài các cạnh của lục giác đều bằng 2 centimét và số đo các góc
của lục giác đều bằng 120°.

Ví dụ 1:
a) Dưới đây là hình các đa giác đều thường gặp trong hình học (H.9.41).

b) Trong nghệ thuật, kiến trúc, công nghệ chế tạo và thế giới tự nhiên có
nhiều hình phẳng có dạng đa giác đều. Những hình phẳng này không chỉ
đẹp vì sự cân đối hài hòa mà còn tối ưu trong việc sắp xếp và sử dụng.

Ví dụ 2:

Trong các hình phẳng dưới đây, hình phẳng nào có

dạng là một đa giác đều?

Giải

Ta thấy đa giác trong hình a không phải đa giác lồi, đa giác

trong hình b là hình thoi có các góc không bằng nhau, đa giác trong hình
c là bát giác có các cạnh không bằng nhau, đa giác trong hình d là hình
vuông. Do vậy chỉ có hình phẳng trong hình d có dạng đa giác đều.

Ví dụ 3:
Cho tam giác đều ABC có cạnh 6 cm. Trên cạnh AB lấy các điểm M, N;
trên cạnh BC lấy các điểm P, Q; trên cạnh CA lấy các điểm E, F, sao cho
các đoạn thẳng AM, MN, NB, BP, PQ, QC, CE, EF, FA đều bằng 2 cm
như Hình 9.43. Hỏi MNPQEF có là một lục giác đều hay không?
Giải
Theo Hình 9.43, ta thấy MNPQEF là một đa giác lồi.
Ta có . Theo định lí Thalès đảo cho tam giác ABC và
đường thẳng MF thì MF // BC.

Giải
Suy ra . Do đó . Tương tự, .
Vậy lục giác MNPQEF có tất cả các cạnh bằng nhau.
Mặt khác, tam giác AMF là tam giác đều vì nên
và .
Tương tự các góc tại các đỉnh N, P, Q, E, F của lục
giác MNPQEF đều bằng nhau và bằng 120°. Vậy
lục giác MNPQEF có các cạnh và các góc bằng
nhau. Do đó MNPQEF là lục giác đều.

Luyện tập 1
Cho M, N, P, Q, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC,
CD, DE và EA của ngũ giác đều ABCDE (H.9.44). Hỏi MNPQK
có phải là ngũ giác đều hay không?
Giải

Ngũ giác trong hình là ngũ giác đều nên
các góc của nó bằng nhau.
Do vậy các tam giác , đôi một bằng
nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh.

Giải

Suy ra
Mặt khác,
;
.
Tương tự, suy ra
.
Vậy ngũ giác lồi có các cạnh và các góc bằng nhau nên nó là
ngũ giác đều.

Thử thách nhỏ 1
Cho một bát giác đều (đa giác đều 8 cạnh) nội
tiếp một đường tròn tâm O (H.9.45). Hỏi mỗi
góc của bát giác đều có số đo bằng bao nhiêu?
Giải

Bát giác đều được chia thành ba tứ giác và .
Ta thấy tổng số đo các góc của bát giác bằng
tổng số đo các góc của ba tứ giác kể trên.

Giải
Mà mỗi tứ giác có tổng số đo các góc bằng 360°,
do đó tổng số đo các góc của bát giác đều là:
Vì là bát giác đều nên 8 góc của bát giác bằng
nhau và mỗi góc có số đo bằng:

Vậy mỗi góc của bát giác đều có số đo bằng

2. PHÉP QUAY

HĐ2

Để bày bàn ăn cho nhiều người, các

nhà hàng thường sử dụng bàn xoay có dạng
hình tròn và quay được quanh tâm của hình
tròn. Đặt một chiếc cốc nhỏ ở vị trí điểm A trên
bàn xoay có dạng hình tròn với tâm O sao cho
điểm A khác điểm O. Khi quay bàn xoay thuận
chiều quay của kim đồng hồ thì chiếc cốc di
chuyển đến một vị trí mới là điểm B (H.9.46).
Em hãy so sánh khoảng cách từ hai điểm A và B đến điểm O. Hai điểm
A, B có cùng nằm trên một đường tròn tâm O hay không?

Giải:
Khi quay bàn xoay thì khoảng cách từ
tâm O đến chiếc cốc không thay đổi nên
OA = OB. Do đó khoảng cách từ hai
điểm A và B đến điểm O bằng nhau.
Vì OA = OB nên hai điểm A, B cùng nằm
trên đường tròn tâm O.

HĐ3

Trên bàn xoay tâm O, vẽ tam giác

đều ABC nội tiếp một đường tròn (O) và hai tia
OА, ОВ (Н.9.47). Khi quay bàn xoay thuận chiều
quay của kim đồng hồ để tia OA di chuyển trùng
với tia OB (ở vị trí ban đầu), điểm A có di chuyển
đến vị trí của điểm B không và sẽ di chuyển trên
cung tròn nào của đường tròn (O)? Khi đó, điểm
C sẽ di chuyển đến vị trí của điểm nào?
Giải

Vì tam giác đều nên .

Vì tam giác nội tiếp đường tròn (O) nên

Giải
Xét và có:
Do đó (c.c.c)
Suy ra
Vì vậy, nếu quay bàn xoay thuận chiều quay của kim đồng hồ để tia OA
di chuyển trùng với tia OB (ở vị trí ban đầu), điểm A di chuyển đến vị trí
của điểm B và sẽ di chuyển trên cung tròn AB của đường tròn (O).
Khi đó, tia OB di chuyển trùng với tia OC (ở vị trí ban đầu), tia OC di
chuyển trùng với tia OA (ở vị trí ban đầu). Vậy điểm C sẽ di chuyển đến
vị trí của điểm A.

KHÁI NIỆM
Phép quy thuận chiều tâm giữ nguyên điểm , biến điểm khác
điểm thành điểm thuộc đường tròn sao cho tia quay thuận
chiều quay của kim đồng hồ đến tia thì điểm tạo nên cung có
số đo Định nghĩa tương tự cho phép quay ngược chiều tâm .
Phép quay và phép quay giữ nguyên mọi điểm.

a) Phép quay ngược chiều 180° tâm O biến điểm A thành điểm
A'. Hỏi điểm A' có đối xứng với điểm A qua O hay không?
b) Nếu phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm B
thì phép quay ngược chiều tâm O có biến điểm B thành điểm A
hay không?

Giải:
a) Phép quay ngược chiều 180° tâm O
biến điểm A thành điểm A'.

Giải:
Khi đó A' thuộc đường tròn (O; OA) sao cho
tia OA quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia
OA', điểm A tạo nên cung AA' có số đo 180°.
Suy ra và hay ba điểm thẳng hàng.
Vậy là trung điểm của hay điểm đối xứng
với qua .

Giải:

b) Phép quay thuận chiều α° tâm O biến điểm A thành điểm B.

Khi đó điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay thuận
chiều kim đồng hồ đến tia OB, điểm A tạo nên cung AB có số đo α°.
Suy ra và
Do đó điểm A thuộc đường tròn (O; OB) và tia
OB quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia OA,
điểm B tạo nên cung BA có số đo α°.
Vậy phép quay ngược chiều α° tâm O có biến
điểm B thành điểm A.

Ví dụ 4:

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường

tròn (O) như Hình 9.49. Hãy cho biết các phép quay
ngược chiều lần lượt 120°, 240°, 360° với tâm O sẽ biến
các đỉnh A, B, C thành những điểm nào.
Giải
Các phép quay ngược chiều lần lượt 120°, 240°, 360° với tâm
O biến các điểm A, B, C thành những điểm tương ứng được
cho bởi bảng sau:

Ví dụ 4:

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường

tròn (O) như Hình 9.49. Hãy cho biết các phép quay
ngược chiều lần lượt 120°, 240°, 360° với tâm O sẽ biến
các đỉnh A, B, C thành những điểm nào.
Giải

Đỉnh
Phép quay ngược chiều

A

B

C

B

C

A

C

A

B

A

B

C

KHÁI NIỆM
Một phép quay được gọi là giữ nguyên một đa giác đều nếu phép
quay đó biến mỗi điểm của thành một điểm của .
Người ta chỉ ra rằng nếu một phép quay biến các đỉnh của đa giác
đều thành các đỉnh của thì phép quay đó giữ nguyên

Luyện tập 2
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.50.
a) Phép quay thuận chiều 90° tâm O biến các điểm A, B, C, D
thành những điểm nào? Phép quay này có giữ nguyên hình
vuông ABCD không?
b) Hãy liệt kê thêm ba phép quay thuận
chiều khác, với tâm O giữ nguyên hình
vuông ABCD.

Giải
a) Phép quay thuận chiều tâm biến các
điểm thành . Phép quay này giữ nguyên
hình vuông.
b) Ba phép quay khác giữ nguyên hình
vuông là các phép quay thuận chiều lần
lượt với tâm .

Thực hành
Cho điểm O và điểm A khác điểm O
(H.9.51). Phép quay ngược chiều 60° tâm
O biến điểm A thành điểm A'. Xác định
điểm A' theo hướng dẫn sau: Vẽ đường
tròn (O; OA) và tia Ox sao cho , tia Ox cắt
đường tròn (O; OA) tại điểm A' (H.9.51).

Thử thách nhỏ 2
Hãy liệt kê 6 phép quay giữ nguyên một lục giác đều
nội tiếp một đường tròn (O).
Giải
6 phép quay giữ nguyên một lục giác đều nội tiếp một đường tròn (O)
là: 6 phép quay thuận chiều kim đồng hồ góc tâm O với lần lượt nhận
các giá trị

LUYỆN TẬP

TRÒ CHƠI
NGÔI SAO MAY MẮN

Câu 1. Cho đa giác đều cạnh có độ dài mỗi cạnh là . Tính chu vi đa giác

A.

B.

C.

D.

Câu 2. Trong các hình phẳng sau, hình nào là hình phẳng
có dạng là đa giác đều?

A. Hình

B. Hình

C. Hình

D. Hình

Câu 3. Cho là hình ngũ giác đều. Hãy chọn khẳng định sai

A. có một tâm đối xứng

B. Mỗi góc trong của nó là

C. Tổng các góc trong của nó là

D. Tổng các góc trong của nó là

Câu 4. Mỗi góc của lục giác đều nội tiếp đường tròn tâm có số đo là

A.

B.

C. 9

D.

Câu 5. Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính .
Độ dài cạnh của tam giác là

A.

B.

C.

D.

NỘI DUNG
TIẾP THEO

Bài 9.24 (SGK – tr.89)
Trong các hình phẳng sau (H.9.52), hình nào là hình phẳng
có dạng đa giác đều?

Hình b và d là các hình đa giác đều.

Bài 9.25 (SGK – tr.89) Trong các hình dưới đây (H.9.53), hình nào
vẽ hai điểm M và N thoả mãn phép quay thuận chiều 60° tâm O
biến điểm M thành điểm N?

Hình d biểu diễn phép quay thuận chiều 60o tâm biến thành

Bài 9.26 (SGK – tr.89) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O)
bán kính 2 cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Giải
Gọi là độ dài của cạnh tam giác đều và là
bán kính đường tròn (O),
ta có Suy ra (cm).