TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIÊN GIANG
KHOA SƯ PHẠM VÀ XÃ HỘI NHÂN VĂN
CƠ SỞ HÌNH HỌC
HỆ TIÊN ĐỀ CỦA HÌNH HỌC EDCLIDE
GVHD:NGUYỄN THỊ KIM HOA
Nhóm SVTH thực hiện: Nhóm 4
NỘI DUNG CHÍNH



2.1 Nhóm 1: Các tiên đề về liên thuộc
2.2 Nhóm 2: Các tiên đề về thứ tự
Khi nghiên cứu một hệ tiên đề chúng ta cần chú ý các vấn đề sau đây:
a) Sự mâu thuẫn của hệ tiên đề: Từ các tiên đề của hệ ta không bao giờ có thể suy ra các kết quả trái với các tiên đề hoặc 2 kết quả trái ngược nhau.
b) Sự độc lập của các tiên đề: Một tiên đề được gọi là độc lập nếu không có bất cứ tiên đề nào của hệ là hệ quả của những tiên đề khác. Do sự độc lập của các tiên đề tạo nên một hệ tiên đề gồm có một số tối thiểu các tiên đề, nghĩa là trong hệ tiên đề đó không có tiên đề nào là thừa cả.
c) Sự đầy đủ của hệ tiên đề: Số tiên đề của hệ phải đảm bảo đầy đủ để xây dựng nên môn học bằng suy luận chặt chẽ.
2.1 Nhóm 1: Các tiên đề về liên thuộc
Tương quan cơ bản được xét trong nhóm này là tương quan “thuộc”, tương quan này thường được phát biểu dưới dạng thông thường như “nằm trên”, “đi qua”, “chứa”.

VD: Điểm nằm trên đường thẳng
Đường thẳng đi qua điểm
Mặt phẳng chứa điểm
2.1.1 Các tiên đề

(1.1) Cho bất cứ 2 điểm A, B nào bao giờ cũng có 1 đường thẳng đi qua hai điểm đó

(1.2) Cho bất cứ 2 điểm A, B nào phân biệt bao giờ cũng không quá 1 đường thẳng đi qua hai điểm đó.

(1.3) Mỗi đường thẳng có ít nhất hai điểm thuộc nó. Có ít nhất là 3 điểm không cùng thuộc một đường thẳng


(1.4) Cho bất cứ 3 điểm A, B, C nào bao giờ cũng có một mặt phẳng (P) đi qua các điểm đó. Mỗi mặt phẳng có ít nhất 1 điểm.

(1.5) Cho bất cứ 3 điểm A, B, C nào không cùng thuộc một đường thẳng không bao giờ có quá một mặt phẳng đi qua các điểm đó

(1.6) Nếu 2 điểm A, B phân biệt cùng thuộc một đường thẳng a và đồng thời thuộc mặt phẳng (P)
Định nghĩa 2.1.1 Nếu mọi điểm của đường thẳng a đều thuộc mặt phẳng (P) thì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a


Chú ý: Chỉ có tương quan thuộc giữa điểm với đường thẳng và giữa điểm với mặt phẳng là tương quan cơ bản

(1.7) Nếu 2 mặt phẳng cùng chứa một điểm A thì cùng chứa ít nhất một điểm thứ hai B khác A

(1.8) Có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.


Với các tiên đề liên thuộc nêu trên ta chứng minh được một số định lí đơn giản sau đây

2.1.2 Các định lí
Định lí 2.1.1 Hai đường thẳng phân biệt có nhiều nhất 1 điểm chung


a) b) c)


Định lí 2.1.2 Một mặt phẳng và một đường thẳng không thuộc mặt phẳng đó có nhiều nhất một điểm chung









E

F
A

B
C
D
F
E
a) Mặt phẳng và đường b) Đường thẳng cắt
thẳng song song mặt phẳng
Định lí 2.1.3 Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng









A
Ta thấy hai mặt phẳng có 1 điểm chung là A thì chúng có một đường thẳng  Δ chứa các điểm chung còn lại của hai mặt phẳng
Định nghĩa 2.1.2

Nếu hai đường thẳng chỉ có một điểm chung, ta nói rằng chúng cắt nhau và điểm chung đó gọi là giao điểm của hai đường thẳng đã cho

Nếu đường và mặt phẳng chỉ có một điểm chung, ta nói rằng đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau. Điểm chung đó gọi là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng đã cho.

Nếu hai mặt phẳng chỉ có một đường thẳng chung, ta nói rằng chung cắt nhau và đường thẳng chung đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đã cho.







(i) (ii) (iii)
Định lí 2.1.4 Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó (hai đường thẳng cắt nhau) bao giờ cũng có một mặt phẳng và chỉ có một mà thôi.

Chứng minh:

 Cho đường thẳng a và điểm A không thuộc a



Theo tiên đề 1.3 thì có ít nhất 2
điểm thuộc đường thẳng a là B,C
Theo tiên đề 1.4 1.5 thì có duy
nhất 1 mặt phẳng chứa A,B,C là
mặt phẳng (P)

Vậy ngoài (P) ra không có mặt
phẳng nào khác chứa đường
thẳng a và điểm A

A

a



B
C











P

Nếu E không thuộc (P) thì hai mp (ABE) và (P) ngoài điểm chung là A ra còn có điểm chung khác là F (F khác A và F không thể trùng D).
 Vậy mp (P) chứa ít nhất 3 điểm không thẳng hàng là A, F, D
Định lí 2.1.5 Mỗi mặt phẳng chứa ít nhất 3 điểm không thẳng hàng
Gọi (P) là mp cho trước . Theo tiên đề (1.8) có ít nhất 1 điểm B không thuộc mp (P). Theo tiên đề (1.3) có ít nhất 1 điểm không thuộc AB là điểm C (với A ∈ (P)). Hai mp (ABC) và (P) có điểm A chung, theo tiên đề (1.7) chúng còn có D là điểm chung (D khác A). Như vậy, trên (P) đã có 2 điểm A và D. Theo tiên đề (1.8) ta có điểm E không thuộc mp (ABCD), ta sẽ có 2 trường hợp.
 Nếu E thuộc mp (P) , khi đó ba điểm A, D, E không thẳng hàng, định lí được chứng minh


P

2.2 Nhóm 2: Các tiên đề
2.2.1 Các tiên đề
(2.1) Nếu B ở giữa hai điểm A và C thì A, B, C là ba điểm khác nhau cùng thuộc một đường thẳng và điểm B ở giữa C và A
(2.2) Cho bất cứ hai điểm A và C nào cũng có ít nhất một điểm B nằm trên đường thẳng AC sao cho C nằm giữa A và B
(2.3) Trong bất kỳ đường thẳng nào cùng thuộc một đường thẳng không bao giờ có quá một điểm ở giữa hai điểm kia


Định nghĩa 2.2.1 Một cặp A và B gọi là một đoạn thẳng ,kí hiệu là AB hay BA.Các điểm ở giữa A và B là các điểm trong của Ab hay thuộc AB. Hai điểm A và B gọi là hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Tất cả các điểm còn lại không thuộc AB và hai đầu mút gọi là các điểm ngoài AB.
(2.4) Tiên đề Pasch: cho ba điểm A,B,C không cùng một đường thẳng và một đoạn thẳng a không thuộc (ABC) nhưng không đi qua bất cứ điểm nào trong A,B,C cả.Nếu đường thẳng a có một điểm chung với đoạn thẳng AB thì nó có một điểm nữa hoặc với đoạn thẳng AC hoặc đoạn thẳng BC.
a
A
B
C
Chú ý 2.2.1
Tiên đề (2.1) cho ta biết tương quan ở giữa chỉ đặt ra đối với ba điểm khác nhau thẳng hàng, không phụ thuộc vào thứ tự hai đầu mút
Tiên đề (2.2) bao giờ cũng có B nằm ngoài AC, nghĩa là đoạn thẳng có ít nhất 1 điểm nằm ngoài giúp ta biết được mỗi đường thẳng có ít nhất 3 điểm
(c) Tiên đề (2.3) cho biết rằng trong ba điểm thẳng hàng thì nhiều nhất là một điểm giữa hai điểm kia
2.2.2 CÁC ĐỊNH LÍ
Định lí 2.2.1 Bất kì một đoạn thẳng AB nào, bao giờ cũng có ít nhất một điểm C ở giữa hai điểm A và B đó. B
E F

C

A
Chứng minh
Theo (1.3) D không thuộc AB
Theo (2.2) Trên AD lấy E sao cho D nằm giữa A và E
Trên EB lấy F sao cho B nằm giữa E và F.
Theo (2.4) A,B,E không thẳng hàng,
nên nó phải có điểm chung với AB,EB.
Nếu FD có điểm chung với EB thì FD EF( theo 1.2 thì nó vô lí vì D,E là hai điểm khác nhau)
Vậy:FD AB=C
-Ta nói FD cắt AB tại C và C là điểm nằm giữa A và B

Định lí 2.2.2 Trong bất kì ba điểm A,B,C nào trên một đường thẳng bao giờ cũng có một điểm ở giữa hai điểm kia.
A B C


DΚΚΚ
F E

G
Κ
Chứng minh
Giả sử: A không giữa B,C và C không giữa A,B
Theo (1.3) D không thuộc AC
Theo (2.2) Trên BD lấy G sao cho D ở giữa B,G
Theo (2.4) đối với ba điểm B,C,G và đường thẳng AD,
ở giữa C,G. AD không thể cắt đoạn BC, vì nếu AD cắt AC là hai đường thẳng trùng nhau và như vậy là trái với việc ta lấy điểm D không thuộc đường thẳng AC.

Tương tự, ta chứng minh được đường thẳng CD cắt AG tại F ở giữa A và G.Lại áp dụng tiên đề (2.4) đối với A,E,G và CF ta có D ở giữa A và E. Lại áp dụng với A,C,E và DG ta có B ở giữa A và C.


Hệ quả 2.2.1
a) Với bất cứ đoạn thẳng AC nào bao giờ trên đường thẳng AC ta cũng có những điểm ở trong và ngoài đoạn thẳng AC.
b) Với ba điểm trên một đường thẳng bao giờ cũng một và chỉ một điểm ở giữa hai điểm hai điểm kia.
Chú ý 2.2.2 Đinh lí 2.2.2 không đúng khi xét ba điểm A, B, C trên một đường thẳng xạ ảnh
Định lí 2.2.3 Nếu điểm B ở giữa A và C, điểm C ở giữa B và D thì các điểm B và C điều ở giữa A và D
A B C D

Định lí 2.2.4 Nếu điểm C ở giữa A và D, điểm B ở giữa A và C thì điểm B ở giữa A và D, điểm C ở giữa B và D
A B C D
Định lí 2.2.5 Nếu B là một điểm của đoạn AC thì đoạn AB và đoạn BC điều thuộc đoạn AC, nghĩa là mỗi điểm thuộc đoạn AB hoặc BC điều thuộc AC
A B C
Định lí 2.2.6 Nếu B là một điểm của đoạn AC thì mỗi điểm của đoạn AC khác với B thì phải thuộc hoặc là đoạn AB hoặc đoạn BC
A B X C

X A B C
Chứng minh
X AB B ở giữa A và X hoặc
A ở giữa X và B
Nếu B ở giữa X và A ,theo giả thiết X ở giữa A và C, theo định lí (2.2.4) X ở giữa B và C
X BC
Nếu A ở giữa X và B,theo giả thiết B ở giữa A và C, theo định lí (2.2.3) A ở giữa X và C
X AC ( vô lí ) A giữa X và B không xảy ra
Định lí 2.2.7 Nếu mỗi điểm B và C điều ở giữa A và D thì mọi điểm của đoạn BC điều thuộc đoạn AD.
A B E C D

Định lí 2.2.8 Mỗi đường thẳng có vô số điểm
A B C
2.2.3 Nữa đường thẳng - Tia
Định nghĩa 2.2.2 Cho ba điểm O, A, B cùng thuộc một đường thẳng. Nếu O không ở giữa A và B thì ta nói rằng là B ở cùng phía đối với O. Nếu O nằm ở giữa A và B thì ta nói A và B nằm khác phía đối với O
Định lí 2.2.9 Một điểm O của đường thẳng a chia tất cả các điểm còn lại của đường thẳng đó ra làm hai lớp không rỗng sao cho tất cả hai điểm nào cùng thuộc một lớp thì ở cùng phía đối với O và bất cứ hai điểm nào khác lớp thì ở khác phía đối với O
Chứng minh
Trên a lấy A O, chia các điểm a (trừ O) thành:
+ Điểm A và điểm cùng phía với nó về lớp I
+ Mọi điểm khác phía A đối với O về lớp II
Các lớp có A theo (2.2) thì trên a có ít nhất một điểm B sao cho O ở giữa A và B B lớp II
Dựa vào các định lí 2.2.3, 2.2.5, 2.2.6 ta chứng minh được các tính chất
a) Mọi điểm của a trừ O đều được sắp xếp vào một lớp và chỉ một lớp mà thôi
b) Nếu M và N là hai điểm cung thuộc một lớp thì O không thuộc MN
c) Nếu M và N khác lớp O thuộc MN
Định nghĩa 2.2.3
- Một điểm O trên đường thẳng a chia tập các điểm trên đường thẳng ra làm hai lớp (theo định lí 2.2.9).
-Mỗi lớp là một nửa đường thẳng hay một tia gọi là bù nhau nếu chúng có chung gốc và tạo nên một đường thẳng.
Định nghĩa 2.2.4
Trên tia gốc O điểm A được gọi là đi trước điểm B nếu A thuộc OB
Định nghĩa 2.2.5
Cho A,B,C không cùng thuộc một đường thẳng. Khi đó AB, BC, CA tạo nên một hình gọi là tam giác. Các điểm A,B,C gọi là các đỉnh và các đoạn AB, AC, BC gọi là các cạnh. Trong một tam giác một đỉnh và một cạnh không qua đỉnh đó gọi là một đỉnh và một cạnh đối diện
Định lí 2.2.10
Mỗi đường thẳng a của MP (P) chia tất cả các điểm không thuộc a của MP (P) ra hai lớp không rỗng sao cho hai điểm A, B bất kì thuộc hai lớp khác nhau nếu đoạn AB chứa một điểm của đường thẳng a, còn hai điểm A,A1 bất kì thuộc cùng một lớp nếu đoạn AA1 không chứa điểm nào của a cả
Chứng minh



C A1

a D A

P
Trong (P) ta lấy C a và chia các điểm của (P) thành hai lớp:
+ lớp I : mọi điểm A của (P) a sao cho CA không chứa điểm nào cùa a. C thuộc lớp này
+ lớp II : mọi điểm B của (P) a sao cho đoạn “cơ bản” chứa một điểm của a.
ta cần chứng minh:
(1) Mỗi lớp điều không rỗng. Thật vậy lớp I có C và D là một điểm nào đó của a thì theo TĐ (2.2) trên CD có E sao cho D ở giữa C và E. E thuộc lớp II
(2) Bất kì điểm nào của (P) thuộc một lớp và chị một mà thôi. thật vậy điểm M bất kì, đoạn thẳng CM bất kì chứa một điểm của a hoặc không chứa điểm nào hết
(3) Mỗi cặp điểm A, A1 của lớp thứ I xác định đoạn thẳng AA1 và đoạn này không chứa điểm nào của a cả. Thật vậy, nếu C,A,A1 không cùng thuộc một đường thẳng và AA1 chứa một điểm của a thì theo TĐ Pasch một trong hai đoạn CA hoặc CA1 phải chứa một điểm của a ( vô lí). Còn nếu C,A,A1 cùng thuộc một đường thẳng thì ta xét hai trường hợp sau:
+ C không giữa A và A1, ta giả sử A ở giữa C và A1, khi đó M là một điểm của a ở giữa A và A1, theo ĐL (2.2.4) thì M cùng ở giữa C và A1 là trái với giả thiết.
C A M A1

+ C ở giữa A và A1, thì một điểm M thuộc AA1 theo ĐL (2.2.6) sẽ thuộc CA hoặc CA1. Điều trái với giả thiết.
A C A1
(4) Một cặp B,B1 thuộc lớp II xác định BB1 không chứa điểm nào của a


M1
B1
+ Nếu C,B,B1 không thẳng hàng thì CB,CB1 chứa M và M1 của đường thẳng a. Đường thẳng a cắt BB1 tại N thì N nằm ngoài MM1. Thật vậy, N ở giữa M và M1, theo TĐ Pasch đối với tam giác CMM1, đường thẳng B1n cắt CM tại B, B ở giữa C và M ( trái với giả thiết M ở giữa B và C ).
Chứng minh tương tự, M nằm ngoài NM1 và M1 cũng nằm ngoài MN. Trong M,M1,N không có điểm nào ở giữa hai điểm kia ( mâu thuẫn với ĐL 2.2.2)
(5) Mọi cặp A gồm hai điểm A và B thuộc hai lớp khác nhau xác định một đoạn thẳng AB chứa một điểm nào đó của a
Thật vậy, theo giả thiết đoạn “cơ bản” chứa một điểm M của a. Nếu C,A,B không thuộc một đoạn thẳng, theo TĐ Pasch hoặc là CA hoặc AB chứa một điểm của a. Theo giả thiết CA không chứa nên AB chứa một điểm của a

C
A a
M
B
C A M B
Nếu C,A,B thẳng hàng thì M của a phải ở giữa C và B. Mặt khác theo ĐL (2.2.9) điểm M của a chia tất cả các điểm còn lại của CB thành hai lớp, mỗi lớp nằm về phía đối với M. Do A phải nằm về phía điểm C đối với M, AB chứa điểm M của a
Đinh nghĩa 2.2.6 Mỗi lớp của MP (P) trong định lí 2.2.10 là một nữa MP có đường biên là đường thẳng a. Hai điểm M1,N2 thuộc cùng một nữa MP gọi là cùng phía đối với đường thẳng a. Hai điểm M,N thuộc hai nữa MP khác nhau gọi là khác phía đối với a
Định nghĩa 2.2.7
Một cặp tia h, k có cùng góc O gọi là một góc và được kí hiệu là (h,k). Điểm O gọi là đỉnh và các tia h,k gọi là cạnh của góc. Nếu A,B lần lượt là hai điểm lấy trên tia h,k thì ta dùng kí hiệu góc AOB thay cho (h,k).
Gọi h1 , k1 lần lượt là các tia bù của các tia h,k. Tập hợp những điểm nằm cùng phía với tia h đối với đường thẳng kk1 và nằm cùng phía với tia k đối với đường thẳng hh1 gọi là miền trong của góc (h,k).

h1 O k

k1 h

Định lí 2.2.11 Nếu A, B là hai điểm nằm trên cạnh h,k của một góc mọi tia xuất phát từ góc O và thuộc miền nằm trong của góc điều cắt đoạn AB. Ngược lại, mọi tia nối đỉnh của góc với một điểm bất kì của đoạn AB đều thuộc miền trong của góc.
Chứng minh

h1 k
C O M B
I* l1 A I
k1 h
Gọi A,B là điểm nằm trên các canh h,k của góc (h,k) ``xuất phát từ góc O và nằm trong miền trong của góc``
Trên h1 lấy C sao cho O giữa C và A
Gọi I và I1 là tia bù với tia l, l* chứa l và l1
Áp dụng TĐ Pasch đối với tam giác ABC, l* cắt CB hoặc AB
vì l* không có điểm thuộc miền trong của góc (h1,k) nên l* cắt AB
l1 cũng không có điểm thuộc góc (h,k) nên l cắt AB=M

Ngược lại: M thuộc AB thì tia OM thuộc miền trong góc (h,k) thì tia l nằm cùng phía đối với hh1 và kk1
CẢM ƠN CÔ VÀ CÁC BẠN