Chủ đề:

TIÊN ĐỀ 5 EUCLID
VÀ HÌNH HỌC PHI
EUCLID
Nguyễn Quốc Thiên
Hương - TNK46SP

Chủ đề: Hình học phi
Euclid
Ý tưởng khoa
học

Phương hướng
khoa học

Bộ môn
khoa học

Ngành
khoa
học

2

I. Ý TƯỞNG
KHOA HỌC

1. Euclid và bộ “Cơ
sở”
2. Tiên đề Euclid về
hình học
3. Phân tích Tiên đề 5
Euclid

3

1. Euclid và bộ “Cơ sở”
a) Euclid

● Là nhà toán học lỗi lạc thời
cổ Hy Lạp, sống vào thế kỉ 3
TCN.
● Được mệnh danh là "cha đẻ
của hình học".
● Là tác giả của bộ sách “Cơ
sở” gồm 13 cuốn - là bộ
sách có ảnh hưởng nhất
trong lịch sử toán học kể từ
khi nó được xuất bản
4

1. Euclid và bộ “Cơ sở”
b) Bộ “Cơ sở”

● Bộ sách “Cơ sở” Trong công
trình của mình tại Quyển 1,
Euclid đưa vào 23 định nghĩa
như điểm, đường thẳng và mặt
phẳng, năm định đề (postulate)
và năm tiên đề (common
notion)
● Quyên 1 của Euclide bàn về
tính chất của đường thẳng và
diện tích của hình bình hành,
tam giác và hình vuông.

5

● Tiên đề trong toán học là một mệnh đề được coi như luôn
đúng và không cần chứng minh.
● Các tiên đề là các mệnh đề xuất phát cơ bản, từ đó bằng
cách suy diễn, tức là bằng các phương tiện thuần túy
lôgic, suy ra mọi nội dung còn lại của lý thuyết ấy.
VD:
Tiên đề Euclid về 2 đường thắng song song: Khi qua
một điểm nằm ngoài một đường thẳng, ta vẽ được một và
chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho mà
thôi. 
Tiên đề Peano (tiên đề số học) cho số tự nhiên: phép
cộng, phép nhân, tính đối xứng,...
Tiên đề Hilbert về liên thuộc: Có ít nhất 4 điểm không
cùng thuộc 1 mặt phẳng.

6

2. Tiên đề Euclid về hình
học
1.Qua hai điểm bất kì, luôn luôn vẽ được một
(ngầm hiểu là áp dụng trong hình học phẳng)

đường thẳng
2.Đường thẳng có thể kéo dài vô hạn.
3.Với tâm bất kì và bán kính bất kì, luôn luôn vẽ
được một đường tròn.
4.Mọi góc vuông đều bằng nhau.
5. Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác
tạo nên những góc cùng phía có tổng nhỏ hơn 180o, thì
hai đường thẳng này kéo dài sẽ cắt nhau ở phía có hai
góc trong có tổng nhỏ hơn 180o.
7

3. Phân tích tiên đề 5
Tiên đề 5 (tiên đề đường Euclid
thẳng song song) phát biểu
rằng: “Nếu một đường
thẳng cắt hai đường thẳng
khác tạo nên những góc
cùng phía có tổng nhỏ hơn
180o, thì hai đường thẳng
này kéo dài sẽ cắt nhau ở
phía có hai góc trong có
tổng nhỏ hơn 180o”.

8

3. Phân tích tiên đề 5
Euclid
● Euclide chủ yêu sử
dụng 4 tiên đề đầu tiên trong
các chứng minh, tiên đề 5 không hề được sử dụng
trong bất kỳ chứng minh nào.
● Trải qua hơn hai ngàn năm, nhiều nhà toán học, có
những vị là những thiên tài, cho rằng tiên đề 5 chỉ
là một định lý hình học có thể suy ra được bằng
cách dựa trên các tiên đề khác.
● Đối với nhiều người, tiên đề 5 có vẻ như là một
định lý phải được chứng minh thay vì một sự thật
hiển nhiên.

9

2. Phương
hướng khoa
học
Dựa trên việc chứng minh tiên
đề 5 Euclid là không cần thiết,
không phải là 1 tiên đề.

Mô tả cho tiên đề song song
của Euclid - phiên bản của
Playfair trong các hệ hình học
khác nhau: Euclid (1) - - Elliptic
(2) và Hyperbol (3)
10

● Từ ban đầu, người ta cho rằng đây không phải là một tiên đề khi
nó có thể chứng minh được, và trong suốt hai nghìn năm, có rất
nhiều nỗ lực của các nhà toán học trong việc sử dụng bốn tiên
đề đầu tiên và các hệ quả của nó để giải quyết vấn đề
● Proclus (410-485) đã bình luận về bộ sách Cơ sở rằng ông cũng
đã thử chứng minh để từ đó rút gọn định đề thứ năm thông qua
bốn tiên đề đầu tiên, cũng chỉ ra Ptolemy đã đưa ra một chứng
minh sai, tuy nhiên ông cũng không khá hơn là bao.
● Ibn al-Haytham hay Alhazen (965-1039), một nhà toán học
người Ả Rập đã cố gắng chứng minh định đề này bằng phản
chứng
● Nhà toán học người Ba Tư Omar Khayyám (1050-1123) cũng đã
thử đưa ra chứng minh bằng việc chứng minh một mệnh đề

11

● Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) cũng đã thử chứng minh tiên đề
này bằng phản chứng.
● Giordano Vitale (1633-1711) trong cuốn sách Euclide restituo
(Tái dựng Euclid, 1680, 1686) của mình đã sử dụng tứ giác
Saccheri để chứng minh rằng nếu có 3 điểm trên hai cạnh AB và
CD cách đều nhau, thì mọi điểm trên hai đường thẳng này cách
đều nhau.
● Năm 1766, Johann Heinrich Lambert đã viết cuốn Theorie der
Parallellinien (Lý thuyết của sự song song) nhưng không xuất
bản, mà ở trong đó ông - giống với Saccheri đã cố chứng minh
tiên đề thứ năm này.
=> Thế kỉ IXX, các nhà toán học đã tìm ra những khả năng mới và
thấy rằng vấn đề này có thể nằm ở sự thiếu nhất quán về mặt logic12

3. Bộ môn khoa học: Hình
học phi Euclid

Sơ thảo về các hình học phi Euclid

13

1. Khái niệm
● Hình học phi Euclid là bộ môn hình học dựa trên cơ
sở phủ nhận ít nhất một trong số những tiên đề
Euclid.
● Hình học phi Euclid được bắt đầu bằng những công
trình nghiên cứu của Lobachevsky (được
Lobachevsky gọi là hình học trừu tượng) và phát
triển bởi Bolyai, Gauss, Riemann.

14

2. Ý nghĩa
Hình học phi Euclid là cơ sở toán học cho lý thuyết
tương đối của Albert Einstein, thông qua việc đề cập
đến độ cong hình học của không gian nhiều chiều.

15

4. Ngành
khoa học:
Hình học

1. Khái niệm
2. Giai đoạn
3. Ý nghĩa

16

1. Khái
● Hình
học là một phân nhánh của toán học liên
niệm

quan đến các câu hỏi về hình dạng, kích thước, vị
trí tương đối của các hình khối, và các tính chất
của không gian.
● Hình học phát triển độc lập trong một số nền văn
hóa cổ đại như một phần của kiến thức thực tiễn
liên quan đến chiều dài, diện tích, và thể tích, với
một phần các yếu tố của khoa học Toán học đến từ
phương Tây như các định lý của Thales (thế kỷ VI
TCN).
17

2. Giai đoạn
1. Hình học thực tiễn: có nguồn
gốc là một khoa học thực tiễn
liên quan đến khảo sát, đo đạc,
diện tích, và khối lượng.
VD: các công thức về độ dài,
diện tích và thể tích, định lý
Pytago, chu vi hình tròn và diện
tích hình tròn, diện tích tam
giác, thể tích của hình trụ tròn,
hình cầu và hình chóp.

18

2. Hình học tiên đề: tiến hành suy luận một cách
chặt chẽ để rút ra các định lý khác bằng cách lý
luận toán học.
VD: Hình học phi Euclid

19

3. Hình học vị trí: giải các
bài toán về vị trí tương đối
hoặc mối quan hệ không
gian của các hình hình
học.
VD: đường tròn nội ngoại
tiếp của đa giác, đường
giao nhau và tiếp tuyến
với đường conic,các cấu
hình Pappus và Menelaus
của các điểm và đường.
20

4. Dựng hình: dựng một
hình hình học đã được mô
tả trong một số cách khác.
VD: dùng thước và compa
dựng hình thang

21

3. Ý nghĩa
● Hình học thường được xây dựng với quy tắc khá đơn giản, nhưng
đưa đến những hình ảnh rất lạ mắt, rất đẹp.
● Ung dụng phong phú, đa dạng, có khi rất bất ngờ vào rất nhiều
lĩnh vực khác nhau, từ các ngành xây dựng, khai thác dầu khí,
chế tạo dụng cụ chính xác… đến sinh lý học, ngôn ngữ học, âm
nhạc.
VD: HÌnh học fractal
● Ứng dụng vào đo đạc ruộng đất đến vẽ đồ án xây dựng nhà cửa,
chế tạo vật dụng và máy móc, từ việc mô tả quỹ đạo của các
hành tinh trong hệ mặt trời đến mô tả cấu trúc của nguyên tử
VD: Hình học Eiclid
22

Thanks for
watching
23