Tiết 8:
TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG
ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG,CÙNG TẦN SỐ
PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ FRE-NEN

Giáo viên: Trần Thị Nhung
Trường THPT Hoàng VĂn Thụ

sin

Điểm M chuyển
động tròn đều

M
cos

-A
vmin= 0
2

amax= 𝜔 𝐴

O
Amin=0
vmax=A 𝜔

A

P
x
vmin= 0
amax=

𝜔2 𝐴

Hình chiếu điểm M trên trục Ox dao động điều hòa

𝑥= 𝐴cos(¿ 𝜔𝑡+𝜑)¿

M

I. VECTƠ QUAY
- Dao động điều hòa x=Acos(t + )
được biểu diễn bằng vecto quay có đặc
điểm sau:
+ Có gốc: Tại gốc tọa độ của trục Ox
+ Có hướng: hợp với trục Ox một góc
bằng pha ban đầu của dao động
+ Có độ dài: Bằng biên độ A của dao động
+ Quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc
độ góc bằng tần số góc của dao động

O

x

Ví dụ: Biễu diễn các pt dao động sau thành vecto
y
M2

M1
O

x
M4

M3

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ FRE-NEN
1. Đặt vấn đề:
- Tìm li độ dao động tổng hợp của 2 dao động điều hòa sau:

𝑥1= 𝐴cos (¿ 𝜔 𝑡+ 𝜙 1)∧𝑥 2= 𝐴cos (¿ 𝜔 𝑡+ 𝜙 2) ¿ ¿

- Ta có: 𝐴 1= 𝐴 2= 𝐴

- Sử dụng công thức lượng giác sau
cos 𝛼 +cos 𝛽=2 cos

Nhưng nếu

𝛼+ 𝛽
𝛼− 𝛽
cos
2
2

𝐴1 ≠ 𝐴2 ?

Sử dụng phương pháp giản đồ Fre-nen

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ FRE-NEN
2. Phương pháp giản đồ Fre-nen:

- Tìm li độ dao động tổng hợp của 2 dao động điều hòa cùng
phương cùng tần số sau:
y

𝑥1=𝐴1 cos(¿𝜔𝑡+𝜑1 )¿

M1

M

Vẽ các vecto quay:

x2

⃗
𝑂 𝑀1
⃗
𝑂𝑀

x

⃗
𝑂𝑀

x1

2

M2
O

x

𝑥= 𝐴cos(¿ 𝜔𝑡+𝜑)¿

y

x1

⃗
𝑂𝑀 1❑

M

N
M1

y1

A

A1
y2
O

x2`

𝜙1
x1

A2

𝜑
𝜙2

x

M2
x2

P

x

⃗
𝑂𝑀
⃗
𝑂𝑀

OM1 = A1

(⃗
𝑂𝑥 ,⃗
𝑂 𝑀 1)=𝜑 1
OM2 = A2

(⃗
𝑂𝑥 ,⃗
𝑂 𝑀 2)=𝜑 2
OM = A

(⃗
𝑂𝑥 ,⃗
𝑂𝑀)=𝜑

x1= (A1,
x2= (A2,

x = (A,

Dao động tổng hợp: x = x1+x2
Suy ra: =
Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng
tần số là một dao động điều hòa cùng phương cùng tần
số với 2 dao động đã cho.

𝑥= 𝐴cos(¿ 𝜔𝑡+𝜑)¿

Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp:

𝐴2= 𝐴 21 + 𝐴 22 +2 𝐴1 𝐴2 cos (¿ 𝜑 2 − 𝜑 1) ¿
𝐴 1 sin 𝜑 1+ 𝐴2 sin 𝜑 2
tan 𝜑 =
𝐴1 cos 𝜑 1+ 𝐴2 cos 𝜑 2

⃗𝐴
1

⃗𝐴
2
⃗𝐴

⃗𝐴
2

⃗𝐴

⃗𝐴
1
Suy ra:

Amax=A1+A2

𝐴𝑚𝑖𝑛=| 𝐴1 − 𝐴2|

3. Ảnh hưởng của độ lệch pha:
Trường hợp đặc biệt

Có  = 2 - 1

- Nếu  = 0 hay  = 2n, n thì x1 cùng pha x2
Amax=A1+A2
- Nếu  =  hay  = (2n+1) thì x1 ngược pha
x2
𝐴= 𝐴 − 𝐴

|

1

|

2

- Nếu  = (2n+1) thì x1 vuông pha x2
A=

VD.Tìm phương trình dao động tổng hợp của hai dao động thành
phần có phương trình sau:

𝜋
𝑥1=4 cos(10 𝜋 𝑡+ )(𝑐𝑚)
3 )(𝑐𝑚)
𝑥2 =2cos(10 𝜋 𝑡+𝜋

- Phương trình dao động tổng hợp

𝜋
𝑥=2 √ 3cos(10 𝜋 𝑡+ )(𝑐𝑚)
2

BÀI TẬP
1.Hai dao động điều hòa có phương trình lần lược là
x1 = A1cos(t + 1) và x2 = A2cos(t + 2)
Biên độ của dao động tổng hợp là?
2

2
1

2
2

𝐴. 𝐴 =𝐴 + 𝐴 +2 𝐴1 𝐴2 cos(𝜑 2 −𝜑 1)
2

𝐵. 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 +2 𝐴1 𝐴2 cos(𝜑 2 −𝜑 1)
2
2
2
𝐶 . 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴1 𝐴2 cos(𝜑 2 −𝜑 1 )
2
2
2
𝐷. 𝐴 =𝐴1+ 𝐴2+2 𝐴1 𝐴2 cos(𝜑 2 +𝜑 1 )

BÀI TẬP
2. Hai dao động điều hòa có phương trình lần lược là
x1 = A1cos(t + 1) và x2 = A2cos(t + 2).
Pha của dao động tổng hợp được tính theo công thức?

𝐴1 s𝑖𝑛𝜑 1 − 𝐴2 s𝑖𝑛𝜑 2
𝐴1 s𝑖𝑛𝜑 1 + 𝐴2 cos𝜑 1
𝐵 . tan 𝜑=
𝐴. tan 𝜑=
𝐴1 sin 𝜑 2 + 𝐴2 cos 𝜑 2
𝐴1 cos𝜑 1 − 𝐴2 cos 𝜑 2
𝐴1 s𝑖𝑛𝜑 1 + 𝐴2 s𝑖𝑛𝜑 2
𝐴1 sin 𝜑 1 + 𝐴 2 sin 𝜑 2
𝐶 . tan 𝜑=
𝐷 . tan 𝜑 =
𝐴1 cos 𝜑 1 − 𝐴2 cos 𝜑 2
𝐴1 cos 𝜑 1 + 𝐴 2 cos 𝜑 2

BÀI TẬP
3.Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương,
cùng tần số. Có phương trình như sau.
𝜋
𝜋
và
𝑥2 =√ 2 cos(¿ 2 𝑡 − )¿
𝑥1= √ 2 cos(¿2𝑡 + )¿
6
3
Phương trình dao động tổng hợp là:

𝜋
𝐴. 𝑥=√ 2cos(¿2𝑡+ )¿
6

𝜋
𝐵 .𝑥=2 √ 3cos(¿2𝑡+ )¿
3

𝜋
𝜋
𝐶 .𝑥=2cos(¿2𝑡+ )¿ 𝐷 . 𝑥=2 cos(¿ 2𝑡 − )¿
6
12