Bài tập chuyên đề
Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

I. Chứng minh tứ giác nội tiếp;
Bài 1.1) Cho hai đường tròn (O) và (O/) gặp nhau ở A và B, tiếp tuyến tại A của (O) gặp (O/) ở M; tiếp tuyến tại A của (O/) gặp (O) tại N . Lấy điểm E đối xứng với A qua B. Chứng minh tứ giác AMEN nội tiếp một đường tròn.

Bài 2.2a) Trên đường tròn (O,R) lấy hai điểm A, B sao cho AB < 2R . Gọi giao điểm của các tiếp tuyến của (O) tại A, B là P. Qua A, B kẻ các dây AC, BD song song với nhau, gọi giao điểm của các dây AD, BC là Q.
Chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp một đường tròn.

Bài 3.2b) Cho tam giác ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AH. Gọi I, K tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABH và ACH. Đường thẳng IK cắt AC tại N. Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp một đường tròn.

Bài 4.2) Gọi O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC (AC = BC, 600), D là điểm nằm trên BC sao cho OD vuông góc với BI .
Chứng minh tứ giác CIOD nội tiếp một đường tròn.

Bài 5.4) Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên AB và AC lấy M và N sao cho AM + AN = AB . Dựng hình thang cân ANMI ( AI// MN). Chứng minh tứ giác AIBC nội tiếp một đường tròn.

Bài 6.5) Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ; G, K là các tiếp điểm của đường tròn (I) trên AB, AC. Gọi M, N là giao điểm của IB, IC với GK.
Chứng minh BNMC là tứ giác nội tiếp.

Bài 7.6) Cho tam giác ABC kẻ đường cao AH. Gọi I, K là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh tứ giác BIKC nội tiếp được.

II. Vận dụng tứ giác nội tiếp trong giải toán.
Bài 8) Lấy giả thiết của bài 4.2) phần I. Hãy chứng minh ID//AC.

Bài 9) Lấy giả thiết bài 3.2b) phần I; bổ sung thêm M là giao điểm của IK với AB. Hãy chứng minh

Bài 10) Cho tam giác cân ABC (AB = AC; 450) một đường tròn (O) tiếp xúc với AB và AC lần lượt tại B và C. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M (M không trùng với B và C) rồi hạ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB. Gọi P là giao điểm của MB và IK; Q là giao điểm của MC và IH Chứng minh PQ MI.