Đường tròn ngoại tiếp 1 đa giác khi nào?
Đường tròn ngoại tiếp 1 đa giác khi các đỉnh của đa giác nằm trên đường tròn
Tương tự: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (lăng trụ) khi nào?
Định nghĩa: Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp 1 hình chóp (lăng trụ) nếu nó đi qua mọi đỉnh của hình chóp (lăng trụ) đó.
A1
A4
A3
A2
S
O
A1
A4
A3
A2
O
A`1
A`4
A`3
A`2
J
I
MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP VÀ LĂNG TRỤ
Mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp S.A1A2 .An có tâm nằm ở đâu?
*Tâm (S) nằm trên trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
*Tâm (S) nằm trên mặt phẳng trung trực đoạn SA1.
Một hình chóp nội tiếp được một mặt cầu khi nào?
Đáy là một đa giác nội tiếp.
*Một hình lăng trụ nội tiếp được một mặt cầu khi nào?
*Đáy là đa giác nội tiếp.
*Lăng trụ đứng.
*Cách xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ?
*Tâm (S) nằm trên trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
*Tâm (S) nằm trên mặt phẳng trung trực của cạnh bên.
O
A1
A4
A3
A2
A`1
A`4
A`3
A`2
J
I
Vd1:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc ?. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp?
N
I
B
C
S
α
A
S(I,IS)
SI .SO = SM . SA
Vd2:Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một và có độ dài lần lượt là a, b, c. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện?
B
C
S
A
O
?
Gọi ? là trục đt ngoại tiếp tam giác SAB;
B
S
A
O
?
(?) là mp trung trực đoạn SC
O là giao điểm của ? và (?) thì:
OC=OS=OA=OB
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC
Bán kính là R=OS
BT1: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b.
N
I
B
C
S
A
Theo hình vẽ: S(I,IS) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Ta có:
Tam giác SMI, SOA đồng dạng
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
BT2. hình chóp S.ABC có đường cao SA=a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
B
C
S
A
O
x
Gọi H là tâm của ? ABC
Gọi O là giao của mp trung trực đoạn SA và Hx.
Vậy O là tâm m/c ngoại tiếp hình chóp.
Bán kính:
BT4.Chứng minh rằng một hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau thì có mặt cầu ngoại tiếp.
A1
A4
A3
A2
O
Ta có:
Vậy hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp
BT3. Một hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chứng minh rằng hình chóp đó có mặt cầu ngoại tiếp. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.
I
*Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp (tương tự bài 4).
*Ta có ABCD là tứ giác nội tiếp và các cạnh bằng nhau nên ABCD là hình vuông.
Gọi O là tâm hình vuông, ta có:
A1
A4
A3
A2
O
Gọi H là hình chiếu của O lên mp đáy. Ta có:
HA1=HA2=HA3=HA4
Vậy đáy là một đa giác nội tiếp
BT3. Một hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chứng minh rằng hình chóp đó có mặt cầu ngoại tiếp. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.
I
*Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp (tương tự bài 4).
*Ta có ABCD là tứ giác nội tiếp và các cạnh bằng nhau nên ABCD là hình vuông.
Gọi O là tâm hình vuông, ta có:
N
B
S
A
C
Q
P
M
BT5. Một tứ diện có các cạnh đối diện bằng nhau. Chứng minh rằng tâm mặt cầu ngoại tiếp cảu tứ diện trùng với trọng tâm của tứ diện. Chứng minh rằng tâm mặt cầu ngoại tiếp cách đều các mặt của tứ diện.
OA=OS
? OM vuông SA
? BAC=CSB (c.c.c)
? SNA cân
? AN=SN
? SOA cân
Tương tự OS=OC=OB
Vậy tâm mc trùng trọng tâm tứ diện
B
S
A
C
Gọi I,J là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và BAS. Ta có:
BI=BJ ( vì ABC=BAS (c.c.c) )
OB cạnh chung.
Suy ra 2 tam giác vuông BIO, BJO bằng nhau
Vậy OI=OJ
Hay O cách đều các mặt
ABC và BAS.
Tương tự O cách đều các
mặt của tứ diện.